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Mappa del sito Algebra Aritmetica e numeri Analisi Geometria cartesiana Geometria Geometria dello spazio Algebra astratta Trigonometria Teoria degli insiemi Logica Calcolo delle probabilita' Matematica finanziaria ed attuariale Matematica per informatica Successioni e serie Attenzione: i link rossi non sono ancora attivi, saranno completati in futuro Algebra potenze Definizione Prodotto Quoziente Potenza di potenza Potenza di un prodotto Prodotto di potenze con stesso esponente Introduzione al calcolo letterale Monomi Cos'e' un monomio Grado Somma e differenza Prodotto Quoziente Potenza M.C.D. m.c.m. Polinomi Perche' i polinomi Definizione Grado Polinomio ordinato Polinomio completo Somma Differenza Prodotto Prodotto fra monomio e polinomio Prodotto fra due polinomi Prodotti notevoli Somma di due monomi per la loro differenza quadrato del binomio Quadrato del trinomio Cubo del binomio Cubo del trinomio Potenza qualunque del binomio Metodo di Tartaglia Regola di Newton Quoziente Divisione fra un polinomio ed un monomio Divisione fra due polinomi Metodo canonico Metodo di Ruffini Teorema di Ruffini Scomposizione Perche' la scomposizione Raccoglimento Raccoglimento totale Raccoglimento parziale Scomposizione di Ruffini Casi particolari polinomio non completo polinomio scomponibile mediante termini frazionari polinomio letterale scomposizione con binomio di grado superiore ad uno Esercizi Scomposizioni secondo i prodotti notevoli Differenza di quadrati Quadrato del binomio Cubo del binomio Quadrato del trinomio Somma e differenza di potenze pari e dispari Differenza di potenze dispari Somma di potenze dispari Differenza di potenze pari Somma di potenze pari Trinomio notevole Raggruppamenti Tabella di riepilogo M.C.D. m.c.m. Frazioni algebriche Perche' le frazioni algebriche Equivalenza Somma e differenza Prodotto Quoziente Elevamento a potenza Espressioni Esercizi di riepilogo Equazioni Perche' le equazioni Equazioni di primo grado Uguaglianze identita' equazioni Primo principio di equivalenza Secondo principio di equivalenza Soluzione di un'equazione di primo grado ad una incognita Equazione possibile, impossibile, indeterminata Equazioni letterali Equazioni fratte Equazioni ai moduli perche' il modulo definizione di modulo equazioni con un modulo equazioni con due moduli equazioni con piu' moduli Equazioni di secondo grado Equazione pura Equazione spuria Equazione completa Formula risolutiva Formula ridotta Discriminante Relazioni fra coefficienti e radici Somma delle radici Prodotto delle radici Equazione con somma e prodotto Regola di cartesio Tabella riassuntiva per la regola di Cartesio Decomposizione del trinomio Dimostrazione Esercizi Equazioni con parametro Discussione di equazioni con parametro Introduzione Discussione di equazioni di primo grado Metodo diretto Metodo grafico Discussione di equazioni di secondo grado Metodo di Tartinville Metodo grafico Equazioni di grado superiore Teorema fondamentale dell'algebra Equazioni abbassabili di grado Equazioni biquadratiche Equazioni binomie Equazioni trinomie Equazioni irrazionali Equazioni reciproche di terzo grado di quarto grado di prima specie di seconda specie di quinto grado Equazioni da risolvere con artifici Equazioni risolubili graficamente Disequazioni Definizione Disequazioni di primo grado Disequazioni di primo grado ad una incognita Disequazioni di primo grado a due incognite Disequazioni di primo grado a piu' incognite (cenno) Sistemi di disequazioni di primo grado Applicazioni espressioni prodotto di due espressioni elementari espressioni quoziente di due espressioni elementari disequazioni con moduli Disequazioni di secondo grado Metodo algebrico Delta del polinomio maggiore di zero Delta del polinomio uguale zero Delta del polinomio minore di zero Metodo della parabola Parabola che taglia l'asse x in due punti Parabola tangente all'asse x Parabola senza punti comuni con l'asse x Tabella di riepilogo a > 0 a < 0 Sistemi con disequazioni di secondo grado Soluzione di un sistema di disequazioni di secondo grado Sistema con disequazioni di primo e di secondo grado Applicazioni a prodotti Applicazioni a frazioni Applicazioni ad espressioni piu' complesse Sistemi di equazione e disequazioni Disequazioni di grado superiore Disequazioni ai moduli Riprendiamo il concetto di valore assoluto Disuguaglianze fra valori assoluti Disuguaglianza fra un modulo ed un numero reale positivo modulo di una somma modulo della differenza dei moduli Esercizi Problemi Generalita' sui problemi Vocabolario Problemi di primo grado problemi risolubili mediante un'equazione Problemi numerici Problemi tipo "Settimana enigmistica" Problemi geometrici problemi risolubili mediante un sistema Problemi numerici Problemi tipo "Settimana enigmistica" Problemi geometrici Problemi di secondo grado problemi di tipo numerico problemi di tipo geometrico Problemi di grado superiore Sistemi di equazioni Definizione Sistemi di primo grado Sistema di due equazioni in due incognite Soluzione di un sistema di due equazioni in due incognite Metodo di sostituzione Metodo di addizione Metodo di confronto Metodo di Cramer Sistema possibile, impossibile, indeterminato Significato geometrico di un sistema Sistema di tre equazioni in tre incognite metodo di sostituzione metodo di Cramer Matrici del sistema Il determinante 3x3 Calcolo del determinante col metodo normale Calcolo del determinante con la regola di Sarrus Soluzione del sistema sistema possibile, impossibile e indeterminato Sistema possibile Sistema indeterminato due equazioni equivalenti tre equazioni equivalenti Dipendenza ed indipendenza lineare fra equazioni Sistema impossibile Rango di una matrice Teorema di Rouché-Capelli sistema omogeneo Sistema di n equazioni in n incognite Sistema lineare non omogeneo Sistema lineare omogeneo Sistema lineare con parametro Sistema di k equazioni in n incognite Sistemi