Geometria Solida Gli Esaedri

 

 
    

trapaninfo.it

All together, we can do a better world.

World goes where we like and wish He goes. It's up to all of us.

trapaninfo.it

Geometria Solida Gli Esaedri

  

... trapaninfo.it

Geometria Solida Gli Esaedri

-^

GEOMETRIA SOLIDA - GLI ESAEDRI

IL CUBO

Sappiamo già che un esaedro è un poliedro con sei facce. Qui però ci occuperemo di alcuni esaedri particolarmente semplici che si incontrano spesso nella esperienza quotidiana. Il primo di questi è il cubo o esaedro regolare: le sue facce sono sei quadrati tutti uguali, il lato dei quali si chiama spigolo del cubo (fig. 280).

Figg. 280 e 281

Il cubo

 

-^

AREA DELLA SUA SUPERFICIE

Ritagliando opportunamente la superficie lungo gli spigoli otteniamo lo sviluppo del cubo.

Dalla fig. 281 deduciamo facilmente la seguente regola:

Figg. 280 e 281

La superficie di un cubo equivale a sei volte la superficie di una sua faccia:

A = 6l2 (1)

-^

VOLUME DEL CUBO

Osserviamo: un cubetto di lato 1 cm ha il volume di 1 cmc Per costruire un cubo di lato doppio occorrono 8 (cioè 23) cubetti e per costruirne uno di lato triplo ne occorrono 27 (cioè 33). Ne deduciamo che:

Il volume del cubo è uguale alla terza potenza della misura del lato;

V = l3 (2)

-^

IL PARALLELEPIPEDO RETTANGOLO

Il tuo libro di matematica, la tua stanza, il televisore, sono tutti oggetti che suggeriscono l'idea del parallelepipedo rettangolo. Diremo che:

Il parallelepipedo rettangolo è un esaedro formato da sei facce rettangolari, a due a due uguali e parallele.

La lunghezza degli spigoli a, b, c, oppure a', b', c', o ancora a'', b'', c'', si dicono dimensioni rispettivamente del parallelepipedo, del televisore e del libro. La faccia su cui poggia il solido prende il nome di base (ad esempio il sottofondo del televisore e la copertina del libro).

-^

AREA DELLA SUA SUPERFICIE

Anche il parallelepipedo può essere sviluppato come il cubo (fig. 284): si nota che le tre facce fra loro diverse hanno area ab, cb e ac, m poiché l'area totale è la somma delle aree delle sei facce. Si ha:

A = 2ab + 2bc + 2ac (3)

Fig. 284

-^

VOLUME DEL PARALLELEPIPEDO

Osserva la fig. 285: lo spigolo AB è occupato da 2 cubetti, AC da 5 e AD da 3. Il parallelepipedo è formato da trenta cubetti, cioè esattamente 2¦3¦5. Se lo spigolo del cubetto misura un centimetro il volume totale sarà di 30 cmc. In generale possiamo dire che:

Il volume del parallelepipedo è uguale al prodotto delle tre dimensioni:

V = a*b*c (4)

Fig. 285

-^

DIAGONALI

Osserviamo che il parallelepipedo e il cubo possiedono quattro diagonali uguali fra loro, che si incontrano tagliandosi a metà in un punto P. Calcoliamone la lunghezza. In virtù del teorema di Pitagora, possiamo scrivere:

                                         +-------
          CH² = DC²+DH²            BH = \¦BC²+CH²
                                                               (5)
                +-----------                +----------
e quindi: BH = \¦BC²+DC²+DH²      cioè d = \¦a²+ b²+ c²
La lunghezza della diagonale del parallelepipedo rettangolo è uguale alla radice quadrata della somma dei quadrati delle tre dimensioni.

Ricorda che il cubo si può considerare come un parallelepipedo rettangolo che ha le tre dimensioni tutte uguali; confronta infatti le formule (1) e (2) con le (3) e (4), che danno l'area e il volume rispettivamente del cubo e del parallelepipedo: la (3) diviene uguale alla (1) e la (4) diviene uguale alla (2) se si pone l al posto di a,b e c. Applicando lo stesso metodo con la (5) troveremo la diagonale del cubo:


                  +----------    +----
             d = \¦l²+ l²+ l² = \¦3 l² = l ¹3 = l*1,732        (6)

-^

PARALLELEPIPEDO OBLIQUO

Deformando un parallelepipedo rettangolo, alcuni o tutti i diedri non misureranno più 90°: saremo cioè in presenza di un parallelepipedo obliquo. Le sue facce saranno dei parallelogrammi a due a due uguali; deformando completamente un cubo le sue facce si trasformano in rombi e avremo un romboedro.

-^

VERO O FALSO?

1) Le diagonali di un parallelepipedo sono a due a due uguali.

2) Il cubo è un parallelepipedo rettangolo con le tre dimensioni uguali.

3) Il parallelepipedo si dice rettangolo quando le sue facce sono dei rettangoli.

4) Il cubo è un esaedro regolare perché ha le facce e i diedri fra loro uguali.

5) Le diagonali di un romboedro non sono tutte uguali.

1) Falso: sono tutte e quattro uguali.

2) Vero.

3) Falso: si dice rettangolo se tutti i diedri sono uguali e quindi retti; infatti due delle sei facce possono anche essere quadrate.

4) Vero.

5) Vero.

