Paràbola.

Curva piana, appartenente alla famiglia delle coniche, ottenuta come intersezione di un cono circolare con un piano non passante per il vertice, che forma con l'asse un angolo uguale a quello di apertura del cono. Sono archidi p. le traiettorie di alcune comete, o di un grave lanciato non verticalmente, sotto l'azione della sola forza di gravità. ║ Per estens. - Traiettoria simile ad arco di p. ║ Fig. - L'andamento di un fenomeno in ascesa che, raggiunto il suo vertice, diviene discendente. • Mat. - La p., definita come particolare sezione di un cono circolare, può essere introdotta anche senza far riferimento al concetto di sezione di una figura solida, mediante una sua proprietà caratteristica. Si consideri, pertanto, il piano π passante per l'asse del cono e perpendicolare al piano α che genera la p.; il punto di intersezione della p. con il piano π viene detto vertice, mentre la retta comune ad α e π viene detta asse della p. Tracciata la sfera inscritta nel cono e tangente all'asse della p., si dice fuoco il punto di tangenza tra sfera e asse; si definisce retta direttrice la retta giacente sul piano α, perpendicolare all'asse della p., e avente distanza dal vertice pari a quella tra vertice e fuoco. I punti della p., allora, sono tutti e solo i punti del piano α equidistanti dal fuoco e dalla direttrice; tale proprietà caratteristica viene assunta, in geometria analitica, come definizione equivalente di tale conica: si chiama p. il luogo dei punti del piano equidistanti da un punto assegnato, detto fuoco, e da una retta assegnata, detta direttrice. In un sistema di assi cartesiani ortogonali, una p. avente la direttrice parallela all'asse delle x è rappresentabile analiticamente mediante l'equazione y = ax² + bx + c; dai coefficienti a, b, c si ricavano le coordinate del vertice, (-b/2a, -Δ/4a), del fuoco, (-b/2a, (1-Δ)/4a), e l'equazione della direttrice, y = (-1-Δ)/4a, dove si è posto Δ = b² - 4ac. Se la curva ha il vertice nell'origine del sistema di assi, e il fuoco ha coordinate (0, p/2), la precedente equazione si riduce alla cosiddetta equazione canonica, y = 2px², da cui possono essere facilmente dedotte le principali proprietà della p. Essa è simmetrica rispetto al suo asse (asse y del sistema di coordinate); le rette parallele all'asse y hanno una e una sola intersezione con la p., mentre quelle parallele all'asse x o non la secano, oppure hanno due punti di intersezione con la curva (ovvero, la funzione che definisce la p. non è invertibile). Il numero reale p, detto parametro della p., ne determina la concavità: per p > 0 la p. è rivolta verso l'alto, mentre per p < 0 ha concavità verso il basso; l'asse x (y = 0), infine, è tangente alla conica nel suo vertice. La p. gode, inoltre, delle seguenti proprietà focali: la tangente e la normale alla p. in un suo punto bisecano gli angoli formati dal raggio focale e dalla parallela all'asse uscenti per il medesimo punto; il luogo dei punti simmetrici del fuoco rispetto alle tangenti alla p. in ogni suo punto è la direttrice della p. stessa; infine, il luogo dei punti descritto dal piede della perpendicolare condotta dal fuoco alla tangente di una p. è la tangente a questa nel suo vertice. Passando a un sistema di assi cartesiani qualunque, una p. è rappresentabile analiticamente mediante l'equazione

a₁₁x² + 2a₁₂xy + a₂₂y² + 2a₁₃x + 2a₂₃y + a₃₃ = 0,

nella quale sia

a₁₁a₂₂ - = 0,

che esprime la tangenza della p. alla retta impropria. ║ P. di ordine n: curva caratterizzata da un'equazione cartesiana del tipo y = a₀xⁿ + a₁x^n-1 + ... + a_n-1x + a_n. Particolarmente significative sono le p. di ordine superiore aventi equazione y = pxⁿ; tali curve hanno esattamente n intersezioni con l'asse delle x riunite nell'origine, ed è facile verificare che l'origine è un punto di flesso per le p. e che l'asse delle x ne è la tangente di flesso. ║ P. nodata: curva caratterizzata dall'equazione cartesiana y² = x² (x + 1). Ogni retta per l'origine O, avente equazione y = mx, ha, in O, due intersezioni coincidenti con la curva: perciò, l'origine è un suo punto doppio. Le due rette y = x e y = -x, bisettrici dei quadranti, sono le tangenti principali alla p. nel punto doppio e, per il fatto che sono distinte, il punto doppio prende il nome di nodo. ║ P. cuspidata o semicubica: curva rappresentata analiticamente dall'equazione y² = x³. Passa per l'origine, è simmetrica rispetto all'asse x ed è situata nel semipiano delle x positive; la generica retta r passante per l'origine, di equazione y = mx, ha in tale punto due intersezioni coincidenti con la curva, pertanto l'origine è un punto doppio per la p. La retta r incontra ulteriormente la cubica nel punto (m², m³), che coincide con (0, 0) soltanto per m = 0; quindi, la retta y = 0, che ha nell'origine tre intersezioni coincidenti, viene detta tangente cuspidale e il punto doppio prende il nome di cuspide.