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Geometria Solida Solidi di Rotazione.

Notizie del giorno per documentarsi su ciò che accade nel mondo !

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La scuola consegue tanto meglio il proprio scopo quanto più pone l'individuo in condizione di fare a meno di essa.
(Ernesto Codignola)

Superfici di rotazione

Solidi di rotazione

Un triangolo rettangolo che ruota attorno a un cateto genera un cono circolare retto; un rettangolo che ruota attorno ad un proprio lato genera un cilindro circolare retto

Con la rotazione di molti poligoni semplici attorno ai loro lati si ottengono svariati solidi

Sezioni

La sezione normale di un solido di rotazione pieno è sempre un cerchio; quella di un solido di rotazione cavo è sempre una corona circolare

Chiamiamo sezione longitudinale la figura piana che si ottiene tagliando un solido di rotazione con un piano che contiene il suo asse

Il cilindro cavo

Il doppio cono

Il toro

Vero o falso

Esercizi

Tronco di cono superiore

Tabella riassuntiva dei solidi di rotazione

Tabella riassuntiva dei solidi di rotazione 1

Linea flashing backefro

Linea flashing backefro

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Cilindri e prismi

Ripasso di matematica Geometria dello spazio

Prisma retto Cilindro Superficie e Volume

Aritmetica Geometria Informatica

Geometria Piana e Solida

Geometria piana e solida

Elementi Fondamentali della Geometria

Gli Angoli

Il Triangolo

Il Cerchio

Linee sul Piano

Quadrilateri e Poligoni

Superficie dei Poligoni

Cilindri e Prismi

Coni e Piramidi

Gli Esaedri

La Sfera

Geometria Solida Nozioni Generali

Solidi di Rotazione

Vocabolario I F GB D

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Linea flashing backefro

Linea flashing backefro

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GEOMETRIA SOLIDA - SOLIDI DI ROTAZIONE

SUPERFICI DI ROTAZIONE

Fate questo semplice esperimento.

Prendete un robusto filo di cotone e legate a un'estremità un peso:

ad esempio una piccola pietra o un dado metallico.

Tenendo in mano l'altra estremità del filo, imprimete un movimento rotatorio alla mano finché il peso non avrà raggiunto una certa velocità:

a questo punto avrete la sensazione visiva che il peso si muova lungo la base di una superficie conica.

Tale superficie è una superficie di rotazione, il cui asse è rappresentato dal filo verticale fermo, infatti ogni punto del filo (B, C, D) ruota descrivendo circonferenze i cui centri O', O'', O''' giacciono tutti sulla retta AA' che si chiama appunto asse di rotazione.

Diciamo che qui il filo in movimento ha generato una superficie di rotazione.

Allo stesso modo possiamo dire che la lama di un tornio da falegname imprime il suo profilo sul massello di legno messo in rotazione da un mandrino, funzionando quindi da generatrice.

Vogliamo precisare subito che:

Una superficie di rotazione generata da una linea curva non è sviluppabile su un piano.

Il filo in movimento dell'esperimento descritto e la curva BB' si dicono generatrici.

Linea flashing backefro

Linea flashing backefro

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SOLIDI DI ROTAZIONE

Se al posto di una linea facciamo ruotare un poligono (o qualsiasi linea piana chiusa) attorno ad una retta ad esso complanare, otteniamo un solido di rotazione.

Ad esempio il triangolo rettangolo ABC che ruota attorno al cateto AC (fig. 331) genera un cono.

Alcuni dei solidi già incontrati nei capitoli precedenti possono essere ottenuti per rotazione di figure piane:

un rettangolo che ruota attorno ad un proprio lato genera un cilindro circolare retto (fig. 332 e 333);

un triangolo rettangolo che ruota attorno a un cateto genera un cono circolare retto;

un trapezio che ruota attorno all'altezza genera un tronco di cono circolare retto.

Figg. 331, 332 e 333

Linea flashing backefro

Linea flashing backefro

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Solidi di rotazione Cono retto e Cilindro

Con la rotazione di molti poligoni semplici attorno ai loro lati si ottengono svariati solidi.

Così per esempio un triangolo acutangolo che ruota attorno a un lato genera un doppio cono con un'unica base, mentre gli altri due lati fanno da apotema e l'altezza relativa al lato adottato come perno di rotazione corrisponde al raggio di base.

Un trapezio rettangolo che ruota attorno alla base maggiore forma un solido costituito da un cilindro sormontato da un cono aventi la base in comune;

l'apotema del cono è il lato obliquo, l'altezza è la differenza fra le basi del trapezio, l'altezza del cilindro è uguale alla base minore e l'altezza del trapezio diventa il raggio della base del solido.

