ESPRESSIONI LETTERALI

Ci è capitato più volte di esprimere le proprietà delle operazioni usando le lettere al posto dei numeri, quando tali proprietà valevano indipendentemente dai numeri particolari. Un uso molto frequente delle lettere si registra in geometria, quando vengono date le formule per calcolare aree o volumi di figure o solidi geometrici.

Ad esempio l'area del trapezio è sintetizzata nella formula

                    B+b
        A (ABCD) = ---- *h
                     2

e questo vale per qualsiasi trapezio ABCD con base maggiore B, base minore b e altezza h, quali che siano le loro misure in ogni trapezio particolare.

Fin qui abbiamo considerato espressioni aritmetiche numeriche; consideriamo ora espressioni letterali, quelle espressioni cioè in cui compaiono lettere, accompagnate o no da numeri. Ad esempio la formula che esprime l'area del trapezio è un'espressione letterale, in cui figura anche il numero 1/2. Infatti tale formula può essere scritta così:

                             1
         A(ABCD) = (B+b)*h * -
                             2

Notiamo ora, poiché lo faremo sempre in seguito, che invece di usare il segno, per indicare il prodotto accosteremo semplicemente i numeri alle lettere o le lettere alle lettere. Somma, differenza e divisione saranno indicate invece coi soliti segni.
Consideriamo la seguente espressione letterale:

                     1
                3a + - b² - ab.
                     2

Se noi sostituiamo ad a e b numeri particolari, si dice che calcoliamo il valore dell'espressione per quei numeri. Poniamo ad esempio a = 1 e b = 2; sostituiamo questi valori ad a e b nell'espressione; abbiamo

              1                  1
        3*1 + - * 2² - 1*2 = 3 + - * 4 - 2 = 3 + 2 - 2 = 3.
              2                  2

-^

Diciamo che il valore dell'espressione per a = 1 e b = 2 è il numero 3.

Le espressioni letterali consentono di sintetizzare in un'unica formula una serie infinita di calcoli. Prima abbiamo dato un esempio tratto dalla geometria, ora diamo un esempio tratto dal mondo reale. Supponiamo di volerci spostare in corriera da un centro abitato a un altro che dista 10 Km e che vi si arrivi in un tempo di 30 minuti. Chiediamoci: qual è la velocità oraria della corriera? E' facile rispondere: se in mezz'ora ha percorsoo km 10, in un'ora ne percorrerà 20. Quindi la velocità media della corriera è di 20 Km/h. Tuttavia questo calcolo per grandezze particolari è sintetizzato in una formula scoperta in fisica, che mette in relazione la velocità, il tempo e lo spazio percorso. Essa afferma:

v = s/t, cioè la velocità è uguale al rapporto tra lo spazio percorso e il tempo impiegato a percorrerlo.

Nel nostro esempio, noi conosciamo lo spazio e il tempo; per conoscere la velocità basta calcolare il valore dell'espressione per s = 10 e t = 0,5 (posto in ore). Abbiamo allora

                         10      10
                     v = -- = 10*-- = 20
                          5       5
                         --
                         10

Facciamo ancora un altro esempio: un lavoratore guadagna 1000 Euro mensili e spende mensilmente 600 Euro per spese varie. Quanto risparmia al netto delle spese dopo un anno?

Seguendo un modo di fare abituale diciamo 1000-600 = 400, che è il risparmio mensile. Moltiplichiamo poi per 12 e otteniamo il risparmio annuale. Tuttavia se vogliamo risolvere questo problema non solo per il nostro lavoratore, che percepisce uno stipendio ben preciso, ma per qualsiasi stipendio e per qualsiasi spesa, troviamo la formula Ra = (Gm-Sm)x12, dove Ra indica il risparmio annuo, Gm il guadagno mensile, Sm la spesa mensile.

Consideriamo ora particolari espressioni letterali.

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Una espressione letterale che non contiene le operazioni di addizione e sottrazione si chiama monomio.