di grado superiore al primo Grado di un sistema Sistemi di secondo grado in due incognite Sistemi di secondo grado a piu' incognite Sistemi di grado superiore Sistemi simmetrici Soluzione di un sistema simmetrico elementare Formule di Waring Soluzione di sistemi simmetrici generali Sistemi riconducibili a simmetrici Sistemi omogenei Sistemi che si risolvono con artifici Applicazioni sui sistemi Matrici e determinanti Matrici: concetti di base Matrici quadrate Determinante di una matrice quadrata Complemento algebrico di un elemento del determinante Calcolo del determinante col metodo di Laplace Proprieta' dei determinanti (utili per il loro calcolo) Esempi di calcolo di un determinante utilizzandone le proprieta' Cenni di algebra delle matrici Prodotto fra matrici Somma fra matrici quadrate Matrice nulla Prodotto righe per colonne fra matrici quadrate Matrice unitaria Matrice inversa di una matrice quadrata Prodotto esterno: scalare per matrice Algebra delle matrici Introduzione ai radicali definizione di radicale radicali aritmetici radicali algebrici operazioni con i radicali equivalenza somma e differenza prodotto quoziente elevamento a potenza portare fuori radice esercizi sulle operazioni con radicali radicali doppi razionalizzazione forma esponenziale dei radicali applicazioni espressioni con i radicali Disequazioni irrazionali ad indice pari Disequazione elementare del tipo F(x) > G(x) Disequazione elementare del tipo F(x) < G(x) Disequazioni piu' complesse Caso particolare Disequazioni irrazionali ad indice dispari Logaritmi Utilita' dei logaritmi Cos'e' il logaritmo Definizione di logaritmo Un po' di nomenclatura Valori possibili Possibili basi per i logaritmi Logaritmi a base maggiore di 1 Logaritmi a base minore di 1 Proprieta' dei logaritmi Logaritmo di un prodotto Logaritmo di un quoziente Logaritmo di una potenza Logaritmo di una radice Esercizio Cambiamento di base Grafico della funzione logaritmo la base a e' maggiore di 1 la base a e' compresa fra 0 ed 1 Equazioni logaritmiche Esercizi Disequazioni logaritmiche disequazioni con logaritmi a base maggiore di 1 disequazioni con logaritmi a base compresa fra 0 ed 1 Esponenziali Funzione esponenziale Grafico della funzione esponenziale la base a e' maggiore di 1 la base a e' compresa fra 0 ed 1 Equazioni esponenziali Disequazioni esponenziali la base a e' maggiore di 1 la base a e' compresa tra 0 ed 1 torna su Aritmetica e numeri Numeri naturali Generalita' sui numeri naturali I numeri naturali Concetto di operazione interna Addizione fra numeri naturali Moltiplicazione fra numeri naturali Sottrazione fra numeri naturali Necessita' di ampliare l'insieme N Numeri interi Generalita' sui numeri interi L'insieme Z Somma fra numeri interi Prodotto fra numeri interi Differenza fra numeri interi Quoziente fra numeri interi Necessita' di ampliare l'insieme Z Numeri razionali Ampliamento dell'insieme Z Insieme dei numeri razionali Q Equivalenza fra numeri razionali Somma fra numeri razionali Differenza fra numeri razionali Prodotto fra numeri razionali Quoziente fra numeri razionali Potenza di numeri razionali Espressioni con numeri razionali scomposizione di un numero in fattori primi definizione di numero primo alcune proprieta' dei numeri primi criteri di scomposizione in fattori primi criterio di scomposizione per 2 criterio di scomposizione per 3 criterio di scomposizione per 5 criterio di scomposizione per 11 alcuni esempi altri criteri che possono essere utili applicazione alla riduzione di una frazione a forma normale applicazione alla somma e differenza fra numeri razionali (m.c.m) applicazione al prodotto fra numeri razionali applicazione al quoziente di numeri razionali espressioni con numeri razionali Esistenza di numeri non razionali e necessita' di ampliare l'insieme Q Numeri reali Definizione di numero reale L'insieme R dei numeri reali: la retta reale Somma fra numeri reali Differenza fra numeri reali Prodotto fra numeri reali Quoziente fra numeri reali Elevamento a potenza esponente intero esponente razionale esponente reale Estrazione di radice e necessita' di ampliare l'insieme R Numeri immaginari e complessi Numeri immaginari Proprieta' di i Numeri complessi definizione operazioni sui numeri complessi Somma Differenza Prodotto Quoziente Espressioni il piano complesso il piano complesso forma trigonometrica dei numeri complessi Trasformare un numero complesso dalla forma normale alla forma trigonometrica Trasformare un numero complesso dalla forma trigonometrica alla forma normale Prodotto di numeri complessi sotto forma trigonometrica Dimostrazione Quoziente di numeri complessi in forma trigonometrica Dimostrazione Potenza di numeri complessi in forma trigonometrica Radice n-sima di un numero complesso Radici n-sime dell'unita' Il sistema di coordinate polari Sistema di coordinate polari nel piano Trasformazione da coordinate polari a coordinate cartesiane ortogonali Trasformazione da coordinate cartesiane ortogonali a coordinate polari Sistema di coordinate polari nello spazio Forma esponenziale dei numeri complessi Funzione esponenziale con esponente immaginario Formule di Eulero Funzione esponenziale con esponente complesso Teorie formali Assetto formale di una teoria matematica L'astrazione Utilizzo di simboli specifici Postulati iniziali Metodo ipotetico deduttivo Teoria e modelli L'aritmetica come sistema formale L'insieme N come generatore degli altri insiemi numerici Assiomi di Peano Centralita' dell'aritmetica nella matematica Numeri di Gödel Importanza della codifica di Gödel Aritmetica come esempio di sistema formale Limiti della formalizzazione Il paradosso del mentitore Antinomia di Russel Crisi dei fondamenti Teorema di Gödel Conclusioni Principi di stenaritmia introduzione addizione sottrazione moltiplicazione divisione Aritmetica razionale torna su Analisi Insufficienza del concetto di punto Qualche cenno di storia I paradossi di Zenone