Molti solidi di rotazione che incontriamo nella pratica quotidiana si ottengono per rotazione di figure piane attorno a un asse esterno;

essi hanno tutti forma anulare, sono cioè vuoi all'interno.

Pensiamo a un tubo di ferro:

è un solido di rotazione generato da un rettangolo che ruota attorno a una retta parallela a un lato;

lo chiameremo cilindro cavo.

Anche la ciambella di salvataggio è un solido di rotazione generato da un cerchio rotante attorno a una retta esterna.

Tale solido si chiama toro, e torica o toroidale Ia sua superficie.

La distanza OH, dal centro del cerchio all'asse di rotazione, è il raggio del toro.

Video:

Il cilindro cavo

Il doppio cono

Il toro

SEZIONI

Chiamiamo sezione normale la figura piana che si ottiene tagliando un solido di rotazione con un piano perpendicolare al suo asse.

La sezione normale di un solido di rotazione pieno è sempre un cerchio (fig. 341);

quella di un solido di rotazione cavo è sempre una corona circolare (fig. 342).

Figg. 341 e 342

Sezione di un solido di rortazione

Chiamiamo sezione longitudinale la figura piana che si ottiene tagliando un solido di rotazione con un piano che contiene il suo asse.

Una sezione longitudinale mette bene in evidenza la figura piana che ha generato il solido.

VERO O FALSO?

1) La generatrice di una superficie di rotazione sviluppabile non può essere una linea curva.

2) Alcuni poligoni generano solidi di rotazione la cui superficie non è sviluppabile.

3) La superficie toroidale delimita un solido cavo.

4) La sezione longitudinale di un solido di rotazione è sempre un cerchio.

5) La sezione normale di un tubo è una corona circolare.

1) Vero.

2) Falso: tutti i solidi di rotazione generati da poligoni sono sviluppabili, perché un poligono è costituito da segmenti di linea retta.

3) Vero.

4) Falso: la sezione longitudinale di un solido di rotazione corrisponde alla figura che lo genera.

5) Vero.

ESERCIZI

1) Determinare l'apotema di un cono circolare retto alto m 4 il cui volume misura mc 37,68.

Troviamo dapprima il raggio con la prima delle (9) inverse:


    +---------
    ¦ 3*37,68
 r=m¦ ------- =m 3
   \¦ 3,14*4

Ora applichiamo la (5):

     +------
 a=m\¦3²+ 4²=m 5
2) Un tubo di ferro lungo 50 cm ha lo spessore di mm 2 e il raggio interno di mm 11.

Calcolare il suo peso, assumendo come peso specifico 7,8.

Troviamo innanzitutto il raggio esterno, che corrisponde alla somma del raggio interno e dello spessore:

R = mm (11+2) = mm 13

Ora possiamo calcolare il volume con la (19), ricordando che cm 50 = mm 500:

V = mm3 [3,14*500 (132-112)] = mm3 75.360

Infine il peso:

P = mg (75.360*7,8) = mg 587.808

3) Determinare la superficie di un doppio cono convesso il cui raggio di base misura m 6 e le due altezze m 8 e m 4,5.

Calcolate i due apotemi con le (20) e (21):


      +------
 a'=m\¦6²+ 8²=m 10

      +--------
 a"=m\¦6²+ 4,5²=m 7,5
Ora applichiamo la (23):

S=m2[3,l4*6(10+7,5)]=

= m2 329,7

4) Determinare il peso di un anello d'oro del diametro di mm 16, di sezione circolare con raggio mm 0,5, assumendo il peso specifico dell'oro pari a 19,5.

Si tratta di un toro in cui R assume il valore di mm ( 16:2) = 8; con la (31) possiamo calcolare il volume:

V=mm3(2*3,142*8*0,52)=

= mm3 39,48

Ora troviamo il peso:

P = mg (39,48*19,5) = mg 769,8

Ed ecco, al solito, un problema concreto.

Vogliamo rifornire la nostra cantina con circa 500 bottiglie di «Chianti» da acquistare presso un'azienda di produzione vinicola.

Il vino viene fornito esclusivamente in damigiane.

Sapendo che ogni bottiglia contiene litri 0,75, si chiede quante damigiane dovranno essere acquistate.

Si vuol inoltre determinare il costo al litro, sapendo che ogni damigiana costa Euro. 200.

