Geometria Solida Solidi di Rotazione.

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GEOMETRIA SOLIDA - SOLIDI DI ROTAZIONE

SUPERFICI DI ROTAZIONE

Fate questo semplice esperimento. Prendete un robusto filo di cotone e legate a un'estremità un peso: ad esempio una piccola pietra o un dado metallico.

Tenendo in mano l'altra estremità del filo, imprimete un movimento rotatorio alla mano finché il peso non avrà raggiunto una certa velocità: a questo punto avrete la sensazione visiva che il peso si muova lungo la base di una superficie conica.

Tale superficie è una superficie di rotazione, il cui asse è rappresentato dal filo verticale fermo, infatti ogni punto del filo (B, C, D) ruota descrivendo circonferenze i cui centri O', O'', O''' giacciono tutti sulla retta AA' che si chiama appunto asse di rotazione.

Diciamo che qui il filo in movimento ha generato una superficie di rotazione.

Allo stesso modo possiamo dire che la lama di un tornio da falegname imprime il suo profilo sul massello di legno messo in rotazione da un mandrino, funzionando quindi da generatrice.

Vogliamo precisare subito che:

Una superficie di rotazione generata da una linea curva non è sviluppabile su un piano.

Il filo in movimento dell'esperimento descritto e la curva BB' si dicono generatrici.

SOLIDI DI ROTAZIONE

Se al posto di una linea facciamo ruotare un poligono (o qualsiasi linea piana chiusa) attorno ad una retta ad esso complanare, otteniamo un solido di rotazione.

Ad esempio il triangolo rettangolo ABC che ruota attorno al cateto AC (fig. 331) genera un cono.

Alcuni dei solidi già incontrati nei capitoli precedenti possono essere ottenuti per rotazione di figure piane: un rettangolo che ruota attorno ad un proprio lato genera un cilindro circolare retto (fig. 332 e 333); un triangolo rettangolo che ruota attorno a un cateto genera un cono circolare retto; un trapezio che ruota attorno all'altezza genera un tronco di cono circolare retto.

Figg. 331, 332 e 333

Figg. 331, 332 e 333

Con la rotazione di molti poligoni semplici attorno ai loro lati si ottengono svariati solidi.

Così per esempio un triangolo acutangolo che ruota attorno a un lato genera un doppio cono con un'unica base, mentre gli altri due lati fanno da apotema e l'altezza relativa al lato adottato come perno di rotazione corrisponde al raggio di base.

Un trapezio rettangolo che ruota attorno alla base maggiore forma un solido costituito da un cilindro sormontato da un cono aventi la base in comune; l'apotema del cono è il lato obliquo, l'altezza è la differenza fra le basi del trapezio, l'altezza del cilindro è uguale alla base minore e l'altezza del trapezio diventa il raggio della base del solido.

Molti solidi di rotazione che incontriamo nella pratica quotidiana si ottengono per rotazione di figure piane attorno a un asse esterno; essi hanno tutti forma anulare, sono cioè vuoi all'interno.

Pensiamo a un tubo di ferro: è un solido di rotazione generato da un rettangolo che ruota attorno a una retta parallela a un lato; lo chiameremo cilindro cavo.

Anche la ciambella di salvataggio è un solido di rotazione generato da un cerchio rotante attorno a una retta esterna.

Tale solido si chiama toro, e torica o toroidale Ia sua superficie. La distanza OH, dal centro del cerchio all'asse di rotazione, è il raggio del toro.

Il cilindro cavo

Il doppio cono

Il toro

SEZIONI

Chiamiamo sezione normale la figura piana che si ottiene tagliando un solido di rotazione con un piano perpendicolare al suo asse.

La sezione normale di un solido di rotazione pieno è sempre un cerchio (fig. 341); quella di un solido di rotazione cavo è sempre una corona circolare (fig. 342).

Figg. 341 e 342

Figg. 341 e 342

Chiamiamo sezione longitudinale la figura piana che si ottiene tagliando un solido di rotazione con un piano che contiene il suo asse.

Una sezione longitudinale mette bene in evidenza la figura piana che ha generato il solido.

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VERO O FALSO?

1) La generatrice di una superficie di rotazione sviluppabile non può essere una linea curva.