Soluzione del problema Conclusioni Intervalli ed intorni Intervalli ed intorni Punti di accumulazione Punti frontiera Punti aderenti Il concetto di funzione Funzioni empiriche Funzioni matematiche Campo di esistenza di una funzione Funzioni fratte Funzioni irrazionali Funzioni logaritmiche Funzione composta Calcolo di funzioni composte Funzione inversa Calcolo di funzioni inverse Importante proprieta' I Limiti Limite finito di una funzione in un punto Cenni sul limite di una successione Perche' il limite di una successione Limite di una successione convergente Limite di una successione divergente Limite destro e sinistro Limite infinito limite oo per x -> c limite l per x -> oo limite oo per x -> oo Tabella riassuntiva Teoremi sui limiti Teorema dell'unicita' del limite Teorema della permanenza del segno Teorema "dei carabinieri" ------------------------------ Operazioni sui limiti Somma Differenza Prodotto Quoziente Limiti notevoli limx->0 senx/x = 1 limx-> (1+1/x)x = e Forme indeterminate 0/0 oo/oo 0 · oo oo - oo 1oo , oo0 Funzioni continue Definizione Funzioni non continue Discontinuita' di prima specie Discontinuita' di seconda specie Discontinuita' di terza specie Derivate Perche' la derivata Definizione Significato geometrico Applicazioni Esempi di calcolo di qualche semplice derivata Tabella riassuntiva delle principali derivate Semplici esercizi di applicazione della tabella Operazioni sulle derivate Derivata di una somma o differenza di funzioni Derivata di un prodotto di funzioni Derivata di un quoziente di funzioni Derivata di funzione di funzione Esercizi di riepilogo Tangente ad una curva in un suo punto Velocita' ed accelerazione Applicazioni alle forme indeterminate (Regola di De l'Hôpital) Teoremi Teorema di Rolle Teorema di Lagrange Teorema di Cauchy Derivate successive Derivate parziali Differenziale Relazione fra continuita' e derivabilita' Punti di Massimo minimo e flesso Funzioni crescenti e decrescenti Punto di Massimo Punto di minimo Punto di flesso Determinazione dei punti estremanti Metodo dello studio del segno della derivata prima Metodo delle derivate successive Determinazione dei punti di flesso obliquo Punti angolosi Esercizi e problemi Asintoti Il concetto di asintoto Asintoto verticale Asintoto orizzontale Asintoto obliquo Nota per la ricerca dell' asintoto orizzontale od obliquo Esercizi Studio di funzione studio intuitivo di funzione Grafici dei principali tipi di funzione Retta Parabola Iperbole equilatera riferita ai propri assi Funzione logaritmica Funzione esponenziale Funzione seno Funzione coseno Funzione tangente Funzione radice Funzioni pari Funzioni dispari Funzioni periodiche Funzioni inverse Funzioni con moduli Esempi di studio intuitivo di funzione Esempio di funzione con diversa forma matematica al variare del dominio studio completo di funzione Determinazione del Campo di esistenza Determinazione del tipo di funzione Intersezione con gli assi Valori agli estremi del campo di esistenza Positivita' e negativita' Determinazione degli asintoti Determinazionr della derivata prima Crescenza e decrescenza Determinazione dei Massimi e minimi Determinazione della derivata seconda Determinazione della concavita', convessita' e flessi Determinazione di eventuali ulteriori punti appartenenti alla funzione Grafico della funzione Qualche esempio di studio completo di funzione Sviluppo in serie Cos'e' una serie di funzioni Sviluppo di alcune funzioni razionali Significato delle derivate successive di una funzione Introduzione alla formula di Taylor Formula di Taylor formula di Maclaurin Sviluppo in serie di potenze di alcune funzioni elementari Il calcolo integrale Introduzione Il problema delle aree Approccio Geometrico Soluzione matematica del problema Area del trapezoide Definizione di integrale Approccio Algebrico Integrale come operazione inversa di derivata La funzione integrale Teorema fondamentale del calcolo integrale Calcolo degli integrali indefiniti Introduzione Tabella dei principali integrali Tabella applicata alle funzioni di funzione Calcolo di un integrale indefinito Alcune regole operative Integrali immediati Integrali per scomposizione Integrali per sostituzione Integrali per parti Integrali per ricorrenza Integrali di funzioni razionali Introduzione Tipi di frazioni elementari Scomposizione di una frazione polinomiale nella somma di frazioni elementari integrazione delle frazioni elementari Alcuni esercizi Integrazione per serie Integrali definiti Come si calcola Regole principali Problema di calcolo di un'area separata dall'asse x Area positiva e negativa Soluzione del problema Regole che ne derivano Calcolo di aree Come calcolare un area Qualche esempio Integrali generalizzati Volumi di solidi di rotazione Brevi cenni sulle equazioni differenziali Perche' le equazioni differenziali Definizione Equazioni differenziali ordinarie di primo ordine equazioni differenziali a variabili separabili equazioni omogenee del primo ordine equazioni lineari del primo ordine lineari omogenee lineari non omogenee equazione di Bernoulli torna su Geometria Cartesiana Introduzione Sistema di coordinate cartesiane sulla retta introduzione sistema di coordinate convenzioni distanza fra due punti La geometria cartesiana nel piano: la retta Il sistema di coordinate cartesiane nel piano Convenzioni Distanza fra due punti Punto medio di un segmento Punto che divide un segmento in un rapporto assegnato Il piano cartesiano e la retta Introduzione Retta per l'origine Come si disegna la retta per l'origine Significato di m Come si determina m Retta qualunque nel piano significato di q retta in forma esplicita retta in forma implicita Equazione segmentaria della retta la retta come funzione Come si disegna la retta Fasci di rette Fascio proprio di rette Fascio improprio di rette Approfondimenti sul fascio di rette proprio Problemi sul fascio di rette Retta per due punti assegnati Retta passante per un punto e