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Lunghezza della circonferenza

Circonferenze rettificate

Lunghezza di un arco

La lunghezza di una arco è proporzionale all'ampiezza dell'angolo che lo sottende

Arco sotteso da un angolo di 360° corrisponde alla circonferenza

Area del cerchio Grafico

Area di un settore circolare Somma area settori circolari di altezza uguale al raggio Scomposizione area del settore

Area di una corona circolare (Area della corona circolare) Corona circolare equivalente a un trapezio

Esercizi Calcolo del raggio della Luna Calcolo del raggio interno della corona circolare

Tabella riassuntiva del cerchio

Vocabolario I F GB D e Vocabolario di Latino

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GEOMETRIA PIANA - IL CERCHIO

LUNGHEZZA DELLA CIRCONFERENZA

Se avvolgiamo con un metro da sarto una ruota e leggiamo il valore corrispondente, avremo una misura della sua circonferenza.

Analogamente, controllando con una riga la lunghezza della traccia di tintura lasciata da un pennello a rullo in un giro completo avremo una misura del suo contorno.

Le lunghezze AB e A'B' si chiamano circonferenze rettificate.

Possiamo subito verificare che:

    A B    A'B'
    --- = ----- = 3,14
     D      D'

Il numero 3,14 viene indicato con il simbolo p (leggi «pi greca»).

Compiendo molte altre esperienze come questa arriveremo a dedurre la seguente proprietà:

il rapporto tra la lunghezza c di una circonferenza e il suo diametro d è sempre uguale al numero p:

c = p d d = c/p (1)*

Possiamo quindi trarre la seguente regola:

La lunghezza di una circonferenza si ottiene moltiplicando il valore del raggio r per 2p:

c = 2p r (2)

Si tenga comunque presente che il rapporto fra la lunghezza di una circonferenza e il suo diametro non è mai un numero esatto:

il valore 3,14 è approssimato, si può cioè ottenere un valore diverso ricorrendo a una misura più accurata, ad esempio 3,1415, oppure 3,141592, ecc.

Infatti le cifre decimali di p si succedono infinite e senza alcuna regola, a differenza di quanto avviene nei decimali periodici.

Anche per questo motivo p si chiama numero trascendente.

LUNGHEZZA DI UN ARCO

Dividiamo una circonferenza in due parti uguali AB e BA (semicirconferenze);

dividiamo quindi la semicirconferenza BA in due parti uguali (quadranti) BC e CA;

dividiamo infine un quadrante in due parti uguali, CD e DA.

Misurando gli angoli sottesi dagli archi, è facile constatare che AOB = 180°, BOC = 90°, COD = 45°.

Dimezzando quindi un arco si dimezza anche l'angolo al centro che lo sottende.

Possiamo dedurre quindi la seguente proprietà:

La lunghezza di una arco è proporzionale all'ampiezza dell'angolo che lo sottende.

Infatti:

La lunghezza di una arco è proporzionale all'ampiezza dell'angolo che lo sottende

Consideriamo l'archetto HH' sotteso da un angolo di 1°.

La sua lunghezza corrisponde alla 360esima parte di una circonferenza,

essendo questa sottesa da un angolo di 360°, e può essere preso come unità di misura;

infatti HH'/1° = c/360°.

Se n° è l'ampiezza dell'arco, si ha:

Arco sotteso da un angolo di 360° corrisponde alla circonferenza

* I numeri accanto alle formule corrispondono a quelli della Tavola riassuntiva del cerchio, posta alla fine del capitolo.

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AREA DEL CERCHIO

Osserviamo in fig. 228 che l'area del settore circolare OAA' è sempre maggiore di quella del triangolo OAA'.

Tuttavia la differenza fra queste due aree (a colori nella figura) diviene insignificante quando il settore è molto piccolo.

Area del cerchio

Se consideriamo infatti il settore OHH', ci accorgiamo che la sua area è praticamente uguale a quella del triangolo OHH':

la base di questo triangolo è a sua volta molto prossima all'arco HH' e la sua altezza OK è praticamente uguale al raggio r.