Sono monomi le seguenti espressioni: 3a²2b,-(5a/b²), 7a²b²c²/15. Il fattore numerico posto davanti alla parte letterale si chiama coefficiente del monomio. In base a quanto abbiamo stabilito, i coefficienti vanno considerati come elementi di Q. Il coefficiente del primo dei monomi scritti sopra è 3, del secondo è -5, del terzo è 7/15.

Come per i numeri, anche per le espressioni letterali e per i monomi possiamo definire un'operazione di somma algebrica.

                                    5
        Consideriamo i monomi 3a, - - a;
                                    4

essi hanno la parte letterale uguale pur avendo diversi coefficienti. Due monomi che hanno uguale parte letterale si dicono simili. Per calcolare la somma 2a + 4a ricordiamo la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma; abbiamo allora 2a + 4a = (2 + 4)a = 6a. Concludiamo perciò:

La somma algebrica di due monomi simili è il monomio simile ai dati che ha per coefficiente la somma algebrica dei coefficienti.

Facciamo ancora un'esempio:

               1                   1           13
        3a²b - - a²b + 4a²b = (3 - - + 4)a²b = -- a²b.
               2                   2            2

-^

Questa operazione si dice anche riduzione di termini simili. Quando i monomi non sono simili (e quindi non si può applicare la proprietà distributiva) la somma algebrica di monomi si dice polinomio. Un polinomio è quindi una somma algebrica di monomi in cui già abbiamo operato la riduzione di termini simili. Consideriamo ad esempio questa somma algebrica:

                     1
        3a²c + 4b² - - a²c + d;
                     3

riduciamo i termini della somma algebrica (cioè i monomi) simili:

            1                 8
       (3 - -)a²c + 4b² + d = - a²c + 4b² + d;
            2                 3

quest'ultimo è un polinomio. Ugualmente possiamo definire la somma algebrica di polinomi, seguendo per i segni le regole già esposte.

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Ad esempio (3a²+b+4a²c)-(4a²-b+3d)+c² = 3a²+b+4a²c-4a²+b-3d+c²; dopo aver tolto le parentesi riduciamo i termini simili e otteniamo:

(3-4)a²+(1+1)b+4a²c-3d+c² = -a²+2b+4a²c-3d+c²: quest'ultimo polinomio è la somma algebrica voluta. Il prodotto e la divisione di monomi si eseguono ricordando le regole sui segni. Ad esempio

        3            1       3
        - a²*(-2ab): - c²b = - a².
        4            2       4

Semplificando abbiamo -3a³b²c².

Il prodotto di un polinomio per un monomio si esegue considerando il monomio come numero e applicando la proprietà distributiva.

Un monomio è un prodotto di numeri e lettere;

              1                         1
       così - - a^3c  è il prodotto di - - * a^3*c.
              3                         3

Possiamo perciò immaginare un polinomio come somma algebrica i cui addendi sono prodotti; allora è possibile applicare la proprietà distributiva raccogliendo a fattore comune ogni volta che nel polinomio ci sono termini contenenti lo stesso fattore.

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Il prodotto di polinomi si esegue in virtù della stessa proprietà distributiva rispetto a somme. Concludiamo che:

Il prodotto di due polinomi è quel polinomio che si ottiene moltiplicando ciascun termine del primo per ciascun termine del secondo e facendo poi la somma algebrica dei prodotti ottenuti.

Per dividere un monomio per un altro si può procedere molto rapidamente considerando la divisione come frazione e poi semplificare con le regole già esposte per le frazioni. Ad esempio: 6a²b²c:3abc = 6a²b²c/3abc = 2ab. In questo caso si ottiene una frazione apparente: si dice che il monomio 6a²b²c è divisibile per il monomio 3abc; quando non ci troviamo in questa situazione otteniamo una frazione in cui numeratore e denominatore sono espressioni letterali, cioè monomi. Ad esempio 3a²b:4ac²d = 3a²b/4ac²d = 3ab/4c²d. La divisione di un polinomio per un monomio avviene nello stesso modo.

