NATURALI, NUMERI

L'espressione "numeri naturali" spesso viene usata sia per la sequenza di numeri interi positivi (1, 2, 3, 4,...) sia per quella dei numeri interi non negativi (0, 1, 2, 3, 4, ...).
Questi sono i primi numeri che si imparano da bambini e sono i più semplici da comprendere. I numeri naturali hanno due scopi principali: possono essere usati per contare ("ci sono 3 mele sul tavolo"), o per definire un ordinamento ("questa è la terza città più grande del Paese").
In matematica si usa il simbolo N (a volte scritto come ) per indicare l'insieme dei numeri naturali. Nella maggior parte della letteratura matematica contemporanea si assume che l'insieme dei numeri naturali contenga anche lo zero; per evitare ogni ambiguità è spesso usata la dizione interi non negativi. Per mettere in evidenza che l'insieme contiene l o 0 si usano anche le scritture N⁰, .
N₀ = { 0, 1, 2, ... }
Per indicare l'insieme dei naturali senza lo zero, si usa N^*,N⁺, N₊, .
N^* = { 1, 2, ... }
Gli studiosi della teoria degli insiemi a volte denotano l'insieme dei numeri naturali con ω, in relazione al concetto di numero ordinale. Quando è usata questa notazione, lo zero è incluso.

Definizioni formali

Nonostante la sua intuitività, quello di numero naturale non è un concetto primitivo: è infatti possibile darne una definizione basandosi unicamente sulla teoria degli insiemi. La definizione è utile perché permette anche di estendere il concetto di numero a oggetti più generali: i numeri transfiniti.
Storicamente, la precisa definizione matematica dei numeri naturali ha incontrato alcune difficoltà. Gli assiomi di Peano definiscono le condizioni che ogni definizione matematica precisa deve soddisfare. Alcune costruzioni mostrano che dall'interno di una teoria degli insiemi è possibile costruire un modello degli assiomi di Peano.

Assiomi di Peano

• Esiste un numero naturale, 0.
• Ogni numero naturale a ha un numero naturale successore, denotato come S(a).
• Non esiste un numero naturale il cui successore è 0.
• Numeri naturali distinti hanno distinti successori: se a ≠ b, allora S(a) ≠ S(b).
• Se una proprietà P è posseduta dallo 0 ed è posseduta anche dal successore di ogni numero naturale che possiede la proprietà P, allora la proprietà P è posseduta da tutti i numeri naturali.

Bisogna notare che lo "0", nella definizione sopra descritta, non deve necessariamente corrispondere con quello che si considera normalmente il numero zero. "0" significa semplicemente un oggetto che quando combinato con una funzione successiva appropriata, soddisfa gli assiomi di Peano. Ci sono molti sistemi che soddisfano questi assiomi, inclusi i numeri naturali (sia che partano da zero o da uno).

Costruzione basata sulla teoria degli insiemi

Un numero naturale si può definire come una classe di insiemi aventi uguale cardinalità finita. In sostanza, si parte dalla proprietà (intuitiva) che tra due insiemi qualsiasi aventi lo stesso numero di elementi si può stabilire una corrispondenza biunivoca e la si riformula come definizione: tutti gli insiemi tra i quali si può stabilire una corrispondenza biunivoca vengono accomunati in una classe, che è come assegnare loro un'"etichetta", a questa etichetta viene dato il nome di numero naturale. La classe corrispondente all'insieme vuoto viene indicata con 0.

La costruzione standard

La seguente è una costruzione standard nella teoria degli insiemi per definire i numeri naturali:
Poniamo 0 := { }, l'insieme vuoto (∅)
e definiamo S(a) = a U {a} per ogni a.
L'insieme dei numeri naturali è allora definito come l'intersezione di tutti gli insiemi contenenti 0 che sono chiusi rispetto alla funzione successione S.
Assumendo l'assioma dell'infinito, si può dimostrare che questa definizione soddisfa gli assiomi di Peano.
Ogni numero naturale è allora uguale all'insieme dei numeri naturali meno se stesso, per esempio:
0 = { }
1 = {0} = {{ }}
2 = {0,1} = {0, {0}} = {{ }, {{ }}}
3 = {0,1,2} = {0, {0}, {0, {0}}} = {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}}
e così via. Quando ci si riferisce ad un numero naturale come insieme, questo è il senso. Con questa definizione, ci sono esattamente n elementi nell'insieme n e n ≤ m se n è un sottoinsieme di m.
Inoltre, con questa definizione, coincidono le differenti possibili interpretazioni delle notazioni come Rⁿ (n-tuple e mappe di n in R).

NEGATIVI, NUMERI

I numeri negativi sono i numeri relativi preceduti dal segno .