Determiniamo dapprima la capacità di ogni damigiana:

essa è formata da due tronchi di cono sovrapposti aventi una base in comune, precisamente quella il cui raggio misura cm 30; le altre basi hanno il raggio di cm 4 e cm 25.

Le due altezze misurano cm 15 e cm 35. Utilizzando la (15) otteniamo rapidamente il volume della damigiana.

Tronco di cono superiore:

V = cm3 [(3,14*15):3 (42+4*30+302)] = cm3 16.265,2

Tronco di cono inferiore:

V = cm3 [(3,14*35):3 (252+25*30+302)] = cm3 83.340,8

Il volume totale sarà dato dalla somma:

V = cm3 (16.265,2+83.340,8) = cm3 99.606

corrispondenti a litri 99,606.

La quantità di vino da acquistare è data da:

litri (0,75*500) = litri 375

che richiedono per il trasporto un numero di damigiane pari a:

(375:99,606) = 3,76

Per maggiore comodità ne acquisteremo quattro. Il prezzo del vino al litro sarà dato da:

Euro (200:99,606) = Euro 2,0079

Tabella riassuntiva dei solidi di rotazione (1ª)

Tabella riassuntiva dei solidi di rotazione (1ª)

Tabella riassuntiva dei solidi di rotazione (2ª)

Tabella riassuntiva dei solidi di rotazione (2ª)

Vocabolario I F GB D e Vocabolario di Latino

àrido.

1 (agg.), secco. 2 fig. sentimentalmente povero. 3 -ménte (avv.) in modo arido. 4 (s.m. pl.), solidi misurabili come i liquidi.

Inglese

dry

Francese

aride

Tedesco

dürr

coesione.

(s.f.), la forza che unisce le molecole di un corpo; massima nei solidi, media nei liquidi e minima nei gas.

Inglese

cohesion

Francese

(f.) cohésion

Tedesco

(m.) Zusammenhalt

estrattore.

(s.m.), 1 che è addetto a lavori di estrazione. 2 nelle armi da fuoco dispositivo per estrarre i bossoli dalla canna. 3 strumento chirurgico che serve ad estrarre corpi estranei agli organi. 4 in mecc. apparecchio per estrarre da una pressa un pezzo lavorato. 5 in chim. apparecchio di estrazione di solidi e liquidi.

Inglese

extractor

Francese

(m.) extracteur

Tedesco

(m.) Auswerfer

fornello.

(s.m.), 1 apparecchio alimentato sia da combustibili solidi che liquidi o gassosi, serve per cuocere le vivande: - a gas. 2 cavità della pipa dove brucia il tabacco. 3 luogo delle caldaie dove avviene la combustione. 4 condotto di comunicazione fra due livelli di una miniera.

Inglese

stove

Francese

(m.) fourneau

Tedesco

(m.) kleiner Ofen

frantoio.

(s.m.), 1 macchina che serve a macinare o frantumare materiali solidi e compatti come rocce, olive, semi, ecc. 2 luogo ove si effettua la frangitura.

Inglese

oil-mill

Francese

(m.) broyeur

Tedesco

(f.) presse

geometrìa.

(s.f.), scienza che studia la proprietà delle figure piane e dei solidi.

Inglese

geometry

Francese

(f.) géométrie

Tedesco

(f.) Geometrie

geostàtica.

(s.f.), parte della fisica che studia l'equilibrio dei corpi solidi.

Inglese

geostatics

Francese

(f.) géostatique

Tedesco

(f.) Gleichgewichtslehre

lunghezza.

(s.f.), 1 in geom. estensione di un segmento e la sua misura; è una delle tre dimensioni dei solidi. 2 la massima estensione di un oggetto e la misura che la rappresenta. 3 durata nel tempo.

Inglese

lenght

Francese

(f.) longueur

Tedesco

(f.) Länge

occlusione.

(s.f.), 1 atto, effetto dell'occludere. 2 in chim. assorbimento di gas da parte di solidi.

Inglese

occlusion

Francese

(f.) occlusion

Tedesco

(m.) Verschluß

picnòmetro.

(s.m.), apparecchio per determinare la densità di corpi solidi e liquidi.

Inglese

pycnometer

Francese

(m.) pycnomètre

stereometria.

(s.f.), branca della geometria che si occupa dei solidi.

Inglese

stereometry

Francese

(f.) stéréométrie

Tedesco

(f.) Stereometrie

totalrifrattometro.

(s.m.; ott.), strumento che misura l'indice di riflessione dei liquidi e dei solidi; è basato sul fenomeno della riflessione totale della luce.

Inglese

total refractometer

Francese

(m.) réfractomètre total

Tedesco

(n.) Totalreflektometer

volumenòmetro.

