VERSO

In geometria data una linea e dato un suo punto, è possibile individuare sulla linea altri due punti, che definiscono i due modi in cui è possibile percorrere la linea stessa.

Su tutte le linee aperte, e su quelle chiuse e semplici, è possibile definire due versi di percorrenza, l'uno contrario all'altro.

I due versi di percorrenza si individuano in modo particolarmente comodo su una retta, in cui un punto è sempre compreso tra altri due punti: si può dunque percorrere la retta r sia andando da A a B, sia andando in verso opposto da A a C.

Se una retta è graduata, i due versi di percorrenza sono caratterizzati in modo ancora migliore, in quanto hanno un nome.

Il verso positivo è quello che va da "meno infinito" a "più infinito", che corrisponde, a partire da zero, all'ordine naturale di conteggio: uno, due, tre ecc.

Il verso negativo è quello che va da "più infinito" a "meno infinito", che corrisponde, per i numeri positivi, all'ordine di un conto alla rovescia: cinque, quattro, tre, due, uno, zero.

Se la curva in questione è una circonferenza i due versi di percorrenza non sono altro che il senso orario e il senso antiorario, ben noti anche al di fuori della matematica.

VERTICALE

In un luogo qualunque, la direzione verticale è dunque quella che si ha stando in piedi. In relazione a una verticale, un piano orizzontale è un piano al quale essa sia perpendicolare.

Una retta verticale è una retta di direzione verticale. Un piano verticale è un piano contenente una verticale.

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VERTICE

Il vertice, nella geometria piana è:

il punto di incontro di due lati di un poligono (triangolo, quadrilatero, ecc).

il punto di incontro di due semirette, che formano l'angolo stesso (vertice dell'angolo);

Il vertice, nella geometria solida è:

il punto in cui almeno tre facce di un poliedro convergono (ad esempio il vertice di una piramide). Esso è dunque formato dall'intersezione di tre o più diversi spigoli.

il punto di incontro della generatrice e dell'asse di un cono.

VETTORE

In matematica un vettore è un elemento di uno spazio vettoriale.

Con il termine vettore indichiamo un segmento orientato, avente un modulo (detto anche norma o intensità e indicante la lunghezza del vettore), una direzione (la retta su cui esso giace) ed un verso (orientamento del vettore) che è scelto come rappresentante di un insieme di segmenti orientati, presi nel piano, tra loro equipollenti. Due vettori vengono detti equipollenti se giacciono su rette parallele e hanno stesso modulo e stesso verso.

Più concretamente, se lo spazio vettoriale è bidimensionale, cioè si è in un piano, un vettore può essere inteso come una coppia di numeri reali (x,y) e quindi un punto del piano; se, invece, lo spazio vettoriale è lo spazio tridimensionale, un vettore può essere inteso come una terna di numeri reali (x,y,z) e quindi un punto dello spazio.

Generalizzando, se lo spazio vettoriale V a cui un vettore appartiene ha dimensione n finita sul campo K, fissata una sua base, un vettore è univocamente determinato da n scalari (elementi di K) , detti componenti.

Da cui la definizione comune di vettore come oggetto definito da un certo numero di scalari. Occorre tenere presente la differenza tra vettori ed n-ple di scalari: i primi appartengono ad una struttura e quindi possono essere sommati e moltiplicati per scalari, le seconde no.

Se lo spazio vettoriale V è lo spazio euclideo allora le componenti geometricamente sono intese come le misure delle proiezioni del vettore stesso sugli assi del sistema di riferimento.

Notazione

Generalmente i vettori si denotano ricorrendo a lettere minuscole in grassetto, mentre le sue componenti si denotano come scalari identificati da pedici:

se le stesse lettere appaiono in corsivo o senza formattazione indicano i moduli dei vettori relativi (ad esempio, il modulo del vettore v viene indicato con |v| o più semplicemente con v o v); è frequente anche l'uso della sottolineatura in luogo del grassetto. In fisica, invece, spesso si denotano con frecce sovrascritte. Talvolta si utilizza la stessa notazione adottata per uno scalare, ma ciò può rendere meno leggibile l'equazione. Se il vettore è anche versore di una base, di solito si indica con un accento circonflesso ("cappello").