parallela ad una retta data Perpendicolarita' fra due rette Condizione di perpendicolarita' fra due rette Equazione della retta perpendicolare ad una retta data e passante per un punto dato Distanza di un punto da una retta Applicazioni I problemi in geometria cartesiana Trasformazione di coordinate Traslazione di coordinate Rotazione di coordinate Rototraslazione di coordinate Luoghi geometrici definizione proprieta' fondamentale luoghi geometrici notevoli Asse di un segmento Bisettrice di un angolo Circonferenza Cenni su altri luoghi geometrici luoghi geometrici in forma parametrica dalla forma parametrica alla forma analitica dalla forma analitica alla forma parametrica Le coniche in generale e la circonferenza in particolare Le coniche come intersezione fra un piano ed un cono matematico Equazione generale di una conica Circonferenza Equazione di una circonferenza dato il centro ed il raggio Equazione generale di una circonferenza Relazioni fra coefficienti, centro e raggio Rappresentazione grafica di una circonferenza Circonferenze in posizioni particolari Intersezione fra una retta ed una circonferenza Retta tangente ad una circonferenza Problemi vari sulla determinazione dell'equazione di una circonferenza Intersezione fra due circonferenze Determinazione dei punti di intersezione Dimostrazione teorica L'asse radicale I punti ciclici di una circonferenza Fasci di circonferenze Definizione Asse radicale del fascio di circonferenze Vari tipi di fasci di circonferenze Circonferenze concentriche Circonferenze senza punti comuni e non concetriche Circonferenze secanti Circonferenze tangenti Esercizi Ellisse Definizione Equazione dell'ellisse riferita ai propri assi Principali proprieta' Problemi sull'ellisse Iperbole Definizione Equazione canonica dell'iperbole Principali proprieta' Iperbole equilatera Equazione dell'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti Problemi sull'iperbole Parabola Definizione Parabola con vertice nell'origine Equazione della parabola con asse verticale e vertice nell'origine Proprieta' della parabola con asse verticale e vertice nell'origine Esercizi equazione della parabola con asse parallelo all'asse y introduzione equazione della parabola con asse verticale proprieta' della parabola con asse verticale Vertice, fuoco, asse e direttrice Condizioni necessarie per individuare l'equazione problemi elementari sulla parabola con asse verticale Disegnare una parabola conoscendone l'equazione Trovare l'equazione della parabola date tre condizioni Intersezioni fra la parabola ed una curva Fascio di parabole Costruzione di una famiglia di parabole Alcune curve particolari della famiglia Determinazione dei punti base della famiglia Alcuni problemi equazione della parabola con asse parallelo all'asse delle x Problemi sulla parabola Coniche degeneri Il problema geometrico Problemi riassuntivi sulle coniche La geometria cartesiana nello spazio Cenni sugli spazi n-dimensionali torna su Analisi numerica torna su Geometria Introduzione Concetti iniziali Enti fondamentali Postulati La dimostrazione Sul concetto di geometria Geometria del piano (introduzione) Convenzioni iniziali Segmenti ed angoli Segmenti congruenza somma differenza conclusioni Angoli congruenza somma differenza convessita' Teorema sugli angoli opposti al vertice Triangoli Congruenza fra triangoli Primo criterio di congruenza Secondo criterio di congruenza Applicazione dei criteri al triangolo isoscele Teorema diretto: Se un triangolo ha due lati uguali allora ha anche due angoli uguali Teorema inverso: Se un triangolo ha due angoli uguali allora ha anche due lati uguali Terzo criterio di congruenza Applicazione dei criteri: alcuni problemi Disuguaglianze fra elementi di un triangolo Teorema dell'angolo esterno In ogni triangolo a lato maggiore sta opposto l'angolo maggiore In ogni triangolo ad angolo maggiore sta opposto il lato maggiore In ogni triangolo la somma di due lati e' maggiore del terzo lato in ogni triangolo un lato e' maggiore della differenza degli altri due lati Perpendicolarita' Definizione Esistenza ed unicita' Proiezione di un segmento su una retta Altezze, mediane e triangolo isoscele Parallelismo introduzione definizione di rette parallele angoli fra rette tagliate da una trasversale criterio fondamentale del parallelismo il quinto postulato di Euclide un po' di storia le geometrie non euclidee Piano di Klein Geometria di Klein Geometria di Lobacewskij-Bolyai Geometria di Riemann Conclusioni il ruolo dei postulati ed assiomi criterio inverso del fondamentale in ogni triangolo la somma degli angoli interni e' congruente ad un angolo piatto criteri di congruenza per i triangoli rettangoli Poligoni poligonale definizione di poligono somma degli angoli interni di un poligono somma degli angoli esterni di un poligono criteri di congruenza fra poligoni Poligoni regolari Quadrilateri Trapezi Parallelogrammi Rettangoli Rombi Quadrati La famiglia dei quadrilateri Luoghi geometrici Asse di un segmento Bisettrice di un angolo Circonferenza e cerchio Convenzioni e definizioni definizioni sulla circonferenza definizioni sul cerchio Proprieta' delle corde il diametro e' la massima corda l'asse di una corda e' il diametro circonferenza per tre punti la perpendicolare condotta dal centro alla corda la taglia a meta' la congiungente il centro col punto medio di una corda e' perpendicolare alla corda corde congruenti hanno la stessa distanza dal centro e viceversa Mutue posizioni fra retta e circonferenza Relazione fra archi e corde Mutue posizioni fra due circonferenze Angoli al centro ed alla circonferenza Ancora sul teorema Precisazioni sugli angoli alla circonferenza Teorema di "Dante" Punti notevoli di un triangolo Circocentro Incentro Baricentro Ortocentro Costruzioni con riga e compasso Equivalenza Equiestensione Equiscomponibilita' equiscomponibilita' fra parallelogrammi equiscomponibilita' fra parallelogramma e triangolo