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Probabilità.

Carattere di ciò che è probabile, condizione di un evento che ha possibilità di accadere. ║ Il grado stesso della possibilità di realizzazione di un evento. • Mat. - Calcolo delle p.: strumento matematico con cui si affrontano e si studiano le regolarità statistiche presentate da fenomeni che, in prima approssimazione, dipendono esclusivamente dal caso. La ragione dello sviluppo del calcolo delle p. all'inizio del XX sec. è da ricercarsi nell'importanza sempre maggiore che esso ha assunto nelle applicazioni; in tutte le scienze sperimentali, infatti, si riconosce una situazione che può essere descritta, schematicamente, nel seguente modo. Si considera un evento A e un insieme I di sistemi fisici in cui l'evento A può verificarsi; si suppone che ogni sistema dell'insieme I soddisfi un complesso di condizioni C, dette condizioni di preparazione dell'esperimento in cui A può verificarsi; si suppone, inoltre, che tutte le altre condizioni che possono influenzare l'occorrenza di A siano distribuite in I in modo completamente casuale. Si verifica sperimentalmente il numero di occorrenze di A su un grande numero N di sistemi scelti a caso in I, e lo si denota con il simbolo N(A\C); se, al crescere di N, il rapporto N(A\C)/N, detto frequenza relativa dell'evento A, tende a stabilizzarsi intorno a un numero fisso indipendente da N e da I, tale numero prende il nome di p. condizionata di A dato C, e lo si indica con il simbolo P(A\C), o semplicemente P(A), se C è considerato fissato una volta per tutte. L'insieme I viene detto collettivo statistico, mentre il verificarsi dell'ultima condizione descritta prende il nome di legge empirica del caso o legge di stabilizzazione delle frequenze relative. Una volta introdotto il concetto di p., le regole con cui dalle p. di alcuni eventi si deducono quelle di altri da essi composti si dicono leggi di p., alcune delle quali vengono assunte come assiomi del modello probabilistico. ║ Assiomi di normalizzazione: sono comuni a tutti i modelli, e sono così formulati: qualunque sia C, la p. di A è un numero compreso tra 0 e 1; per ogni evento C si ha P(C\C) = 1. ║ Assiomi di struttura: assiomi che riguardano la struttura globale degli insiemi degli eventi relativamente a operazioni di congiunzione, disgiunzione e negazione. Il postulato di compatibilità è posto a fondamento del modello della p. elementare, e si enuncia nel seguente modo: l'insieme degli eventi è chiuso rispetto alle operazioni di congiunzione, disgiunzione, negazione, cioè l'insieme degli eventi costituisce un'algebra booleana. Ad esso si aggiunge, nel modello Kolmogorov, il seguente postulato: l'insieme degli eventi è chiuso rispetto alle disgiunzioni finite, alla negazione e alla congiunzione di una famiglia numerabile di eventi (l'insieme degli eventi costituisce, cioè, una algebra booleana). ║ Assioma di additività finita: appartenente al modello elementare, traduce la possibilità di addizionare eventi mutuamente esclusivi, ovvero eventi la cui congiunzione abbia p. nulla. ║ Assioma di continuità: nel modello Kolmogorov sostituisce l'assioma di additività; se (An) è una successione di eventi mutuamente esclusivi, la loro unione è un evento significativo, avente p. pari a Assioma di condizionamento: esprime la variazione di un evento A in rapporto a un secondo evento B: dati tre eventi A, B, C tali che A sia compatibile con B e B con C (ovvero, le loro unioni e congiunzioni sono eventi fisicamente significativi), si ha:

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ogni volta che P(B\C) 0 (formula elementare delle p. condizionate). Il modello di Renyi generalizza quello di Kolmogorov, introducendo le p. di uno stesso evento riferite a una molteplicità di condizionamenti possibili. ║ Teorema delle p. totali: teorema che generalizza l'assioma di additività finita e che si enuncia nel seguente modo: se A1,..., An sono eventi mutuamente esclusivi, la p. della loro unione è la somma delle p. di ogni singolo evento. ║ Teorema delle p. composte: sia B un evento tale che P(B) > 0; per ogni evento A si definisce allora p. condizionata di A dato B la quantità definita dalla formula