La sua area è quindi:


   HH'*r
   -----
     2

Ora, se immaginiamo il cerchio composto da tanti piccoli settori OHH', OH'H", OH"H"', ecc., la sua area sarà data dalla somma delle aree dei settori che hanno tutti altezza uguale al raggio e le cui basi sommate danno in totale la circonferenza.

Somma area settori circolari di altezza uguale al raggio

Riassumiamo quanto esposto nella seguente regola:

L'area del cerchio equivale a quella di un poligono regolare avente come perimetro la circonferenza e come apotema il raggio.

Essa si ottiene moltiplicando per q il quadrato del raggio.

AREA DI UN SETTORE CIRCOLARE

Consideriamo il cerchio come somma di 360 settori circolari di ampiezza 1°.

L'area di questo settore equivale perciò alla 360esima parte dell'area del cerchio, e può essere assunta come unità di misura.

Da qui la regola:

L'area di un settore circolare di ampiezza n° è pari a n volte quella del settore di ampiezza 1°:

 		  pr²
A sett.= n*-----  (5)
            360

Scomponiamo ora l'area del settore nel seguente modo:

Scomposizione area del settore

Il primo fattore è esattamente la lunghezza l dell'arco.

Ne deriva la seguente osservazione:

L'area di un settore circolare equivale a quella di un triangolo di base l e altezza r.

AREA DI UNA CORONA CIRCOLARE

Si nota facilmente che l'area della corona circolare è la differenza fra le aree del cerchio maggiore e di quello minore.

Area della corona circolare

E' comunque utile osservare che la corona circolare è equivalente a un trapezio avente per basi le circonferenze rettificate e per altezza la larghezza l della corona:

            2pR+2pr
  A corona= ------- * l  (8)
               2

VERO O FALSO?

1) Si dice circonferenza rettificata il perimetro di un cerchio.

2) Il numero p è il rapporto fra la misura della circonferenza e il suo raggio.

3) Il cerchio è equivalente a un triangolo di base uguale alla sua circonferenza e di altezza uguale al diametro.

4) L'area di una corona circolare è sempre minore di quella del cerchio esterno e maggiore di quella del cerchio interno.

5) L'area di un settore circolare è proporzionale alla sua ampiezza.

l) Vero.

2) Falso: è il rapporto fra la misura della circonferenza e il suo diametro.

3) Falso: l'altezza è pari al raggio.

4) Falso: può essere minore anche dell'area del cerchio interno, quando la larghezza è abbastanza piccola.

5) Vero.

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ESERCIZI

(I numeri accanto alle formule corrispondono a quelli della Tavola riassuntiva sul cerchio)

1) Calcolare la circonferenza di una ruota di locomotiva del diametro di m 2,1.

Applicando la formula (2) avremo:

C=m*(3,14*2,1)=

=m 6,59

2) Il nome del grande matematico Archimede è stato dato a uno dei maggiori crateri circolari della Luna.

La sua superficie si estende per circa 9600 km².

Calcolare il suo raggio. Applicando la formula (3) inversa si ha:

Calcolo del raggio della Luna

3) Un settore circolare dell'ampiezza di 30° ha il raggio di cm 16.

Calcolarne l'area.

Calcoliamo dapprima l'area del cerchio, con la (3):

Acer.=

=cm²(3,14*16²)=

=cm²803,84

Ora possiamo applicare la (6):

Asett.=

=cm²(803,84*30:360)=

=cm²66,99

4) Calcolare la lunghezza dell'arco di un settore circolare la cui area misura m² 78,5 e il raggio cm 15.