(s.m.), in fis. strumento per la misurazione del volume dei corpi solidi.

Inglese

volumenometer

Francese

(m.) voluménomètre

Tedesco

(n.) Volumenometer

abbattuta.

(s.f.), 1 insieme di alberi abbattuti. 2 mar. rotazione che effettua una imbarcazione a vela per prendere il vento.

Inglese

felling

Francese

(m.) abattis

ABS.

(s.m.; ingl.) termine inglese con cui si indica negli autoveicoli, il sistema antibloccaggio delle ruote. Consiste in una centralina elettronica informata da un microprocessore e da sensori che misurano costantemente la velocità di rotazione delle ruote valutando l'eventuale tendenza a bloccarsi. In caso di frenata l'ABS interviene immediatamente, riducendo la pressione nel circuito frenante ed evitando ogni rischio di bloccaggio delle ruote. L'ABS costituisce un importante contributo per la sicurezza di guida e si rivela utilissimo in casi di frenate di emergenza, in particolare su fondi scivolosi.

Inglese

ABS

Francese

ABS

Tedesco

ABS

avvitaménto.

(s.m.), 1 l'avvitare, l'avvitarsi. 2 in ginnastica, rotazione del corpo su sé stesso.

Inglese

spin

Francese

(m.) vissage

Tedesco

(f.) Verschraubung

baionétta.

(s.f.), 1 arma bianca che si può innestare sul fucile. 2 tecn. innesto a -: giunzione di due pezzi infilati uno nell'altro e fissati con una piccola rotazione.

Inglese

bayonet.

Francese

(f.) baïonnette.

Tedesco

(n.) Bajonett

catenoide.

(s.f.), solido di rotazione generato da una catenaria.

Francese

(f.) caténoïde

Tedesco

(n.) Katenoid

circolazione.

(s.f.), 1 atto ed effetto del circolare: stradale, aerea; tassa di -, imposta che colpisce i possessori di autoveicoli motoveicoli natanti e aeromobili libretto di -, documento attestante l'avvenuto pagamento dell'imposta e la libera circolazione del mezzo. 2 in anat. - del sangue, il fluire del sangue dal cuore alle arterie, dalle arterie alle vene e dalle vene al cuore. 3 in fis. - atmosferica, il movimento costante dei venti dovuto all'irradiazione solare e alla rotazione terrestre.

Inglese

circulation

Francese

(f.) circulation

Tedesco

(m.) Umlauf

circonduzione.

(s.f.), esercizio ginnico che prevede la rotazione del braccio teso intorno all'articolazione della spalla.

Inglese

circling

Francese

(f.) circumduction.

Tedesco

(n.) Kreisen

colt.

(s.m. ingl.), pistola a rotazione.

Inglese

Colt revolver

Francese

(m.) colt

Tedesco

(m.) Colt

cono.

(s.m.), 1 figura geometrica generata dalla rotazione di un triangolo rettangolo intorno ad uno dei cateti. 2 tutto ciò che ha forma di cono: un - di gelato. 3 in bot. frutto legnoso a forma di cono.

Inglese

cone

Francese

(m.) cône

Tedesco

(m.) Kegel

ellissòide.

(s.m.), in geom. superficie ottenuta dalla rotazione di un'ellisse attorno ad uno dei suoi assi.

Inglese

ellipsoid

Francese

(m.) ellipsoide

Tedesco

(n.) Ellipsoid

fase.

(s.f.), 1 in astr. ognuno degli aspetti assunti da un pianeta durante la rotazione: - lunare, aspetti presentati dalla luna rispetto al Sole e alla Terra. 2 stato; momento caratteristico di un fenomeno: - di sviluppo; - di compressione di un motore; essere fuori fase, fig. trovarsi in un momento di sbandamento psichico o fisico. 3 differenza di -, in elettr. misura di sfasamento fra la corrente e la tensione in un circuito elettrico. 4 in chim. quantità di materia omogenea, separabile da un'altra.

Inglese

stage

Francese

(f.) phase

Tedesco

(f.) Phase

floppy disk o diskette o disco flessibile.

(s.m. ingl.), termine inglese usato nel campo dell'informatica per indicare un sottile disco di materiale plastico rivestito con uno strato magnetico su una o due facce e chiuso in una busta che lascia solo le aperture necessarie per metterlo in rotazione e leggerlo o scriverlo. E' governato da un drive e può avere un diametro di 3,5 pollici o 5,25 pollici. Il floppy può essere sia a faccia singola che a doppia faccia.