equiscomponibilita' fra figura circoscritta e triangolo equiscomponibilita' fra trapezio e triangolo applicazioni primo teorema di Euclide teorema di Pitagora secondo teorema di Euclide Teoria della misura Classi di grandezze Grandezze commensurabili Grandezze incommensurabili Un calcolo approssimato Come individuare 2 sulla retta razionale Classi contigue di numeri razionali I numeri reali La retta reale Applicazioni della teoria della misura Area del rettangolo Area del parallelogramma Area del triangolo Area del trapezio Area del poligono circoscritto Area di un poligono Tabella di riepilogo Proporzionalita' Definizione di proporzione Nomenclatura Proprieta' delle proporzioni Proprieta' fondamentale Proprieta' dell'invertire Proprieta' del permutare Proprieta' del comporre Proprieta' dello scomporre Unicita' del quarto proporzionale Applicazione alle grandezze geometriche Insiemi di grandezze proporzionali e criterio di proporzionalita' Similitudine Teorema di Talete Enunciato Conservazione dell'uguaglianza Conservazione della somma Conclusioni Teorema inverso di Talete Importante corollario Applicazione alle costruzioni geometriche Dividere un segmento in piu' parti uguali Dividere un segmento in parti proporzionali a numeri dati Trovare il segmento quarto proporzionale dopo tre segmenti dati Conseguenze del teorema di Talete: teoremi sulle bisettrici Teorema sulla bisettrice di un angolo interno di un triangolo Teorema inverso Teorema sulla bisettrice di un angolo esterno di un triangolo Similitudine fra triangoli Definizione Primo criterio Secondo criterio Terzo criterio Esercizi Considerazioni preliminari Esercizi teorici Esercizi numerici Applicazioni sui triangoli rettangoli Teorema di base Primo teorema di Euclide Secondo teorema di Euclide Teorema di Pitagora Poligoni simili Definizione Criteri di similitudine per i poligoni Poligoni regolari (anche raggi e apoteme) Proporzionalita' fra perimetri Proporzionalita' fra altezze Proporzionalita' fra aree Similitudine fra figure piane qualsiasi Applicazioni metriche ad alcuni problemi di geometria Triangolo rettangolo isoscele Triangolo con angoli 30°, 60° e 90° Triangolo equilatero inscritto in una circonferenza Triangolo equilatero circoscritto ad una circonferenza Quadrato inscritto in una circonferenza Quadrato circoscritto ad una circonferenza Esagono regolare inscritto in una circonferenza Esagono regolare circoscritto ad una circonferenza Area del triangolo noto perimetro e raggio del cerchio inscritto Area del triangolo note le misure dei lati (Erone) Trapezio isoscele con lato obliquo congruente alla base minore Ciclometria Introduzione Poligoni regolari inscritti in una circonferenza Poligoni regolari circoscritti ad una circonferenza Una prima determinazione della lunghezza della circonferenza Lunghezza della circonferenza Utilizzo del "numero" pi greco Area del cerchio Misura dell'arco di circonferenza Radiante Misura del settore circolare Alcuni teoremi e relazioni metriche Teorema delle corde Teorema delle secanti Teorema della secante e della tangente Un'osservazione sui tre teoremi Raggio del cerchio e lati del triangolo inscritto Teorema di Tolomeo Sezione aurea di un segmento Introduzione Definizione Risoluzione algebrica Costruzione geometrica Data la sezione aurea trovare il segmento Calcolo geometrico della sezione aurea Applicazioni Lato del decagono regolare Costruzione del decagono regolare Costruzione del pentagono regolare Lato del pentagono regolare Pentadecagono regolare Cenni sul problema della ciclotomia torna su Geometria dello spazio Introduzione Nomenclatura Postulati dello spazio Esistenza Appartenenza Uguaglianza Relazioni fra punti rette e piani nello spazio Relazioni fra rette nello spazio Relazione fra piani nello spazio: un primo teorema Perpendicolarita' fra retta e piano perpendicolarita' fra due rette perpendicolarita' fra una retta ed un piano Considerazioni generali Criterio di perpendicolarita' retta-piano Teorema delle tre perpendicolari Parallelismo nello spazio Parallelismo fra rette Parallelismo fra una retta ed un piano Proiezione di una retta su un piano Segmenti perpendicolari ed obliqui Angolo fra una retta ed un piano Parallelismo fra piani Teorema di Talete nello spazio Perpendicolarita' fra piani Definizione Criterio di perpendicolarita' fra due piani Angolo diedro Generalita' sui poliedri Angoloidi Triedri Alcune proprieta' importanti In un triedro ogni faccia e' minore della somma delle altre due In un triedro ogni faccia e' maggiore della differenza delle altre due In un angoloide ogni faccia e' minore della somma di tutte le altre In un angoloide la somma delle facce e' minore di un angolo giro Poliedri Definizione Relazione fondamentale Poliedri regolari Tetraedro regolare Ottaedro regolare Icosaedro regolare Cubo Dodecaedro regolare Prismi Prisma indefinito Prisma Parallelepipedo Superficie laterale e totale Concetto di volume Volume del parallelepipedo rettangolo Volume del parallelepipedo retto Volume del prisma retto Piramidi Piramide indefinita Pramide Piramide retta Nota importante Superficie laterale e totale Principio di Cavalieri Equiestensione prisma-piramide Volume di una piramide Tronco di piramide Superficie laterale e totale del tronco di piramide Volume del tronco di piramide Approfondimento sulla proporzionalita' Calcolo del volume Solidi di rotazione Come si disegna un solido di rotazione Cilindro Definizione Area della superficie Volume Cono Definizione Area della superficie Volume Tronco di cono Definizione Area della superficie Volume Sfera e superficie sferica Definizioni Area della superficie sferica Teorema sulla superficie di rotazione di un segmento Teorema sulla rotazione di una poligonale regolare Applicazione alla superficie di una sfera Volume della sfera Definizione di anticlessidra Equiestensione sfera-anticlessidra Volume della sfera Parti della superficie sferica e della sfera Fuso sferico e