Se consideriamo l'insieme di tutti i polinomi vediamo che su di esso abbiamo definito somma, prodotto, sottrazione, divisione, e abbiamo detto che eseguendo queste operazioni otteniamo ancora un polinomio. Affermiamo allora, indicando con P l'insieme dei polinomi, che P è chiuso rispetto a queste operazioni. P,+,x,-,:,> è un altro esempio di struttura come l'abbiamo definita nel capitolo degli insiemi numerici. Notiamo che la struttura di P è simile alla struttura di Q; si possono difatti eseguire le stesse operazioni.
Come esercizio calcoliamo i valori della seguente espressione (a+b)². Avremo:

(a+b)² =(a+b)x(a+b) = a²+b²+ab+ab = a²+b²+2ab. Questa espressione dice che:

il quadrato della somma di due numeri è uguale al quadrato del primo più il quadrato del secondo più il doppio prodotto del primo per il secondo.

Verifichiamo tale espressione per a = 2 e b = 3. Allora abbiamo: (2+3)² = 5² = 25; e 2²+3²+2x2x3 = 4+9+12 = 25. Vediamo inoltre che:

(a-b)² = (a-b)x(a-b) = a²-ab-ab+b² = a²+b²-2ab. Cioè:

il quadrato della differenza di due numeri è uguale al quadrato del primo più il quadrato del secondo meno il doppio prodotto del primo per il secondo.

Verificate voi stessi tale espressione per a = 5 e b = 1/2.

Definizione di monomio

Definizione di polinomio

Addizione di polinomi

Moltiplicazione di due polinomi

Definizione di prodotti notevoli

 

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UGUAGLIANZE LETTERALI

Due espressioni legate da un segno uguale formano un'uguaglianza letterale. Sono uguaglianze letterali le espressioni della geometria che servono a calcolare aree e volumi delle figure geometriche e dei solidi. Anche le proprietà delle operazioni enunciate con le lettere sono uguaglianze letterali: ad esempio la proprietà associativa a+(b+c) = (a+b)+c.

Consideriamo ad esempio l'uguaglianza (2a+b)x(2a-b) = 4a²-b². Cosa vuol dire verificarla per a = 1/2 e b = 3? Verificare un'uguaglianza letterale per assegnati valori delle lettere vuol dire calcolare il valore dei suoi membri. L'espressione a sinistra dell'uguale è il primo membro, mentre l'espressione a destra è il secondo membro dell'uguaglianza. Nel secondo esempio otteniamo

           1        1
        (2*- +3)*(2*- -3) = (1+3)*(1- 3) = 4*(-2) = -8
           2        2

per quanto riguarda il primo membro; considerando il secondo abbiamo

           1
         4*- -9 = 1-9 = -8.
           4

L' uguaglianza è così verificata. Esponiamo ora alcune importanti proprietà dell'uguaglianza:

I. Aggiungendo o togliendo una stessa quantità a entrambi i membri l'uguaglianza continua a valere.

Prendiamo come esempio a-b = c. Se aggiungiamo a entrambi i membri la quantità b otteniamo: a-b+b = c+b, cioè a = c+b. In termini numerici abbiamo: 7-3 = 4. Se aggiungiamo a entrambi i membri il numero 3 otteniamo 7-3+3 = 4+3 cioè 7=7. Consideriamo ancora l'uguaglianza a-b = c. Se togliamo da entrambi i membri una stessa quantità, ad esempio a, l'uguaglianza continua a valere: infatti a-b-a = c-a cioè-b = c-a. Oppure, sempre partendo da a-b = c, togliamo da entrambi i membri la quantità c; otterremo a-b-c = c-c cioè a-b-c = 0. Diciamo allora che:

Si può spostare un termine di un'uguaglianza da un membro all'altro purché lo si cambi di segno.

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Così nell'uguaglianza 3ab-c = b²+d, si sposta -c al secondo membro cambiandolo di segno; abbiamo allora 3ab = b²+d+c. E' come se avessimo aggiunto c a entrambi i membri e poi semplificato l'espressione.

II. Moltiplicando o dividendo due membri di una uguaglianza per una stessa quantità diversa da O l'uguaglianza continua a valere.