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Ciò premesso, il teorema delle p. composte afferma che per ogni evento A e per ogni successione di eventi disgiunti B1,..., Bn la cui unione contenga A, vale la seguente relazione:

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Gli eventi Bj vengono detti ipotesi o cause, e costituiscono le varie alternative che possono spiegare il verificarsi dell'evento A; le quantità P(Bj) sono dette p. a priori o iniziali, poiché prescindono dall'occorrenza di A, mentre le P(B\A) prendono il nome di p. a posteriori o finali, ed esprimono le p. delle ipotesi dopo che si è verificato A. ║ Variabile casuale: sia ξ una grandezza osservabile relativa a un sistema fisico; si dice che ξ è una variabile casuale o aleatoria se non è possibile prevedere con esattezza il valore che essa assume, ma è possibile prevedere le frequenze relative di questi valori, calcolate mediante la misura di ξ in un gran numero di preparazioni identiche. L'insieme delle p. dei valori assunti da una variabile casuale prende il nome di distribuzione di p., e costituisce una caratteristica fondamentale della variabile stessa. ║ Convergenza in p.: sia data una successione (ξn) di variabili casuali reali definite su uno spazio di p.Ω; si dice che per n → ∞ la successione converge in p. verso la variabile ξ se per ogni ⊂ > 0 è limn Pn - ξ| >⊂} = 0. • Fis. - P. quantistica: mentre in fisica classica il concetto di p. trova applicazione soltanto nella meccanica quantistica, il suo ruolo diviene fondamentale in tutta la fisica quantistica. Non si tratta più di una descrizione incompleta sovrapposta a una teoria esatta, ma di una necessità imprescindibile, poiché, per il principio di indeterminazione di Heisenberg, la conoscenza esatta di alcune grandezze implica la possibilità di conoscere soltanto le distribuzioni di p. dei valori assunti da altre grandezze. Il nuovo ruolo assunto dalla p. nella fisica ha dato origine a un nuovo formalismo matematico, la p. quantistica e la corrispondente teoria dei processi stocastici quantistici. La differenza fondamentale tra p. classica e quantistica consiste nell'introduzione di un nuovo concetto, l'ampiezza di p. di un evento, e nella sostituzione del teorema classico delle p. composte con il principio quantistico delle ampiezze composte; più precisamente, se (Bj) è una successione di eventi mutuamente disgiunti, non ulteriormente decomponibili, dei quali almeno uno accade con certezza, si ha:

Σj Ψ(A\Bj) Ψ(Bj) = Ψ(A)

dove le ampiezze Ψ(A\Bj), Ψ(Bj) sono collegate alle corrispondenti p. dalle relazioni

P(A\Bj) = |Ψ(A\Bj)|2; P(Bj) = |Ψ(Bj)|2

La funzione Ψ(Bj) viene detta funzione d'onda, e la relazione che la collega alla p. associata viene detta interpretazione statistica della funzione d'onda; il membro a sinistra della identità che esprime il principio di sovrapposizione differisce, in generale, dal corrispondente membro nel principio classico, e la differenza tra i due è un numero espresso come somma di più termini, detti termini d'interferenza. L'utilizzo del principio delle ampiezze composte per calcolare la p. di un evento è tutt'altro che intuitivo: il successo ottenuto dalla applicazione di tale formula nella teoria quantistica, tuttavia, ha giustificato l'idea che esso abbia un fondamento profondo, e ha stimolato il tentativo di dedurre sia il principio di sovrapposizione, sia l'interpretazione statistica della funzione d'onda, da affermazioni con un contenuto fisico più intuitivo. In particolare, è stata provata la necessità teorica di superare il modello classico per poter inquadrare i dati sperimentali, ed è stato provato che è possibile dedurre il nuovo modello da assiomi fisicamente plausibili. Si può dimostrare, infatti, che il teorema delle p. composte è equivalente alla possibilità di applicare il concetto di p. condizionata, la cui definizione, a sua volta, va considerata come un assioma della teoria classica; i dati sperimentali mostrano che questo assioma non può essere valido nel modello della p. quantistica. I termini di interferenza presenti nel principio di sovrapposizione esprimono quantitativamente l'impossibilità di applicare la p. classica alla descrizione di alcuni fenomeni quantistici.