Applicando la (7) inversa si ha:

l=m(2*78,5:15)=

=m 10,47

5) Calcolare l'ampiezza di un arco di circonferenza lungo m 3,4 e di raggio 4 m. Calcoliamo prima la circonferenza con la (1):

c = m(2*3,14*4)=

=m 25,12

Ora possiamo applicare la prima delle (5) inverse:

n°=(360°*3,4:25,12)=

= 48° (risultato approssimato)

6) Calcolare il raggio interno di una corona circolare di area m² 401,92, il cui raggio esterno misura m 18.

Applichiamo la seconda delle (10) inverse:

Calcolo del raggio interno della corona circolare

Proviamo ora ad affrontare un problema più complesso.

La pavimentazione speciale per la pista di uno stadio olimpico viene a costare circa 11 euro al m².

Sapendo che i rettilinei sono lunghi m 100, che il raggio interno della pista è di m 31,85 e la larghezza della pista di m 6, proviamo a calcolare il costo complessivo.

Naturalmente ci serve subito l'area, composta dei due rettangoli C e D e delle parti A e B che insieme formano una corona circolare; poi la moltiplicheremo per il prezzo di un m² e avremo il costo totale.

- Calcoliamo il raggio esterno R che è uguale a (r+l):

m (31,85+6)=

=37,85 m

- Calcoliamo l'area della corona:

m²3,14(37,85²- 31,85²)=

=1313,15m²

- Aggiungiamo l'area dei due rettangoli:

m²1313,15+2(6¦100)=

=2513,15 m²

- Moltiplichiamo l'area totale per il prezzo di un m² :

Euro11*2513,15=

=Euro 27.644,65

Il costo totale risulta di Euro 27.644,65.

Tabella riassuntiva del cerchio

Tabella riassuntiva del cerchio

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Vocabolario

accerchiare.

(v. tr.), chiudere in un cerchio, circondare.

Inglese

to encircle

Francese

entourer

Tedesco

einkreisen

anèllo.

1 (s.m.), oggetto circolare, cerchio. 2 oggetto ornamentale che si porta al dito. 3 metamero: segmento del corpo degli anellidi. 4 strato ligneo che si forma in un anno sul tronco delle piante legnose. 5 chim. aggruppamento atomico. 6 sport. una forma di pista. 7 (pl. f.), poet. riccioli.

Inglese

ring

Francese

(m.) anneau

Tedesco

(m.) Ring

antèlio.

(s.m.), immagine riflessa del sole sul cerchio di un alone.

aurèola.

(s.f.), 1 cerchio d'oro che circonda le teste dei Santi nelle loro raffigurazioni. 2 prestigio, splendore di gloria.

Inglese

aureola

Francese

(f.) auréole

Tedesco

(m.) Heiligenschein

bolgia.

(s.f. pl. -ge), 1 ognuna delle dieci fosse dell'ottavo cerchio dell'inferno dantesco. 2 fig. luogo ove c'è gran strepito e confusione. 3 ant. borsa o tasca di grandi dimensioni.

Inglese

pit.

Francese

(f.) fosse.

Tedesco

(m.) Graben

botte.

(s.f.), 1 recipiente panciuto a doghe che serve per vino, liquori, pesci salati, ecc.; essere in una - di ferro, essere al sicuro, dare un colpo al cerchio e uno alla -, sostenere un po' l'uno e un po' l'altro di due contendenti. 2 antica unità di misura per liquidi. 3 carrozza pubblica a cavalli tipica di Roma.

Inglese

barrel.

Francese

(m.) tonneau.

Tedesco

(n.) Faß

bracciale.

(s.m.), 1 cerchio che cinge il braccio come ornamento. 2 striscia di stoffa che si porta al braccio come distintivo. 3 arnese di legno a denti che arma il polso del giocatore di pallone. 4 parte dell'armatura che difende il braccio. 5 bracciolo di poltrone. 6 anello metallico decorato sulle facciate dei palazzi rinascimentali.

Inglese

armlet.

Francese

(m.) bracelet.

Tedesco

(f.) Armschiene

canestrello.

(s.m.), 1 piccolo canestro. 2 piccolo cerchio in legno, metallo o corda usato per le vele.