-^

ESERCIZI

(Sono già risolti ma tu prova a studiarli con l'aiuto della tav. 2)

l) Calcolare l'area laterale di un parallelepipedo rettangolo di dimensioni cm 15, cm 20 e cm 37, considerando quest'ultima come altezza. Applicando la (3) si ha:

A l = cm2(15+20)*37 = cm2 2590

2) L'area totale di un parallelepipedo rettangolo misura m2 900. Determinare l'altezza sapendo che le dimensioni di base sono rispettivamente m 12 e m 15. Applicando la terza delle (4) inverse:

c = m[900-2(12+15)]:[2*(12+15)] = m 15,36

3) Calcolare il volume di un parallelepipedo rettangolo di dimensioni 9, 13 e 20. Applicando-la formula (S) si ha:

V = m3 9*13*20 = mc 2340

4) Calcolare l'area totale di un cubo di lato cm 8. Applicando la (9):

A t = cm2 (6*82) = cm2 384

5) Calcolare il volume di un cubo di lato cm 12. Applicando la (10):

V = cm3 123 = cm3 1728

6) Calcolare il lato di un cubo la cui diagonale misura m 24,248. Applicando la (11) inversa si ha:

l = m(24,248:1,732) = m 14

7) Un parallelepipedo obliquo è alto cm 25 e il parallelogrammo di base ha area di cmc 30. Calcolare il volume. Applichiamo la (7):

V = m3 (30*25) = m3 750

Affrontiamo ora un problema pratico.

Esempio. La pompa che alimenta la vasca di una piscina olimpionica è in grado di erogare 25 litri d'acqua al secondo. La vasca, larga 25 metri e lunga 50, è divisa in due zone di diversa profondità: la prima, destinata ai tuffi dal trampolino, è profonda m 5 e si estende in lunghezza per 20 m, mentre la parte restante è profonda solo m 2. Si chiede il tempo necessario al completo riempimento della vasca.
Dobbiamo calcolare il volume della vasca e dividerlo poi per la portata (25 litri al secondo), ricordando che un litro corrisponde a 1 dmc. Osserviamo in figura che la zona da riempire si compone di de parallelepipedi aventi in comune la dimensione in larghezza di 25 m.

I) Calcoliamo il volume dell'acqua alta:

m3 (20*5*25) = m3 2500

II) Calcoliamo il volume dell'acqua bassa:

m3 (30*2*25) = m3 1500

III) Calcoliamo il volume totale e convertiamolo in litri:

V = m3 (2500+1500) = m3 4000 = litri 4.000.000

IV) Calcoliamo il tempo necessario al riempimento in secondi:

sec. (4.000.000:25) = sec. 160.000

Occorrono quindi 160.000 secondi, pari a 44 ore, 26 minuti e 40 secondi. In pratica, quasi due giorni.

Tabella riassuntiva degli esaedri

-^

-^

trapaninfo.it Web Trapanese di Trapanesi sul Web

All together, we can do a better world. World goes where we like and wish He goes. It's up to all of us.

Web Trapanese di Trapanesi e ... per tutti quelli che vogliono esserci!

Richiesta inserimento in trapaninfo.it!

To whom it may concern. Ask for inserting a banner of Your business logo or portal!

-^

Meteo Sicilia

-^

-^

-^

-^

in trapaninfo.it disclaim Richiesta inserimento eMail@webmaster -^up^

Web Trapanese eXTReMe Tracker
Web Trapanese free counters

gbm w3c

Ai sensi dell'art. 5 della legge 22 aprile 1941 n. 633 sulla protezione del diritto d'autore, i testi degli atti ufficiali dello Stato e delle amministrazioni pubbliche, italiane o straniere, non sono coperti da diritti d'autore. Il copyright, ove indicato, si riferisce all'elaborazione e alla forma di presentazione dei testi stessi. L'inserimento di dati personali, commerciali, collegamenti (link) a domini o pagine web personali, nel contesto delle Yellow Pages Trapaninfo.it (TpsGuide), deve essere liberamente richiesto dai rispettivi proprietari. In questa pagina, oltre ai link autorizzati, vengono inseriti solo gli indirizzi dei siti, recensiti dal WebMaster, dei quali i proprietari non hanno richiesto l'inserimento in trapaninfo.it. Il WebMaster, in osservanza delle leggi inerenti i diritti d'autore e le norme che regolano la proprietà industriale ed intellettuale, non effettua collegamenti in surface deep o frame link ai siti recensiti, senza la dovuta autorizzazione. Il webmaster, proprietario e gestore dello spazio web nel quale viene mostrata questa URL, non è responsabile dei siti collegati in questa pagina. Le immagini, le foto e i logos mostrati appartengono ai legittimi proprietari. La legge sulla privacy, la legge sui diritti d'autore, le regole del Galateo della Rete (Netiquette), le norme a protezione della proprietà industriale ed intellettuale, limitano il contenuto delle Yellow Pages Trapaninfo.it Portale Provider Web Brochure e Silloge del web inerente Trapani e la sua provincia, ai soli dati di utenti che ne hanno liberamente richiesto l'inserimento. Chiunque, vanti diritti o rileva che le anzidette regole siano state violate, può contattare il WebMaster. Note legali trapaninfo.it contiene collegamenti a siti controllati da soggetti diversi i siti ai quali ci si può collegare non sono sotto il controllo di trapaninfo.it che non è responsabile dei loro contenuti. trapaninfo.it

Shiny Stat

Check google pagerank for trapaninfo.it

-^

Copyright (c) 2002-19 trapaninfo.it TP Comuni