2) Alcuni poligoni generano solidi di rotazione la cui superficie non è sviluppabile.

3) La superficie toroidale delimita un solido cavo.

4) La sezione longitudinale di un solido di rotazione è sempre un cerchio.

5) La sezione normale di un tubo è una corona circolare.

1) Vero.

2) Falso: tutti i solidi di rotazione generati da poligoni sono sviluppabili, perché un poligono è costituito da segmenti di linea retta.

3) Vero.

4) Falso: la sezione longitudinale di un solido di rotazione corrisponde alla figura che lo genera.

5) Vero.

ESERCIZI

1) Determinare l'apotema di un cono circolare retto alto m 4 il cui volume misura mc 37,68.

Troviamo dapprima il raggio con la prima delle (9) inverse:


    +---------
    ¦ 3*37,68
 r=m¦ ------- =m 3
   \¦ 3,14*4

Ora applichiamo la (5):

     +------
 a=m\¦3²+ 4²=m 5
2) Un tubo di ferro lungo 50 cm ha lo spessore di mm 2 e il raggio interno di mm 11.

Calcolare il suo peso, assumendo come peso specifico 7,8.

Troviamo innanzitutto il raggio esterno, che corrisponde alla somma del raggio interno e dello spessore:

R = mm (11+2) = mm 13

Ora possiamo calcolare il volume con la (19), ricordando che cm 50 = mm 500:

V = mm3 [3,14*500 (132-112)] = mm3 75.360

Infine il peso:

P = mg (75.360*7,8) = mg 587.808

3) Determinare la superficie di un doppio cono convesso il cui raggio di base misura m 6 e le due altezze m 8 e m 4,5.

Calcolate i due apotemi con le (20) e (21):


      +------
 a'=m\¦6²+ 8²=m 10

      +--------
 a"=m\¦6²+ 4,5²=m 7,5
Ora applichiamo la (23):

S=m2[3,l4*6(10+7,5)]=

= m2 329,7

4) Determinare il peso di un anello d'oro del diametro di mm 16, di sezione circolare con raggio mm 0,5, assumendo il peso specifico dell'oro pari a 19,5.

Si tratta di un toro in cui R assume il valore di mm ( 16:2) = 8; con la (31) possiamo calcolare il volume:

V=mm3(2*3,142*8*0,52)=

= mm3 39,48

Ora troviamo il peso:

P = mg (39,48*19,5) = mg 769,8

Ed ecco, al solito, un problema concreto.

Vogliamo rifornire la nostra cantina con circa 500 bottiglie di «Chianti» da acquistare presso un'azienda di produzione vinicola.

Il vino viene fornito esclusivamente in damigiane.

Sapendo che ogni bottiglia contiene litri 0,75, si chiede quante damigiane dovranno essere acquistate.

Si vuol inoltre determinare il costo al litro, sapendo che ogni damigiana costa Euro. 200.

Determiniamo dapprima la capacità di ogni damigiana:

essa è formata da due tronchi di cono sovrapposti aventi una base in comune, precisamente quella il cui raggio misura cm 30; le altre basi hanno il raggio di cm 4 e cm 25.

Le due altezze misurano cm 15 e cm 35. Utilizzando la (15) otteniamo rapidamente il volume della damigiana.

Tronco di cono superiore:

V = cm3 [(3,14*15):3 (42+4*30+302)] = cm3 16.265,2

Tronco di cono inferiore:

V = cm3 [(3,14*35):3 (252+25*30+302)] = cm3 83.340,8

Il volume totale sarà dato dalla somma:

V = cm3 (16.265,2+83.340,8) = cm3 99.606

corrispondenti a litri 99,606.

La quantità di vino da acquistare è data da:

litri (0,75*500) = litri 375

che richiedono per il trasporto un numero di damigiane pari a:

(375:99,606) = 3,76

Per maggiore comodità ne acquisteremo quattro. Il prezzo del vino al litro sarà dato da:

Euro (200:99,606) = Euro 2,0079

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Tabella riassuntiva dei solidi di rotazione (1ª)

Tabella riassuntiva dei solidi di rotazione (1ª)

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Tabella riassuntiva dei solidi di rotazione (2ª)

Tabella riassuntiva dei solidi di rotazione (2ª)

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