Inglese

small basket

Francese

(m.) petit panier.

Tedesco

(n.) Körbchen

centro.

(s.m.), 1 il punto di mezzo di una figura geometrica o di qualsiasi cosa; - del cerchio, - della città - della terra. 2 luogo di riunione per effettuare determinate operazioni: C.A.R. (Centro Addestramento Reclute); - educativo ecc. 3 organizzazione di ricerche culturali: - storico - sperimentale ecc. 4 punto per il quale si mantiene in equilibrio qualsiasi corpo; - di gravità ecc. 5 gruppi di cellule nervose con proprietà sensitive: - nervoso, - auditivo ecc.

Inglese

centre.

Francese

(m.) centre.

Tedesco

(n.) Zentrum

cerchiato.

(p.p. di cerchiare e agg.), circondato da cerchio: occhi cerchiati.

Inglese

black-ringed.

Francese

cerné.

Tedesco

bereift

cèrchio.

(s.m.), 1 in geometria figura formata da una linea curva chiusa avente tutti i punti equidistanti dal centro. 2 giocattolo infantile circolare che si tiene in equilibrio e si fa rotolare guidandolo con una bacchetta. 3 movimento circolare.

Inglese

circle.

Francese

(m.) cercle.

Tedesco

(m.) Kreis

ciclometrìa.

(s.f.), branca della geometria che studia il cerchio.

Inglese

cyclometry

Francese

(f.) cyclométrie

Tedesco

(f.) Metamerie

cìnghio.

(s.m.), + cerchio.

Inglese

circle

Francese

(m.) cercle

Tedesco

(m.) Kreis

circolare.

(agg.), 1 che riguarda il cerchio. 2 simile ad un cerchio. 3 (s.f.), stampa informativa. 4 linea filo tramviaria che compie un percorso a forma di circolo. 5 (v. int.), girare intorno, propagarsi, diffondersi, passare dall'uno all'altro. 6 circolarmente (avv.), in senso circolare.

Inglese

circular

Francese

circulaire

Tedesco

kreisförmig

circonferenza.

(s.f.), 1 cerchio, circolo. 2 per estensione: ogni linea che delimita una superficie circolare e non circolare.

Inglese

circumference.

Francese

(f.) circonférence.

Tedesco

(f.) Kreislinie

circonflesso.

(p.p. di circonflettere e agg.), 1 piegato a forma di cerchio. 2 tipo di accento.

Inglese

circumflex.

Francese

courbé.

Tedesco

rund gebogen

circonflesso.

(p.p. di circonflettere e agg.), 1 piegato a forma di cerchio. 2 tipo di accento.

Inglese

circumflex.

Francese

courbé.

Tedesco

rund gebogen

circonflèttere.

(v. tr.), 1 piegare a forma di cerchio. 2 porre l'accento circonflesso.

Inglese

to circumflect.

Francese

plier en rond.

Tedesco

krümmen

formare.

1 (v. tr.), dare forma, fare: - una statua. 2 fig. modellare: - un carattere. 3 costituire, comporre secondo un criterio stabilito: - un cerchio. 4 (v. rifl. formarsi), svilupparsi, prodursi: si sono formate delle crepe nel muro.

Inglese

to make

Francese

former

Tedesco

bilden

ghirlanda.

(s.f.), 1 corona di fiori. 2 fig. persone o cose disposte in cerchio.

Inglese

garlande

Francese

(f.) guirlande

Tedesco

(f.) Girlande

incentro.

(s.m.), in geom. centro del cerchio inscritto.

Inglese

incentre

Francese

(m.) centre du cercle inscrit

inscrìvere.

(v. tr.), 1 tracciare un poligono in un cerchio con i vertici su di esso od un cerchio in un poligono, tangente ai suoi lati. 2 lo stesso di iscrivere.

Inglese

to inscribe

Francese

inscrire

Tedesco

einbeschreiben

lùnula.

