Il Cerchio.

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GEOMETRIA PIANA - IL CERCHIO

LUNGHEZZA DELLA CIRCONFERENZA

Se avvolgiamo con un metro da sarto una ruota e leggiamo il valore corrispondente, avremo una misura della sua circonferenza.

Analogamente, controllando con una riga la lunghezza della traccia di tintura lasciata da un pennello a rullo in un giro completo avremo una misura del suo contorno.

Le lunghezze AB e A'B' si chiamano circonferenze rettificate.

Possiamo subito verificare che:

3.14

Il numero 3,14 viene indicato con il simbolo p (leggi «pi greca»).

Compiendo molte altre esperienze come questa arriveremo a dedurre la seguente proprietà:

il rapporto tra la lunghezza c di una circonferenza e il suo diametro d è sempre uguale al numero p:

c = p d d = c/p (1)*

Possiamo quindi trarre la seguente regola:

La lunghezza di una circonferenza si ottiene moltiplicando il valore del raggio r per 2p:

c = 2p r (2)

Si tenga comunque presente che il rapporto fra la lunghezza di una circonferenza e il suo diametro non è mai un numero esatto:

il valore 3,14 è approssimato, si può cioè ottenere un valore diverso ricorrendo a una misura più accurata, ad esempio 3,1415, oppure 3,141592, ecc.

Infatti le cifre decimali di p si succedono infinite e senza alcuna regola, a differenza di quanto avviene nei decimali periodici.

Anche per questo motivo p si chiama numero trascendente.

Spot

Spot

LUNGHEZZA DI UN ARCO

Dividiamo una circonferenza in due parti uguali AB e BA (semicirconferenze);

dividiamo quindi la semicirconferenza BA in due parti uguali (quadranti) BC e CA;

dividiamo infine un quadrante in due parti uguali, CD e DA.

Misurando gli angoli sottesi dagli archi, è facile constatare che AOB = 180°, BOC = 90°, COD = 45°.

Dimezzando quindi un arco si dimezza anche l'angolo al centro che lo sottende.

Possiamo dedurre quindi la seguente proprietà:

La lunghezza di una arco è proporzionale all'ampiezza dell'angolo che lo sottende.

Infatti:

Arco proporzionale ampiezza

Spot

Spot

Consideriamo l'archetto HH' sotteso da un angolo di 1°.

La sua lunghezza corrisponde alla 360esima parte di una circonferenza,

essendo questa sottesa da un angolo di 360°, e può essere preso come unità di misura;

infatti HH'/1° = c/360°.

Se n° è l'ampiezza dell'arco, si ha:

Ampiezza arco

* I numeri accanto alle formule corrispondono a quelli della Tavola riassuntiva del cerchio, posta alla fine del capitolo.

AREA DEL CERCHIO

Osserviamo in fig. 228 che l'area del settore circolare OAA' è sempre maggiore di quella del triangolo OAA'.

Fig. 228

Tuttavia la differenza fra queste due aree (a colori nella figura) diviene insignificante quando il settore è molto piccolo.

Area del cerchio

Spot

Spot

Se consideriamo infatti il settore OHH', ci accorgiamo che la sua area è praticamente uguale a quella del triangolo OHH':

la base di questo triangolo è a sua volta molto prossima all'arco HH' e la sua altezza OK è praticamente uguale al raggio r.

La sua area è quindi:


   HH'*r
   -----
     2
Ora, se immaginiamo il cerchio composto da tanti piccoli settori OHH', OH'H", OH"H"', ecc., la sua area sarà data dalla somma delle aree dei settori che hanno tutti altezza uguale al raggio e le cui basi sommate danno in totale la circonferenza.

Somma settori circolari

Riassumiamo quanto esposto nella seguente regola:

L'area del cerchio equivale a quella di un poligono regolare avente come perimetro la circonferenza e come apotema il raggio.

Essa si ottiene moltiplicando per q il quadrato del raggio.

Spot

Spot

AREA DI UN SETTORE CIRCOLARE

Consideriamo il cerchio come somma di 360 settori circolari di ampiezza 1°.

L'area di questo settore equivale perciò alla 360esima parte dell'area del cerchio, e può essere assunta come unità di misura.