Dividiamo per esempio per d l'uguaglianza ad+c = b. Dopo aver portato c nel secondo membro abbiamo ad = b-c. Eseguiamo la divisione per d:

                   ad   b-c
        otteniamo  -- = ---.
                    d    d
                                    b-c
        Semplificando otteniamo a = ----.
                                     d

Eseguendo la divisione abbiamo eseguito anche la moltiplicazione, poiché dividere un numero per d equivale a moltiplicarlo per 1/d.
Riprendiamo l'esempio relativo al concetto di velocità; avevamo v = s/t. Supponiamo di conoscere v e t: vogliamo trovare lo spazio s. Trasformiamo allora la nostra uguaglianza moltiplicando entrambi i membri per t. Otteniamo vt = s/txt, cioè vt = s. Così lo spazio risulta uguale al prodotto della velocità per il tempo. Ciò che abbiamo fatto prende il nome di: risoluzione di una uguaglianza rispetto a una lettera, nel nostro caso s.

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EQUAZIONI DI PRIMO GRADO

Finora abbiamo considerato uguaglianze verificate per qualsiasi valore numerico dato alle lettere. Chiamiamo queste uguaglianze identità. Introdurremo ora delle particolari uguaglianze che sono verificate solo per alcuni valori attribuiti alle lettere.

Considereremo espressioni letterali in cui figura soltanto una lettera che chiameremo x. Essa è l'incognita, cioè il valore da scoprire perché il primo membro sia uguale al secondo. Vedremo meglio in seguito il significato di queste espressioni che chiameremo equazioni di 1° grado a una incognita.

Cerchiamo di risolvere questo problema: in un bar ci sono in tutto 30 posti a sedere, suddivisi tra sgabelli, come quelli raffigurati, con tre piedi, e sedie, per un totale di 115 piedi. Quante sono le sedie, quanti gli sgabelli? Si tratta di trovare il modo opportuno per esprimere in termini matematici la differenza tra sedie e sgabelli, e il loro numero.

La prima cosa che facciamo è di scegliere se indicare con la lettera x il numero delle sedie o quello degli sgabelli. Scegliamo di indicare con x, cioè l'incognita, il numero delle sedie. Sommando il numero delle sedie e degli sgabelli, dobbiamo ottenere, e ce lo dice il problema, il numero 30, che e il totale dei posti a sedere. Se x è il numero delle sedie, 30-x sarà il numero degli sgabelli. E' infatti facile verificare che x+(30-x) = 30 (basta semplificare eliminando la x). Il problema ci dice che il numero totale dei piedi è 115; è attraverso il numero dei piedi che dobbiamo determinare quante sono le sedie e quanti gli sgabelli. Ora una sedia ha 4 piedi, poiché x indica il numero delle sedie, 4x (che si legge «quattro per x») indica il numero dei piedi delle sedie; se 30-x indica il numero degli sgabelli e uno sgabello ha tre piedi, 3x(30-x) indica il numero dei piedi degli sgabelli; la loro somma deve dare 115. Scriviamo allora 4x+3x(30-x) = 115: abbiamo sintetizzato il nostro problema in quella equazione.

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Eseguiamo ora le operazioni: 4x+90-3x = 115. Portiamo al primo membro tutte le espressioni contenenti l'incognita x, portando invece al secondo membro tutti quei termini che sono solo numerici: 4x-3x = 115-90. Eseguiamo le operazioni e otteniamo (4-3)x = 25, cioè 1x = 25, e quindi x = 25. Abbiamo così trovato il numero delle sedie. Per trovare il numero degli sgabelli, nell'espressione 30-x basta sostituire 25 al posto di x, ottenendo 30-25 = 5. Ci sono perciò 5 sgabelli.

Per provare che abbiamo trovato il risultato giusto, basta sostituire all'incognita il suo valore, cioè 25, nell'intera equazione. Si ha così: 4x25+3x(30-25) = 100+15 = 115. Il risultato è corretto.

Abbiamo proposto e risolto questo problema per illustrare il significato delle equazioni nel loro uso concreto. La ragione per cui la lettera x è chiamata incognita è ormai chiara. Infatti abbiamo visto che essa va determinata usando tutte le informazioni che il problema ci dà. I termini che non contengono l'incognita si dicono termini noti.