Inglese

floppy disk

Francese

floppy disk

Tedesco

(f.) Diskette

giravolta.

(s.f.), 1 movimento di rotazione. 2 serpentina. 3 cambiamento improvviso di idee o di sentimenti.

Inglese

twirl

Francese

(f.) pirouette

Tedesco

(m.) Purzelbau

parabolòide.

(s.m.), in geom. solido dato dalla rotazione di una parabola intorno al proprio asse.

Inglese

paraboloid

Francese

(m.) paraboloïde

Tedesco

(n.) Paraboloid

periodo.

(s.m.), 1 ognuna delle parti in cui può essere suddivisa la durata di qualcosa; spazio di tempo con caratteristiche determinate. 2 frasi musicali collegate; più proposizioni che formano un senso compiuto. 3 spazio di tempo necessario, in un moto oscillatorio, alternato, circolare, per ritornare nella posizione di partenza; tempo impiegato da un astro per compiere una rotazione o rivoluzione. 4 serie di elementi a numero atomico crescente.

Inglese

period

Francese

(f.) période

Tedesco

(f.) Zeitspanne

piroetta.

(s.f.), 1 rapida rotazione del corpo su sé stesso. 2 figura di danza e del pattinaggio artistico; esercizio d'alta equitazione.

Inglese

pirouette

Francese

(f.) pirouette

Tedesco

(f.) Pirouette

polo.

(s.m.), 1 ciascuno dei due punti in cui la superficie terrestre interseca l'asse di rotazione. 2 le regioni intorno ai poli. 3 posizione antitetica ad un'altra. 4 la proiezione dei poli terrestri sulla sfera celeste. 5 punto dotato di particolare caratteristica o simmetria. 6 estremità di un asse di simmetria di un organismo, di una cellula, ecc. 7 gioco disputato da due squadre a cavallo, le quali cercano di mandare nella porta avversaria una palla colpendola con una mazza. 8 indumento di maglia come quello indossato dai giocatori di polo.

Inglese

pole

Francese

(m.)pôle

Tedesco

(m.)Pol

quarterìa.

(s.f.), in agr. la rotazione di quattro anni, con un anno a riposo o a maggese.

Francese

(f.) assolement quadriennal

rotativo.

(agg.), 1 dotato di movimento rotatorio. 2 che avviene per rotazione.

Inglese

rotative

Francese

rotatif

Tedesco

drehend

rotazionale.

(agg.), della rotazione.

Inglese

rotational

Francese

rotationnel

Tedesco

Rotations...

rotazione.

(s.f.), 1 movimento di un corpo intorno ad un altro o intorno al proprio asse. 2 avvicendamento, successione ordinata.

Inglese

rotation

Francese

(f.) rotation

Tedesco

(m.) Umlauf

sincronizzatore.

(s.m.), dispositivo che serve a sincronizzare due o più movimenti; in aer. dispositivo che permette di sparare attraverso la rotazione dell'elica senza colpire le pale.

Inglese

synchronizer

Francese

(m.) synchroniseur

Tedesco

(m.) Synchronisierer

snodo.

(s.m.), snodatura, giunto meccanico che permette movimenti di rotazione.

Inglese

joint

Francese

(f.) articulation

Tedesco

(m.) Gelenk

spin.

(s.m.), momento magnetico di rotazione delle particelle elementari e dei nuclei atomici.

Inglese

spin

Francese

(m.) spin

Tedesco

(m.) Spin

splenio.

(s.m.), muscolo che riveste la parte posteriore della nuca e consente l'inclinazione e la rotazione del capo.

Inglese

splenius

Francese

(m.) splénius

Tedesco

(m.) Kopfmuskel

toro.

(s.m.), 1 (mat.), superficie generata dalla rotazione di una circonferenza intorno ad una retta ad essa esterna. 2 (arch.), modanatura nel basamento di una colonna.

Inglese

torus

Francese

(m.) tore

Tedesco

(m.) Thorus

torsione.

(s.f.), 1 il torcere, il torcersi; rotazione del corpo umano attorno ai suo asse longitudinale: la - della testa; - del busto; elasticità di -, proprietà di alcuni corpi di riprendere la forma primitiva al cessare della sollecitazione di torsione. 2 (fis.), sollecitazione semplice che si ha in un solido quando l'azione esterna riduce ad una coppia di forze agenti nel piano della sezione.

Inglese

torsion

Francese

(f.) torsion

Tedesco

(f.) Drehung

circŭmactus

ūs, m.: rotazione, rivoluzione (intorno ad un asse).

Linea flashing backefro

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