spicchio sferico Definizioni Area del fuso sferico Volume dello spicchio sferico Calotta sferica e segmento sferico ad una base Definizioni Area della calotta sferica Volume del segmento sferico ad una base Zona sferica e segmento sferico a due basi Definizioni Area della zona sferica Volume del segmento sferico a due basi Settore sferico Definizione Area della superficie del settore sferico Volume del settore sferico Similitudine fra solidi Problemi di applicazione ???? (forse) torna su Algebra astratta Introduzione Ripasso sulle proprieta' delle operazioni elementari operazioni elementari proprieta' dell' addizione proprieta' della moltiplicazione mutue proprieta' di somma e prodotto Strutture algebriche Metodo operativo e nomenclatura Struttura algebrica Legge di composizione interna Elemento neutro Elemento simmetrico Concetto di struttura algebrica Semigruppo Un esempio da illusionista: i tre bicchieri Il gioco del 15 Gruppo Esempi di strutture di gruppo Proprieta' dei gruppi Unicita' dell'elemento neutro Unicita' dell'elemento simmetrico Ogni elemento e' semplificabile Insieme dei resti modulo p o relazione di congruenza modulo p Cosa significa resto modulo p Relazione di equivalenza ed insieme quoziente su N Collegamento ai sistemi di numerazione Rappresentazione di un gruppo finito mediante la tabella di Cayley Insieme dei resti modulo p (o relazione di congruenza modulo p) Insieme dei resti modulo 5 Insieme dei resti modulo 4 Insieme dei resti modulo 3 Insieme dei resti modulo 2 Insieme dei resti modulo 6 Insieme dei resti modulo 7 Insieme dei resti modulo 8 Insieme dei resti modulo 9 Anello Esempi di struttura ad anello Corpo Definizione Campo Esempi Spazi vettoriali Caratteristiche di un numero complesso I vettori in fisica La moltiplicazione nei numeri complessi Spazio vettoriale Esempi di spazi vettoriali Morfismi un esempio definizione di morfismo endomorfismo omomorfismo monomorfismo epimorfismo isomorfismo automorfismo torna su Trigonometria Introduzione Goniometria Misura di archi ed angoli Principali funzioni trigonometriche sen cos tang reciproche delle funzioni goniometriche cotang cosec sec Relazioni fra le funzioni trigonometriche Prima relazione fondamentale Seconda relazione fondamentale Relazioni fra seno coseno e tangente Estensione alle funzioni reciproche Archi associati angolo nel primo quadrante angolo nel secondo quadrante angolo nel terzo quadrante angolo nel quarto quadrante Valori per alcuni angoli particolari angolo di 30° angolo di 45° angolo di 60° angolo di 18° angolo di 72° tabella riassuntiva Algebra goniometrica Operazioni su archi ed angoli Formule di addizione Formule di duplicazione Formule di bisezione Formule parametriche Formule di Prostaferesi Formule di Werner Identita' trigonometriche Equazioni trigonometriche equazioni fondamentali sen x = h cos x = m tang x = p tipi di equazioni specifiche della trigonometria equazioni in seno e coseno di 1° grado lineari omogenee equazioni in seno e coseno di 1° grado lineari non omogenee equazioni in seno e coseno di 2° grado lineari omogenee equazioni in seno e coseno di 2° grado lineari non omogenee equazioni di vario tipo Sistemi trigonometrici Disequazioni trigonometriche sen x > h cos x > n tang x > p esercizi Misura dei triangoli Introduzione Convenzioni Relazioni fra elementi di un triangolo rettangolo dipendenti dal seno dipendenti dal coseno dipendenti dalla tangente dipendenti dalla cotangente tabella di riepilogo esercizi Teorema dei seni Teorema delle proiezioni Teorema di Carnot Applicazioni della trigonometria Applicazioni alla Geometria Area del triangolo Area del parallelogramma Introduzione alla formula di Erone Formule di Briggs Formula di Erone Raggio circonferenza inscritta Raggio circonferenza circoscritta Mediane di un triangolo Bisettrici di un triangolo Area di un quadrilatero qualunque Applicazioni alla Topografia e Geodesia Distanza fra due punti accessibili ma non visibili tra loro Distanza fra due punti visibili ma uno non accessibile Problema di Snellius Altezza di una torre Piede della torre sul piano dell'osservatore ed accessibile Piede della torre sul piano dell'osservatore e non accessibile Piede della torre non sul piano dell'osservatore ed accessibile Piede della torre non sul piano dell'osservatore e non accessibile Altezza di una montagna rispetto al piano orizzontale dell'osservatore Misura del raggio della terra (Eratostene) Applicazioni all'Astronomia Distanza terra luna Distanza terra sole Parsec e distanza delle stelle Applicazioni alla Fisica Applicazioni alla Tecnica torna su Teoria degli insiemi Introduzione Teoria degli insiemi Concetto di insieme Rappresentazione di un insieme Rappresentazione tabulare Rappresentazione mediante grafico Rappresentazione mediante caratteristica Uguaglianza Sottoinsiemi Insieme delle parti Operazioni fra insiemi Unione Intersezione Proprieta' Differenza Complementare di un insieme Insieme universo Differenza simmetrica Leggi di De Morgan Prodotto cartesiano Concetto di coppia ordinata Prodotto cartesiano fra due insiemi Proprieta' del prodotto cartesiano Prodotto cartesiano di un insieme con se' stesso Ricoprimento finito di un insieme Partizione di un insieme Relazioni Definizione di relazione binaria Relazione binaria su un insieme Relazione riflessiva Relazione simmetrica Relazione antisimmetrica Relazione transitiva Relazione di equivalenza Insieme quoziente Generazione dell'insieme N Relazione d'ordine Relazione d'ordine stretto Relazione d'ordine totale Relazione d'ordine lineare Applicazioni o funzioni Definizione di applicazione o funzione fra insiemi Codominio Dominio Applicazione iniettiva Applicazione suriettiva Corrispondenza biunivoca Insieme infinito Applicazione composta Applicazione inversa torna su Logica Introduzione Proposizioni Nomenclatura Definizione Principi della logica Proposizioni semplici e complesse Tavole di verita' Calcolo delle proposizioni: metodo classico Negazione Congiunzione logica Disgiunzione inclusiva Operatori logici fondamentali Disgiunzione esclusiva Implicazione materiale Deduzione logica Coimplicazione Doppia deduzione logica Funzioni proposizionali Funzioni proposizionali equiveridiche Tautologia e contraddizione Operatori logici come disposizioni con ripetizione Regole di deduzione Concetto di regola di deduzione Modus ponens Modus tollens Sillogismo ipotetico Sillogismo disgiuntivo Dimostrazione di un teorema Definizione di teorema Proposizioni di un teorema Proposizione diretta Proposizione inversa Proposizione contraria Proposizione controinversa Legge delle inverse Metodo diretto Metodo inverso (o per assurdo) Predicati e quantificatori Concetto di predicato I quantificatori Quantificatore universale Quantificatore esistenziale I giudizi di Aristotele Giudizio universale affermativo Giudizio universale negativo Giudizio particolare affermativo Giudizio particolare negativo I sillogismi aristotelici Prima figura Seconda figura Terza figura Quarta figura Conclusione Logica ed insiemi torna su Calcolo delle probabilita' Introduzione Calcolo combinatorio Permutazioni Permutazioni semplici Fattoriale di un numero Permutazioni con ripetizione Disposizioni Disposizioni semplici Disposizioni con ripetizione Combinazioni Combinazioni semplici Combinazioni con ripetizione Coefficienti binomiali Relazioni fra coefficienti binomiali e potenza di un binomio Il triangolo di Tartaglia Formula di Newton Legge delle classi complementari Relazione di Stiefel Relazione di ricorrenza Probabilita' di un evento Introduzione; concetto di evento Spazio delle probabilita' ed eventi Operazioni sugli eventi Probabilita' classica Definizione classica di probabilita' Semplici esempi di calcolo di probabilita' Esempi di calcolo di probabilita' utilizzando il calcolo combinatorio Probabilita' contraria Teoremi sul calcolo delle probabilita' Teorema della probabilita' totale Teorema della probabilita' composta Esercizi con utilizzo dei teoremi sul calcolo della probabilita' Limiti della probabilita' classica Probabilita' statistica (o frequentista) Definizione di frequenza Differenze fra frequenza e probabilita' Legge dei grandi numeri Probabilita' statistica Limiti della probabilita' statistica Probabilita' soggettiva Introduzione Definizione Proprieta' Limiti della probabilita' soggettiva Definizione assiomatica di probabilita' Campo di eventi Assiomi della probabilita' Conseguenze Teoremi Proprieta' addittiva Probabilita' condizionata Proprieta' moltiplicativa Eventi indipendenti Probabilita' totale Formula di Bayes Teoria dei giochi Giochi di sorte Speranza matematica Gioco equo Gioco equo con probabilita' certe Gioco equo con probabilita' soggettive Il gioco organizzato Teorema della rovina del giocatore Distribuzioni di probabilita' Variabili aleatorie discrete Variabile aleatoria funzione di ripartizione Valore medio di una variabile aleatoria Varianza Scarto quadratico medio Distribuzioni di probabilita' discrete Distribuzione binomiale Il problema delle prove ripetute Un esempio per capire meglio Distribuzione binomiale (o di Bernoulli) Caratteristiche Distribuzione geometrica Problema del primo accadere di un evento Costanza dell'attesa di un evento Distribuzione geometrica Esempi di applicazione Distribuzione di Poisson Problema dell'accadere di eventi rari Distribuzione di Poisson Esempi di applicazione Variabili aleatorie continue Dal discreto al continuo Variabile aleatoria continua Funzione di ripartizione Funzione di densita' Introduzione Densita' media Funzione di densita' di probabilita' Relazioni notevoli Valore medio Varianza Scarto quadratico medio Distribuzioni di probabilita' continue Distribuzione uniforme Distribuzione esponenziale Distribuzione normale (Legge di Gauss) Gaussiana come limite (intuitivo) della variabile binomiale La variabile casuale con distribuzione gaussiana Studio della variabile casuale standardizzata Applicazioni pratiche della variabile gaussiana torna su Cenni di Statistica descrittiva torna su Matematica finanziaria ed attuariale introduzione Interpolazione lineare Cos'e' l'interpolazione lineare Interpolazione diretta Interpolazione inversa Logaritmi decimali Cos'e' un Logaritmo decimale Perche' i Logaritmi Logaritmi decimali Applicazioni con uso delle tavole Trasformare un numero nel Logaritmo corrispondente Calcoli con i Logaritmi Somma Differenza (CoLogaritmo) Trasformare un Logaritmo nel numero corrispondente Esercizi di calcolo con l'uso delle tavole Capitalizzazioni interesse Nomenclatura Regime di interesse semplice Determinazione della formula Capitalizzazione semplice Formule inverse Montante ad interesse semplice Approssimazione (cenni) Alcuni esempi Rappresentazioni grafiche Interesse semplice Montante ad interesse semplice Regime ad interesse composto Determinazione della formula Capitalizzazione composta Formule inverse Calcolo di C Calcolo di i Calcolo di t Calcolo dell'interesse I Rappresentazioni grafiche Tempi non interi Formula lineare Formula esponenziale Confronto fra interesse semplice e composto Alcuni esempi Capitalizzazione frazionata Cos'e' la capitalizzazione frazionata Tasso nominale Passaggio dal tasso frazionato al tasso annuo effettivo Passaggio dal tasso annuo effettivo al tasso frazionato Equivalenza fra due capitalizzazioni frazionate sconto definizione di sconto retta dei tempi regimi di sconto Sconto commerciale Sconto razionale Sconto composto Valutazione di somme future Utilizzo dei vari tipi di sconto Tasso di interesse e tasso di sconto Condizione di equivalenza fra tasso commerciale e razionale trasferimento di capitali nel tempo montante sulla retta dei tempi valore attuale sulla retta dei tempi proprieta' di u e v scindibilita' delle operazioni problemi piu' comuni unificazione di piu' crediti scadenza data riduzione ad una scadenza anteriore riduzione ad una scadenza posteriore riduzione