Da qui la regola:

L'area di un settore circolare di ampiezza n° è pari a n volte quella del settore di ampiezza 1°:

 pr²
A sett.= n*-----  (5)
            360
Scomponiamo ora l'area del settore nel seguente modo:

Area in settori

Il primo fattore è esattamente la lunghezza l dell'arco.

Ne deriva la seguente osservazione:

L'area di un settore circolare equivale a quella di un triangolo di base l e altezza r.

AREA DI UNA CORONA CIRCOLARE

Si nota facilmente che l'area della corona circolare è la differenza fra le aree del cerchio maggiore e di quello minore.

Area di corona circolare

E' comunque utile osservare che la corona circolare è equivalente a un trapezio avente per basi le circonferenze rettificate e per altezza la larghezza l della corona:

Corona circolare

Spot

Spot

VERO O FALSO?

1) Si dice circonferenza rettificata il perimetro di un cerchio.

2) Il numero p è il rapporto fra la misura della circonferenza e il suo raggio.

3) Il cerchio è equivalente a un triangolo di base uguale alla sua circonferenza e di altezza uguale al diametro.

4) L'area di una corona circolare è sempre minore di quella del cerchio esterno e maggiore di quella del cerchio interno.

5) L'area di un settore circolare è proporzionale alla sua ampiezza.

l) Vero.

2) Falso: è il rapporto fra la misura della circonferenza e il suo diametro.

3) Falso: l'altezza è pari al raggio.

4) Falso: può essere minore anche dell'area del cerchio interno, quando la larghezza è abbastanza piccola.

5) Vero.

ESERCIZI

(I numeri accanto alle formule corrispondono a quelli della Tavola riassuntiva sul cerchio)

1) Calcolare la circonferenza di una ruota di locomotiva del diametro di m 2,1.

Applicando la formula (2) avremo:

C=m*(3,14*2,1)=

=m 6,59

2) Il nome del grande matematico Archimede è stato dato a uno dei maggiori crateri circolari della Luna.

La sua superficie si estende per circa 9600 km2.

Calcolare il suo raggio. Applicando la formula (3) inversa si ha:

Corona circolare

3) Un settore circolare dell'ampiezza di 30° ha il raggio di cm 16.

Calcolarne l'area.

Calcoliamo dapprima l'area del cerchio, con la (3):

Acer.=

=cm2(3,14*162)=

=cm2803,84

Ora possiamo applicare la (6):

Asett.=

=cm2(803,84*30:360)=

=cm266,99

4) Calcolare la lunghezza dell'arco di un settore circolare la cui area misura m2 78,5 e il raggio cm 15.

Applicando la (7) inversa si ha:

l=m(2*78,5:15)=

=m 10,47

5) Calcolare l'ampiezza di un arco di circonferenza lungo m 3,4 e di raggio 4 m. Calcoliamo prima la circonferenza con la (1):

c = m(2*3,14*4)=

=m 25,12

Ora possiamo applicare la prima delle (5) inverse:

n°=(360°*3,4:25,12)=

= 48° (risultato approssimato)

6) Calcolare il raggio interno di una corona circolare di area m2 401,92, il cui raggio esterno misura m 18.

Applichiamo la seconda delle (10) inverse:

Raggio interno settore circolare

Proviamo ora ad affrontare un problema più complesso.

La pavimentazione speciale per la pista di uno stadio olimpico viene a costare circa 11 euro al m2.

Sapendo che i rettilinei sono lunghi m 100, che il raggio interno della pista è di m 31,85 e la larghezza della pista di m 6, proviamo a calcolare il costo complessivo.

Naturalmente ci serve subito l'area, composta dei due rettangoli C e D e delle parti A e B che insieme formano una corona circolare; poi la moltiplicheremo per il prezzo di un m2 e avremo il costo totale.

- Calcoliamo il raggio esterno R che è uguale a (r+l):

m (31,85+6)=

=37,85 m

- Calcoliamo l'area della corona:

m23,14(37,852- 31,852)=

=1313,15m2

- Aggiungiamo l'area dei due rettangoli:

m21313,15+2(6¦100)=

=2513,15 m2

- Moltiplichiamo l'area totale per il prezzo di un m2 :

Euro11*2513,15=

=Euro 27.644,65

Il costo totale risulta di Euro 27.644,65.

Tabella riassuntiva del cerchio

Tabella riassuntiva del cerchio

Spot

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