(s.m.), 1 in geom. figura compresa tra due archi di cerchio. 2 in anat. parte bianchiccia dell'unghia, in forma di mezza luna, più prossima alla radice. 3 qualsiasi figura od oggetto a forma di luna falcata.

Inglese

lunule

Francese

(f.) lunule

Tedesco

(n.) Nagelmöndchen

orbe.

(s.m.), circonferenza, cerchio; sfera.

Inglese

orb

Francese

(m.) orbe

Tedesco

(f.) Bahn

orbicolare.

1 (s.m.), muscolo che circonda la bocca e le palpedre. 2 (agg.), fatto in cerchio.

Francese

(m.) muscle orbi culaire

Tedesco

(m.) Ringmuskel

quadrante.

(s.m.), 1 ciascuna delle quattro regioni in cui un piano è diviso da assi cartesiani; ciascuna delle quattro parti in cui un cerchio viene diviso da diametri ortogonali: - della bussola, ciascuno dei quattro settori compresi tra due punti cardinali contigui. 2 scala graduata di uno strumento di misura: - dell'orologio. 3 strumento astronomico usato per misurare la distanza angolare.

Inglese

quadrant

Francese

(m.) cadran

Tedesco

(m.) Quadrant

quadratura.

(s.f.), 1 atto, effetto del quadrare; porzione di superficie divisa in quadrati: la - del foglio; - mentale, (fig.), chiarezza di idee. 2 in geom. riduzione di una figura geometrica in un quadrato equivalente: - del cerchio, operazione insolubile mediante i metodi della geometria elementare, tale espressione viene usata anche in senso figurato per indicare una cosa assurda, impossibile. 3 in mat. operazione di elevazione al quadrato. 4 in astronomia differenza di longitudine di 90° fra due astri. 5 in arte pittura murale prospettica. 6 in contabilità operazione del quadrare.

Inglese

squaring

Francese

(f.) quadrature

Tedesco

(f.) Abvierung

radiale.

(agg.; mat. fis.), che è nella direzione del raggio di un cerchio: linea -.

Inglese

radial

Francese

radial

Tedesco

radial

raggio.

(s.m.), 1 ciascuna delle linee lungo le quali la luce sembra propagarsi da un corpo luminoso. 2 fig. attimo di illuminazione spirituale. 3 in fis. qualsiasi radiazione elettromagnetica o corpuscolare. 4 in geom. ciascuno dei segmenti che vanno dal centro alla circonferenza di un cerchio. 5 parte delle ruote che unisce il mozzo al cerchione.

Inglese

ray

Francese

(m.) rayon

Tedesco

(m.) Strahl

sardana.

(s.f), veloce danza catalana eseguita in cerchio da più persone.

Francese

(f.) sardane

settore.

(s.m.), 1 campo, ramo di un'attività: il - dell'agricoltura, dell'industria. 2 in geom.; - circolare: parte di cerchio limitata da un arco e da due raggi. 3 in anat.; - anatomico: chi prepara i cadaveri sezionati per le lezioni di anatomia perito -: il medico legale che esegue autopsie.

Inglese

field

Francese

(m.) secteur

Tedesco

(m.) Bereich

superficie.

(s.f.), 1 tutto ciò che si estende in lunghezza e in larghezza: la - del cerchio; quello stabilimento occupa una vasta -. 2 esteriorità apparenza: nel giudicare non fermarti alla -.

Inglese

surface

Francese

(f.) surface

Tedesco

(f.) Fläche

tagliacerchio.

(s.m.), parte del compasso usata per tracciare un cerchio.

Inglese

exchangeable point

Tedesco

(m.) Einsatz

tamburello.

(s.m.), 1 strumento musicale costituito da una membrana tesa su un cerchio di legno. 2 arnese simile al precedente, usato come racchetta nel gioco omonimo. 3 telaio per ricamare.

Inglese

tambourine

Francese

(m.) tambourin

Tedesco

(n.) Tamburin

tondo.