NORMA

In algebra lineare, analisi funzionale e aree correlate della matematica, una norma è una funzione che assegna ad ogni vettore di uno spazio vettoriale, tranne lo zero, una lunghezza positiva. Una seminorma invece può assegnare la lunghezza zero anche ad un vettore diverso da zero.

NORMALE

L'aggettivo normale in matematica a volte si riferisce a una “norma”, a volta è sinonimo di “perpendicolare”; spesso diventa un sostantivo.
Normale a una retta in un punto: è sinonimo di retta perpendicolare.
Normale a una linea in un punto: se la linea l ammette tangente nel punto P, la normale a l in P è la perpendicolare a l in P.
La normale a una circonferenza in P è il suo raggio per P.

NOTEVOLI, PRODOTTI

In matematica, un prodotto notevole è un'identità che compare spesso nel calcolo letterale, in particolare per effettuare il prodotto di polinomi di forme particolari. I prodotti notevoli consentono di svolgere più rapidamente i calcoli rispetto all'applicazione diretta delle regole del calcolo letterale (come la moltiplicazione di due polinomi). Inoltre, riconoscere un prodotto notevole è utile per la scomposizione in fattori dei polinomi o di altre espressioni algebriche.
Definizione di Prodotti notevoli

Quadrato di un binomio

Il quadrato di un binomio è uguale al quadrato del primo termine, più il doppio prodotto del primo termine per il secondo, più il quadrato del secondo termine.
La figura rappresenta un quadrato il cui lato è la somma dei due valori a e b. La sua area vale dunque (a + b)². Ma questa si ottiene anche attraverso l'addizione dell'area del quadrato giallo (), delle aree dei due rettangoli azzurri (ab per ciascuno) e dell'area del quadrato viola ().

Quadrato di un polinomio di tre (trinomio) o più termini

Il quadrato di un polinomio è uguale alla somma dei quadrati di tutti i termini più il doppio prodotto di ogni termine per ciascuno di quelli che lo seguono.

Cubo di un binomio

Il cubo di un binomio è uguale al cubo del primo termine, più il triplo prodotto del quadrato del primo termine per il secondo, più il triplo prodotto del primo per il quadrato del secondo, più il cubo del secondo termine.

Prodotto della somma di due o più termini per lo loro differenza

Il prodotto della somma di due termini per la loro differenza è uguale al quadrato del primo termine meno il quadrato del secondo.
Leggendo l'uguaglianza da destra verso sinistra, si ottiene anche la regola di scomposizione in fattori di un polinomio pari alla differenza di due quadrati.

Il prodotto notevole può essere applicato anche in casi meno evidenti, per esempio:

Potenza n-esima di un binomio

Dove è il coefficiente binomiale.
La potenza n-esima del binomio è composta da n+1 termini, due dei quali di potenza n e coefficiente unitario. Gli esponenti di a decrescono da n a zero, mentre quelli di b crescono da zero a n.

Altri prodotti notevoli

Generalizzando ad n qualsiasi:


Se n è dispari, vale anche:

NULLO

L'aggettivo nullo si usa in matematica nei seguenti casi:

• Lunghezza nulla: quella di un segmento i cui estremi coincidono;
• ampiezza nulla: quella di un angolo i cui lati coincidono;
• vettore nullo: un vettore di lunghezza (o modulo) nulla, cioè uguale a 0.

NUMERABILE, INSIEME

Un insieme si dice numerabile quando ha la stessa cardinalità dell'insieme degli interi naturali N, ossia quando è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra tale insieme e l'insieme dei numeri naturali. In caso contrario si parla di insieme non numerabile. La cardinalità degli insiemi numerabili viene usualmente denotata con il simbolo .
Un insieme numerabile X è un insieme infinito, cioè si può porre in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme proprio. Infatti l'insieme N può porsi in corrispondenza biunivoca con il suo sottoinsieme costituito dai soli numeri pari: possiamo associare ad ogni numero il suo doppio stabilendo la corrispondenza voluta:

0 ↔ 0, 1 ↔ 2, 2 ↔ 4, 3 ↔ 6, ...

Lo stesso può farsi con X servendosi della sua corrispondenza biunivoca con N. Viceversa si dimostra che ogni insieme infinito possiede un sottinsieme numerabile.
Esempi di insiemi numerabili sono l'insieme dei numeri interi e quello dei numeri razionali. Il più semplice esempio di insieme non numerabile è dato dall'insieme dei numeri reali la cui non numerabilità è stata dimostrata per la prima volta da Cantor tramite il suo argomento diagonale.
Per dimostrare che l'insieme dei numeri razionali è numerabile (ci limitiamo ai razionali positivi, sebbene la generalizzazione sia banale), osserviamo che tutti i razionali positivi si possono scrivere nella forma a/b con a e b interi positivi. Possiamo creare la seguente tabella delle frazioni a/b:

1/1, 2/1, 3/1, 4/1, 5/1, ...