Rappresentazioni concrete dei vettori

Vettori come punti del piano o dello spazio

Se lo spazio vettoriale è il vettore può essere identificato con un punto del piano cartesiano che abbia come ascissa la prima componente del vettore e come ordinata la seconda.

Se lo spazio vettoriale è il vettore può essere identificato con un punto dello spazio tridimensionale che abbia come coordinate le componenti del vettore.

Vettori come frecce

Se lo spazio vettoriale è il piano o lo spazio tridimensionale, un vettore diverso dal vettore 0 (vettore nullo) può essere rappresentato graficamente come una freccia che inizia nell'origine e termina nel punto che ha come coordinate le componenti del vettore.

La rappresentazione tramite frecce è comoda per eseguire graficamente alcune operazioni tra vettori come la somma o la differenza.

Operazioni sui vettori

I vettori possono essere sommati e moltiplicati per uno scalare usando le operazioni che definiscono lo spazio vettoriale a cui appartengono.

Utilizzando strutture diverse dallo spazio vettoriale, è possibile inoltre definire il prodotto tensoriale e il prodotto vettoriale (o prodotto esterno) tra due vettori non necessariamente appartenenti allo stesso spazio vettoriale.

Se lo spazio vettoriale è anche normato è possibile definire la norma di un vettore, se lo spazio vettoriale possiede un prodotto scalare, è possibile definire il prodotto scalare tra due vettori.

I vettori in spazi unidimensionali sono scalari e quindi su di essi è possibile applicare le operazioni del campo K (come la divisione o la radice, quando hanno senso).

Identificando i vettori con n-ple è possibile eseguire operazioni elemento per elemento, come il prodotto di Hadamard.

Somma di due vettori

La somma tra vettori è definita dalla struttura di spazio vettoriale. La somma è associativa, commutativa e possiede l'elemento neutro che è il vettore nullo, inoltre ogni elemento ha un opposto.

Fissata una base, la somma tra due vettori, si può ottenere sommando le componenti, ottenendo la formula usuale:

Prodotto scalare

Se lo spazio vettoriale è dotato di un prodotto scalare, cioè è uno spazio prehilbertiano, allora è possibile definire il prodotto scalare tra due vettori, che viene indicato usualmente .

Se V è lo spazio con il prodotto scalare euclideo, si ottiene il prodotto scalare usuale: .

Prodotto di uno scalare per un vettore

Il prodotto di uno scalare per un vettore è definito dalla struttura di spazio vettoriale. Il prodotto è associativo, gode di proprietà distributive, inoltre vale 1v = v.

Fissata una base, la somma tra due vettori, si può ottenere sommando le componenti, ottenendo la formula usuale:

Prodotto tensoriale tra due vettori

Dati due vettori v e w appartenenti a due spazi vettoriali V e W sopra lo stesso campo K, si definisce prodotto tensoriale tra i due vettori il tensore di rango 1

Fissate due basi su cui proiettare i vettori, e identificando come l'insieme delle matrici di opportune dimensioni, il prodotto tensoriale tra v e w è , dove la T ad apice indica l'operatore di trasposizione.

Esempio:

Prodotto vettoriale o esterno tra due vettori

Dati due vettori v e w appartenenti a due spazi vettoriali V e W sopra lo stesso campo K, si definisce prodotto vettoriale tra i due vettori l'elemento del prodotto esterno tra V e W

Il prodotto vettoriale si indica anche con la notazione .

Se V e W sono lo spazio identificato con lo spazio euclideo tridimensionale, allora il prodotto vettoriale si può ottenere con la formula:

dove det indica il determinante e sono i versori degli assi.

