Carattere di ciò che è probabile, condizione di un evento che ha
possibilità di accadere. ║ Il grado stesso della possibilità
di realizzazione di un evento. • Mat. -
Calcolo delle p.: strumento
matematico con cui si affrontano e si studiano le regolarità statistiche
presentate da fenomeni che, in prima approssimazione, dipendono esclusivamente
dal caso. La ragione dello sviluppo del calcolo delle
p. all'inizio del
XX sec. è da ricercarsi nell'importanza sempre maggiore che esso ha
assunto nelle applicazioni; in tutte le scienze sperimentali, infatti, si
riconosce una situazione che può essere descritta, schematicamente, nel
seguente modo. Si considera un evento
A e un insieme
I di sistemi
fisici in cui l'evento
A può verificarsi; si suppone che ogni
sistema dell'insieme
I soddisfi un complesso di condizioni
C,
dette
condizioni di preparazione dell'esperimento in cui
A
può verificarsi; si suppone, inoltre, che tutte le altre condizioni che
possono influenzare l'occorrenza di
A siano distribuite in
I in
modo completamente casuale. Si verifica sperimentalmente il numero di occorrenze
di
A su un grande numero
N di sistemi scelti a caso in
I, e
lo si denota con il simbolo
N(A\C); se, al crescere di
N, il
rapporto
N(A\C)/N, detto
frequenza relativa dell'evento
A,
tende a stabilizzarsi intorno a un numero fisso indipendente da
N e da
I, tale numero prende il nome di
p. condizionata di A dato C, e lo
si indica con il simbolo
P(A\C), o semplicemente
P(A), se
C
è considerato fissato una volta per tutte. L'insieme
I viene detto
collettivo statistico, mentre il verificarsi dell'ultima condizione
descritta prende il nome di
legge empirica del caso o
legge di
stabilizzazione delle frequenze relative. Una volta introdotto il concetto
di
p., le regole con cui dalle
p. di alcuni eventi si deducono
quelle di altri da essi composti si dicono
leggi di p., alcune delle
quali vengono assunte come assiomi del modello probabilistico. ║
Assiomi di normalizzazione: sono comuni a tutti i modelli, e sono
così formulati: qualunque sia
C, la
p. di
A è
un numero compreso tra 0 e 1; per ogni evento
C si ha
P(C\C) = 1.
║
Assiomi di struttura: assiomi che riguardano la struttura globale
degli insiemi degli eventi relativamente a operazioni di congiunzione,
disgiunzione e negazione. Il
postulato di compatibilità è
posto a fondamento del modello della
p. elementare, e si enuncia nel
seguente modo: l'insieme degli eventi è chiuso rispetto alle operazioni
di congiunzione, disgiunzione, negazione, cioè l'insieme degli eventi
costituisce un'algebra booleana. Ad esso si aggiunge, nel modello Kolmogorov, il
seguente postulato: l'insieme degli eventi è chiuso rispetto alle
disgiunzioni finite, alla negazione e alla congiunzione di una famiglia
numerabile di eventi (l'insieme degli eventi costituisce, cioè, una
algebra booleana). ║
Assioma di additività finita:
appartenente al modello elementare, traduce la possibilità di addizionare
eventi mutuamente esclusivi, ovvero eventi la cui congiunzione abbia
p.
nulla. ║
Assioma di continuità: nel modello Kolmogorov
sostituisce l'assioma di additività; se
(An) è
una successione di eventi mutuamente esclusivi, la loro unione è un
evento significativo, avente
p. pari a

║
Assioma di
condizionamento: esprime la variazione di un evento
A in rapporto a
un secondo evento
B: dati tre eventi
A, B, C tali che
A sia
compatibile con
B e
B con
C (ovvero, le loro unioni e
congiunzioni sono eventi fisicamente significativi), si ha:

ogni volta che
P(B\C) ≠
0 (
formula
elementare delle p. condizionate). Il modello di Renyi generalizza quello di
Kolmogorov, introducendo le
p. di uno stesso evento riferite a una
molteplicità di condizionamenti possibili. ║
Teorema delle p.
totali: teorema che generalizza l'assioma di additività finita e che
si enuncia nel seguente modo: se
A1,...,
An
sono eventi mutuamente esclusivi, la
p. della loro unione è la
somma delle
p. di ogni singolo evento. ║
Teorema delle p.
composte: sia
B un evento tale che
P(B) > 0; per ogni
evento
A si definisce allora
p. condizionata di A dato B la
quantità definita dalla formula