(agg.), 1 di forma rotonda; cifra tonda, senza frazioni di unità; parlare chiaro e tondo, esplicitamente; carattere -, preciso. 2 (fig.), grossolano, semplicione. 3 (s.m.), circolo; giro: in -, a -, tutto intorno, in cerchio. 4 dipinto elemento decorativo di forma circolare. 3 oggetto in genere di forma circolare, piatto, vassoio. 6 pezzi di legno usato per i camini.

Inglese

round

Francese

rond

Tedesco

rund

circŭlus

i, m.: circolo, cerchio, orbita dei pianeti; adunanza, società.

circus

i, m.: circo (edificio di figura ellittica destinato alle corse di cavalli e di cocchi); cerchio, circolo, circonferenza, orbita. Esempio: Circus Maximus, Circo Massimo.

collĭgo

is,collēgi, collectum, colligĕre (cum, lego), TR. 3ª: raccogliere, radunare, ammassare; restringere; conseguire, acquistare, acquistarsi, guadagnarsi; conchiudere; trattenere, reprimere; riepilogare, meditare, contare, calcolare, sommare; se colligere, riunirsi; ripigliar animo, riaversi, tornare in sé coprirsi; chiudersi. Esempi: sarmenta virgultaque colligere, raccogliere fascine di frasche e di arbusti; ex agris ingentem numerum hominum colligere, dalle campagne raccogliere un grande numero di uomini; benevolentiam civium colligere, guadagnarsi la benevolenza dei cittadini; colligere facete dicta, raccogliere detti spiritosi; omnia bella civilia colligere, ricapitolare gli avvenimenti di tutte le guerre civili; collidere pulverem Olympicum, coprirsi di polvere olimpica (gareggiare nei giuochi olimpici); luna cum colligit ignes, quando la luna raccoglie la sue corna (ossia quando la luna si fa piena); collidere spiritum, ripigliar fiato; colligere animum (o collidere se), ripigliar animo; collidere iram, adirarsi; colligere sitim, aver sete; colligere invidiam crudelitate (o collidere invidiam crudelitatis), incorrere nell'odio altrui per la propria crudeltà; colligere se in arma, coprirsi con lo scudo; colligere orbem, restringere il cerchio; colligere se in umbras, chiudersi in una vita oscura; castra movere et vasa colligere, levare il campo e fare i bagagli; se ex maximo timore colligere, riaversi da una grande paura, animo veteres calamitates colligere, meditare le antiche sventure; in spiram se collĭgit anguis, il serpente si raccoglie nelle sue spire; inde collĭgit paucitatem hostium, da ciò deduce la scarsezza dei nemici.

complector

complectĕris, complexus sum, complecti, TR. 3ª dep.: abbracciare, contenere, cingere, comprendere, circondare; favorire; accogliere; associare; concludere. Esempi: complecti aliquem, abbracciare uno; collem opere complecti, cingere un colle con fortificazioni; orbis qui reliquos omnes complectitur, il cerchio che contiene tutti gli altri; complecti amplissimos viros ad scelus, associare al proprio delitto i più illustri personaggi; complecti inter se, abbracciarsi; complecti aliquem omnibus studiis, favorire uno con ogni impegno; dextram completus euntis, prendendo la destra di lui che andava; complecti philosophiam, coltivare la filosofia; quod cogitatione tantum et mente complectimur, ciò che solo col pensiero e colla mente comprendiamo; una comprehensione omnia complecti, raccogliere tutto in un pensiero; effigiem auro complecti, legare in oro un ritratto; somnus me complectitur, mi prende il sonno; aliquem beneficio complecti, render un beneficio a qualcuno; complecti aliquid animo, arrivare a comprendere una cosa col pensiero; centum complexa nepotes, stringendosi al seno i suoi innumerevoli discendenti.

orbis

orbis, m.: cerchio, circolo, ruota, disco, orbita, sfera; globo terrestre, mondo; terra, regione; anno; periodo.

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