Norma di un vettore

Se lo spazio vettoriale è dotato di una norma, cioè è uno spazio normato, allora è possibile associare a ogni vettore la sua norma che si indica con .

Se V è lo spazio con la norma euclidea, allora la norma è detta anche modulo e vale

È opportuno osservare che i concetti di norma e modulo non coincidono, se V è lo spazio delle funzioni continue su un intervallo chiuso [a,b] con la norma

allora è chiaro che la norma della funzione non coincide con il suo modulo.

Vettore applicato

Un vettore applicato nello spazio tridimensionale è un segmento orientato.

Gli elementi che caratterizzano un vettore sono:

direzione: la retta su cui giace il segmento;

verso: uno dei due possibili versi su questa retta;

punto di applicazione: punto di inizio del segmento, ovvero il punto che precede tutti gli altri punti del segmento;

modulo o intensità; lunghezza del segmento.

Un vettore applicato ad un punto A viene normalmente indicato così: 

Operazioni su vettori applicati

Somma

La somma di due vettori a e b aventi lo stesso punto di applicazione è definita come il vettore a + b, diagonale del parallelogramma formato dai vettori a e b. a + b appartiene allo stesso piano di a e b La somma gode delle seguenti proprietà:

a + b è ancora un vettore (cioè "+" è legge di composizione interna);

(a + b)+ c = a + (b+ c) (proprietà associativa)

esiste l' elemento neutro rispetto alla somma; il vettore zero, 0 è un segmento degenere di lunghezza zero, cioè un punto;

esiste l' elemento opposto rispetto alla somma, cioè un vettore - a che sommato ad a da il vettore zero; - a è un vettore che ha lo stesso modulo, punto di applicazione e direzione di a, ma verso opposto.

a + b = b + a (proprietà commutativa)

Queste proprietà fanno sì che l'insieme dei vettori dello spazio con lo stesso punto di applicazione O sia strutturato come un gruppo abeliano o commutativo.

La definizione di opposto di un vettore permette di definire la differenza tra due vettori a - b come somma di a con l'opposto di b.

Prodotto per uno scalare

Il prodotto di un vettore a per uno scalare N (numero reale) è un vettore b che ha lo stesso punto di applicazione, verso e direzione di a e modulo uguale a N a. Se N>1 il vettore viene dilatato, se N<1 il vettore viene contratto.

Il prodotto per uno scalare gode delle seguenti proprietà:

(definendo N e M come numeri reali ed a e b come vettori)

N a è ancora un vettore (cioè il prodotto per uno scalare è legge di composizione interna);

(N M)a = N(M a) (proprietà associativa)

esiste l' elemento neutro rispetto al prodotto ed è il numero 1;

(N + M)a = N a + M a (proprietà distributiva rispetto alla somma di numeri);

N (a+b) = N a + N b (proprietà distributiva rispetto alla somma di vettori);

Prodotto scalare (o prodotto interno)

Il prodotto scalare tra due vettori u e v aventi lo stesso punto di applicazione è definito nel modo seguente (si veda la figura sotto)

Il prodotto scalare non è una legge di composizione interna, perché associa a due vettori un numero reale. Non ha quindi senso parlare di associatività, di elemento neutro, oppure di elemento opposto; il prodotto scalare risulta invece commutativo . Il prodotto scalare è nullo se uno o entrambi i vettori son nulli, oppure se i vettori sono tra loro perpendicolari.

Prodotto vettoriale (o prodotto esterno)

Si dice prodotto vettoriale dei vettori v e u il vettore libero w avente:

la direzione della retta perpendicolare al piano individuato da v e u

il verso quello di una persona che percorre l'angolo θ tra v e u in senso antiorario. Per il verso si utilizza anche la regola della mano destra; disponendo pollice, indice e medio perpendicolari tra loro, se il pollice indica la direzione di v e l'indice la direzione di u, allora il medio indica la direzione di w (si veda la figura qui sopra). In maniera equivalente si può affermare che il verso di w è tale che la terna (v,u,w) sia una terna levogira.

il modulo di w è definito dalla formula:

Il prodotto vettoriale gode delle seguenti proprietà:

è associativo

è anticommutativo:  :

è nullo se uno o entrambi i vettori sono nulli, oppure se i vettori sono tra loro paralleli.