L'equazione da noi considerata è di primo grado: infatti per grado di un'equazione si intende l'esponente massimo col quale compare l'incognita. Nel nostro esempio era come se x fosse elevato all'esponente 1, cioè x¹= x.

Il valore assunto da x si chiama radice o soluzione dell'equazione.

Abbiamo visto che un'uguaglianza letterale era verificata per ogni valore numerico delle lettere; non è così per le equazioni e ora lo faremo vedere Se nella nostra equazione poniamo x = 1 l'uguaglianza non vale più: infatti 4+3x(30-1) = 91, e 91 è diverso da 115.

Risolviamo un'altra equazione, facendo osservare le proprietà che entrano in gioco. Trovare il valore di x per cui si abbia 2x-3 = 5-6x

1° Portiamo al primo membro i termini che contengono l'incognita e al secondo membro i termini noti. L'equazione diventa 2x+6x = 5+3

2° Riduciamo i termini. Si ottiene 8x = 8.

3° Dividiamo i due membri per lo stesso numero, cioè per il coefficiente dell'incognita. L'equazione diventa x = 8/8 = 1. Concludiamo che l'uguaglianza vale per x = 1, ovvero che la radice dell'equazione è 1.

                                   1         2
        Consideriamo l'equazione - - x + 4 = - x - 6.
                                   3         9

In essa figurano frazioni; allora si trova il m.c.m. dei denominatori, e si ha -3x+36/9 = -2x-54/9.

-^

A questo punto si applica la regola II, moltiplicando entrambi i membri per il m.c.m., che quindi sparisce. Questa operazione si chiama eliminazione del denominatore. Ora l'equazione è ridotta a un'equazione con coefficienti interi:-3x+36 = -2x-54, che diventa -x = -90.

A questo punto possiamo passare a calcolare il valore di x positivo, moltiplicando entrambi i membri per -1 in virtù della regola II e ricordando le regole sui segni. Concludiamo che x = 90. Per ultimo compiamo la verifica: -1/3x90+4 = -2/9x90-6, che, opportunamente semplificata, diventa -26 = -26.

Come coefficienti della x, in continuità con quanto abbiamo fatto a proposito delle espressioni, prendiamo elementi di Q, cioè i numeri razionali relativi; operando una restrizione, considereremo solo radici appartenenti a Q; vogliamo però qui accennare al fatto che ci sono equazioni a coefficienti razionali che non hanno radici razionali.

Le equazioni che ammettono soluzione si dicono determinate.

Ma non tutte le equazioni sono determinate. Consideriamo ad esempio 2x+4 = 2x(x+1). Essa diventa 2x+4 = 2x+2, cioè 2x-2x = 2-4, (2-2)x = -2, 0xx = -2, x = -2/0. Ora sappiamo che non esiste nessun numero che moltiplicato per 0 dia -2. Quindi una tale equazione si dice impossibile.

                                   7        1
   Consideriamo ancora l'equazione - x -4 = - *(x-6)+3x-1.
                                   2        2

Essa diventa successivamente 7x-8 = x-6+6x-2,(7-7)x = 8-8, cioè 0x = 0,x = 0/0. Questa equazione è indeterminata, poiché x può essere qualsiasi numero; infatti qualsiasi numero moltiplicato per 0 dà 0. Poiché l'uguaglianza è verificata per ogni valore di x, essa è un'identità. Infatti se eseguiamo le operazioni al secondo membro otteniamo

                       7         7
                       - x - 4 = - x - 4.
                       2         2

Consideriamo un ultimo caso. Trovare i valori di x per cui vale l'uguaglianza 5x+6 = 2x(x+3). Eseguendo le operazioni e portando nel primo membro l'incognita otteniamo 3x = 0, cioè x = 0/3. E' subito chiaro che l'unico valore di x per cui 3x = 0 è proprio 0. Infatti esiste un solo numero che moltiplicato per qualsiasi altro diverso da 0 dà 0, e quel numero è proprio lo 0.

Definizione di equazione di primo grado

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