ad una scadenza intermedia conclusioni ricerca della scadenza scadenza comune scadenza media sostituzione di piu' pagamenti ricerca dell'importo ad epoca fissa ricerca dell'importo ad epoche diverse ricerca della scadenza calcolo del tasso medio per piu' impieghi Rendite finanziarie definizione fonti di una rendita caratteri di una rendita valore di una rendita nomenclatura osservazione importante tipi di rendite rendite annue a rata costante calcolo del montante di rendita immediata montante di una rendita immediata posticipata montante di una rendita immediata anticipata montante calcolato k anni dopo l'ultimo versamento calcolo del valore attuale di rendita immediata valore attuale di una rendita immediata posticipata valore attuale di una rendita immediata anticipata calcolo del valore attuale di rendita differita cenni su una rendita perpetua scomposizione di rendite rendite frazionate a rata costante brevi cenni sulle rendite a rate variabili Costituzione di un capitale Ammortamento di un debito Assicurazioni Riserva matematica I problemi della scelta Introduzione alla programmazione lineare Cenni di programmazione lineare torna su Matematica per informatica introduzione Sistemi di numerazione Contare Cos'e' un sistema di numerazione Numeri in forma polinomiale Numeri e sistemi di numerazione nell'antichita' Il sistema di numerazione decimale Sistema binario introduzione la "tabellina" della somma nei numeri binari i numeri binari passaggio dal sistema decimale al sistema binario passaggio dal sistema binario al sistema decimale le operazioni nel sistema binario somma la differenza come somma complementare differenza prodotto quoziente i numeri con la virgola nel sistema binario bit e Byte bit Byte codice ascii Sistema ottale Sistema esadecimale sistema di numerazione a base 16 relazioni fra sistema esadecimale e binario un esempio: il comando “debug” Cenni sull'algebra binaria di Boole Un cenno storico Cos'e' una struttura algebrica Operazioni interne Algebra binaria di Boole Ordine delle operazioni Principio di dualita' Alcuni teoremi Ordinamento parziale Un esempio Espressioni booleane Introduzione Prodotti fondamentali Forma normale disgiuntiva Unicita' della forma normale disgiuntiva completa Conclusioni Circuiti logici ed elettrici interruttori il problema il circuito interruttore effetto magnetico di una corrente elettrica bobina elettrica il circuito interruttore il diodo transistor e chip di silicio Operazione unaria: il passaggio al complementare Prima operazione binaria: la somma logica Seconda operazione binaria: il prodotto logico Altre porte logiche Introduzione Porta nand Porta nor Porte logiche come disposizioni con ripetizione Equivalenza delle operazioni in informatica, logica e teoria degli insiemi Il circuito somma binaria Conclusioni torna su Successioni e serie Generalita' sulle successioni Introduzione Definizione Nomenclatura Particolari tipi di successioni somme somma della successione naturale con una costante successione dei numeri pari successione dei numeri dispari successione di Fibonacci prodotto per -1 successione dei numeri interi negativi successione dei numeri pari negativi successione dei numeri dispari negativi prodotto con fattori a segno alterno successione oscillante convergente successione oscillante divergente successione oscillante indeterminata prodotti Prodotto per 0 Prodotto per una costante diversa da 0 quozienti Divisione per una costante Termine variabile come divisore Rapporto fra due termini variabili elevamenti a potenza termine variabile alla base esponente variabile con base positiva esponente variabile con base negativa o nulla termine variabile sia alla base che all'esponente alcune successioni particolari successione fattoriale successione di Nepero altre successioni verso numeri trascendenti successione di numeri geometrici progressioni progressioni aritmetiche definizione ricerca di un termine qualunque costruzione di una progressione dati due termini conoscendo il termine di posto h determinare il termine di posto k somma di n termini di una progressione aritmetica progressioni geometriche definizione ricerca di un termine qualunque costruzione di una progressione dati due termini conoscendo il termine di posto h determinare il termine di posto k somma di n termini di una progressione geometrica somma dei termini di una progressione geometrica prodotto di n termini di una progressione geometrica Successioni definizioni rappresentazione cartesiana limiti di successioni numeriche reali limite finito di una successione limite infinito di una successione casi possibili successione infinitesima convergenza di una successione divergenza di una successione successioni aventi lo stesso carattere operazioni sulle successioni somma differenza prodotto quoziente operazioni sui limiti finiti di successioni somma differenza prodotto quoziente teoremi teorema dell'unicita' del limite teorema della permanenza del segno conseguenze del teorema della permanenza del segno teorema della minorante teorema della maggiorante teorema della minorante e maggiorante successioni monotone un esempio studio della successione geometrica criterio di convergenza di Cauchy Serie introduzione definizioni serie geometrica resto di una serie criterio generale di convergenza proprieta' di una serie proprieta' distributiva rispetto ad una costante proprieta' associativa criteri di convergenza e divergenza serie a segno costante serie a termini tutti positivi o tutti negativi conseguenze sulle ridotte serie armonica criterio del confronto serie a segno alterno convergenza della serie a termini a segno alterno applicazioni alle ridotte un esempio convergenza assoluta definizione di convergenza assoluta proprieta' cenni su altri criteri di convergenza criterio della radice criterio del rapporto criterio di Raabe operazioni sulle serie somma differenza prodotto secondo Cauchy conclusioni (utilizzo delle serie)