Componenti di un vettore

Scomposizione di un vettore

[rappresentazione grafica scomposizione di un Vettore]

Scomporre un vettore significa trovare altri due (nel piano) o tre (nello spazio) vettori, la cui somma sia uguale al vettore dato. Mentre la somma vettoriale è un'operazione univoca, un vettore può essere scomposto in infiniti modi. Anche la scomposizione è univoca se si specificano le direzioni lungo cui avviene la scomposizione.

Un vettore v può essere scomposto lungo le direzioni r ed s conducendo dalla "punta" del vettore le parallele alle rette r ed s. Le intersezioni di tali parallele con r ed s definiscono le componenti di v lungo r e lungo s,

La scomposizione di vettori è una procedura molto utilizzata in fisica, in particolare in statica per scomporre le forze lungo direzioni particolari (ad esempio parallele e perpendicolari a determinati vincoli).

Componenti cartesiane di un vettore

[Rappresentazione grafica componenti cartesiane di un Vettore]

Se si scelgono come direzioni di scomposizione di un vettore v gli assi cartesiani x e y, allora le componenti del vettore sono dette componenti cartesiane. I moduli di tali componenti sono detti rispettivamente componente x e componente y e vengono di solito indicate con vx e vy.

Per dare una rappresentazione algebrica ai vettori appartenenti ad un piano vengono inoltre definiti i versori degli assi cartesiani

vettori di modulo uno, rispettivamente paralleli all'asse x e all'asse y. Un generico vettore v viene quindi rappresentato come

Il vettore v viene anche associato alle sue componenti e viene quindi identificato con la coppia di valori vx e vy:

Se i vettori appartengono a tutto lo spazio tridimensionale occorre definire tre versori degli assi,

per cui

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VETTORIALE

Vettoriale è usato in particolare sia per rinviare a un vettore, sia per contrapporlo a scalare, sia per le due ragioni insieme.

Spazio vettoriale significa insieme di vettori, non necessariamente geometrici che soddisfi certe condizioni.

Una grandezza vettoriale si contrappone a una grandezza scalare.

Prodotto vettoriale, che, a partire da due vettori, "produce" un vettore, si contrappone a prodotto scalare, che, a partire da due vettori, produce un numero.

VIRGOLA

La virgola dei "numeri con virgola" serve contemporaneamente a separare e a riunire: quello che si legge prima di essa è un numero intero di unità, quello che si legge dopo è un numero intero di "frazioni decimali di unità"

VOLUME

Il volume o capacità è la misura dello spazio occupato da un corpo. Viene valutato ricorrendo a molte diverse unità di misura. L'unità adottata dal Sistema Internazionale è il metro cubo, simbolo .

Il volume di un oggetto solido è un valore numerico utilizzato per descrivere a 3 dimensioni quanto spazio occupa il corpo. Ad oggetti ad una dimensione (come una linea) o a 2 dimensioni (come un quadrato) si assegna per convenzione volume 0 in uno spazio tridimensionale.

Matematicamente i volumi sono definiti mediante l'applicazione di calcolo integrale, come se il corpo fosse formato dalla somma di una grandissima quantità di piccoli cubi. La generalizzazione di volume, arbitrariamente esteso a più dimensioni, viene chiamato contenuto.

Il volume di alcuni solidi

Cubo:

Prisma rettangolare:

Cilindro:

Sfera:

Piramide:

Cono (Piramide a base circolare):

VUOTO

L'insieme vuoto è un insieme che non contiene alcun elemento. esso è unico e viene indicato con .

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