Ciò premesso, il teorema delle
p. composte
afferma che per ogni evento
A e per ogni successione di eventi disgiunti
B1,...,
Bn la cui unione contenga
A,
vale la seguente relazione:

Gli eventi
Bj vengono detti ipotesi o cause, e costituiscono le varie
alternative che possono spiegare il verificarsi dell'evento
A; le
quantità
P(Bj) sono dette
p. a priori o
iniziali, poiché prescindono dall'occorrenza di
A, mentre le
P(B\A) prendono il nome di
p. a posteriori o
finali, ed
esprimono le
p. delle ipotesi dopo che si è verificato
A.
║
Variabile casuale: sia ξ una grandezza osservabile relativa
a un sistema fisico; si dice che ξ è una variabile casuale o
aleatoria se non è possibile prevedere con esattezza il valore che essa
assume, ma è possibile prevedere le frequenze relative di questi valori,
calcolate mediante la misura di ξ in un gran numero di preparazioni
identiche. L'insieme delle
p. dei valori assunti da una variabile casuale
prende il nome di
distribuzione di p., e costituisce una caratteristica
fondamentale della variabile stessa. ║
Convergenza in p.: sia data
una successione (ξ
n) di variabili casuali reali definite su uno
spazio di
p.Ω; si dice che per
n → ∞ la
successione converge in
p. verso la variabile ξ se per ogni ⊂
> 0 è lim
n P{ξ
n - ξ|
>⊂} = 0. • Fis. -
P. quantistica: mentre in fisica
classica il concetto di
p. trova applicazione soltanto nella meccanica
quantistica, il suo ruolo diviene fondamentale in tutta la fisica quantistica.
Non si tratta più di una descrizione incompleta sovrapposta a una teoria
esatta, ma di una necessità imprescindibile, poiché, per il
principio di indeterminazione di Heisenberg, la conoscenza esatta di alcune
grandezze implica la possibilità di conoscere soltanto le distribuzioni
di
p. dei valori assunti da altre grandezze. Il nuovo ruolo assunto dalla
p. nella fisica ha dato origine a un nuovo formalismo matematico, la
p. quantistica e la corrispondente teoria dei processi stocastici
quantistici. La differenza fondamentale tra
p. classica e quantistica
consiste nell'introduzione di un nuovo concetto, l'ampiezza di
p. di un
evento, e nella sostituzione del teorema classico delle
p. composte con
il principio quantistico delle ampiezze composte; più precisamente, se
(Bj) è una successione di eventi mutuamente disgiunti,
non ulteriormente decomponibili, dei quali almeno uno accade con certezza, si
ha:
Σ
j Ψ(
A\Bj)
Ψ(B
j)
= Ψ(
A)
dove le
ampiezze Ψ(
A\Bj)
, Ψ(
Bj)
sono collegate alle corrispondenti
p. dalle
relazioni
P(
A\Bj)
=
|Ψ(
A\Bj)|
2;
P(
Bj)
=
|Ψ(
Bj)|
2La funzione
Ψ(
Bj) viene detta
funzione d'onda, e la relazione
che la collega alla
p. associata viene detta interpretazione statistica
della funzione d'onda; il membro a sinistra della identità che esprime il
principio di sovrapposizione differisce, in generale, dal corrispondente membro
nel principio classico, e la differenza tra i due è un numero espresso
come somma di più termini, detti termini d'interferenza. L'utilizzo del
principio delle ampiezze composte per calcolare la
p. di un evento
è tutt'altro che intuitivo: il successo ottenuto dalla applicazione di
tale formula nella teoria quantistica, tuttavia, ha giustificato l'idea che esso
abbia un fondamento profondo, e ha stimolato il tentativo di dedurre sia il
principio di sovrapposizione, sia l'interpretazione statistica della funzione
d'onda, da affermazioni con un contenuto fisico più intuitivo. In
particolare, è stata provata la necessità teorica di superare il
modello classico per poter inquadrare i dati sperimentali, ed è stato
provato che è possibile dedurre il nuovo modello da assiomi fisicamente
plausibili. Si può dimostrare, infatti, che il teorema delle
p.
composte è equivalente alla possibilità di applicare il concetto
di
p. condizionata, la cui definizione, a sua volta, va considerata come
un assioma della teoria classica; i dati sperimentali mostrano che questo
assioma non può essere valido nel modello della
p. quantistica. I
termini di interferenza presenti nel principio di sovrapposizione esprimono
quantitativamente l'impossibilità di applicare la
p. classica alla
descrizione di alcuni fenomeni quantistici.