1/2, 2/2, 3/2, 4/2, 5/2, ...

1/3, 2/3, 3/3, 4/3, 5/3, ...

1/4, 2/4, 3/4, 4/4, 5/4, ...

1/5, 2/5, 3/5, 4/5, 5/5, ...

Tramite la cosiddetta diagonalizzazione si può quindi ottenere la seguente lista:

1/1, 2/1, 1/2, 1/3, 2/2, 3/1, 4/1, 3/2, 2/3, 1/4, 1/5, 2/4, 3/3, 4/2, 5/1, ... ecc.

Se da questa lista cancelliamo le frazioni che non sono ridotte ai minimi termini ci rimane la seguente successione:

1, 2, 1/2, 1/3, 3, 4, 3/2, 2/3, 1/4, 1/5, 5, ...

che contiene esattamente tutti i numeri razionali. Non è superfluo osservare che questa sequenza non è ordinata (nel senso numerico di "ogni numero è maggiore del precedente") e, anzi, è impossibile costruire una lista ordinata dei numeri razionali.
Dimostriamo adesso la non-numerabilità dell'insieme dei numeri reali. Ragioniamo per assurdo. Supponiamo cioè che esista una biiezione tra i reali ed i numeri naturali. Allora è possibile costruire una lista di tutti i numeri reali:

N₁,a₁a₂a₃a₄a₅...
N₂,b₁b₂b₃b₄b₅...
N₃,c₁c₂c₃c₄c₅...
...

Ora scegliamo un numero a diverso da a₁ e compreso tra 1 e 8 (includere 0 e 9 potrebbe provocare casi di ambiguità dovuti a rappresentazioni come 0,99999... = 1), una cifra b diversa da b₂, c diversa da c₃ e così via. Costruiamo quindi il numero reale 0,abcd... Questo numero è per costruzione diverso da ogni numero presente nella lista, e di conseguenza non fa parte di essa. Ciò costituisce un assurdo, perché avevamo supposto che la lista contenesse tutti i numeri reali. La sola supposizione di esistenza ci ha condotto a conseguenze in contrasto con le ipotesi, pertanto la lista non esiste e i reali non sono numerabili.

NUMERATORE

Il numeratore di una frazione è il termine al di sopra della linea di frazione; esso “conta i pezzetti” ottenuti dalla divisione di 1: in e in è 3, numero rispettivamente dei quarti o dei settimi. Per analogia, si dice numeratore anche ogni espressione che si trova sopra una linea di frazione.

NUMERICO

Calcolo numerico è quello fatto esplicitamente con numeri, in opposizione al calcolo letterale.
Analisi numerica (o calcolo numerico) è un settore della matematica che si occupa delle regole di calcolo approssimato, quando la risoluzione esatta dei problemi è impossibile o troppo pesante.

NUMERO

Un numero è una entità astratta usata per descrivere una quantità. I numeri sono generalmente descritti tramite delle cifre, secondo un sistema di numerazione.
I numeri possono essere manipolati tramite le quattro operazioni fondamentali, somma, sottrazione, moltiplicazione e divisione. Lo studio delle proprietà di queste operazioni è parte dell'algebra elementare.

Tipi di numeri

Vi sono differenti tipi di numeri. Quelli maggiormente conosciuti sono i numeri naturali { 1, 2, 3... } usati per contare e indicati con N. La presenza dello zero fra i numeri naturali dipende dalla convenzione scelta. Lo zero è comunque previsto dagli assiomi di Peano.
Se si introduce la differenza di segno e lo zero, distinguendo tra numeri positivi e numeri negativi, si ottengono i numeri interi denominati con il simbolo Z.
Se i numeri interi vengono utilizzati per definire un rapporto si ottengono i numeri razionali, cioè esprimibili tramite una frazione. L'insieme di tutti i numeri razionali è definito col simbolo Q.
I numeri razionali non comprendono tutti i numeri esprimibili con la virgola. Ci sono numeri con un numero infinito di cifre decimali non periodiche, che non possono essere espressi come frazione di due interi: per esempio, π (pi greco), . Tali numeri vengono detti irrazionali, perché non ottenibili come frazioni.
L'unione dei numeri interi, razionali e irrazionali forma l'insieme dei numeri reali, indicato con R.
L'insieme dei numeri reali non è però sufficiente a fornire tutte le soluzioni delle equazioni algebriche. Per esempio, l'equazione non ha soluzioni nel campo dei numeri reali, perché in questo insieme il quadrato di un numero è sempre positivo. Per risolvere questo problema, è stata introdotta l'unità immaginaria i, tale che . Tale numero non appartiene all'insieme dei numeri reali, bensì all'insieme dei numeri complessi.
I suddetti simboli sono spesso scritti in grassetto, così:

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