Matematica I Numeri Naturali

 

 
    

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Matematica I Numeri Naturali

  

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Matematica I Numeri Naturali

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MATEMATICA - I NUMERI NATURALI

DEFINIZIONE DI «NUMERO NATURALE»

Cominceremo con quelli che storicamente sono stati chiamati numeri naturali. Essi sono 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, e tutti quelli che si possono ottenere mettendo insieme queste dieci cifre. Si dice anche che queste cifre sono la base della numerazione. Ma è proprio necessario avere queste dieci cifre per ottenere tutti i numeri naturali? Consideriamo per esempio un treno. Proviamo a contare i vagoni, iniziando dal primo; sotto scriviamo il numero 1; consideriamo ora il primo e il secondo e scriviamo sotto ognuno di essi ancora il numero 1, se facciamo la somma abbiamo 1+1 = 2. Nello stesso modo procediamo con gli altri vagoni, accostandone sempre uno nuovo: questo per noi vuol dire fare (1+1)+1 = 3, dove la parentesi serve a indicare che conosciamo già il risultato della somma 1+1; scriviamo allora: 2+1 = 3. Abbiamo così: 1; 1+1 = 2; (1+1)+1 = 2+1 = 3; (1+1+1)+1 = 3+1 = 4; e così via, se vogliamo considerare altri vagoni al di fuori di quelli disegnati. A partire da 1 abbiamo ottenuto via via 2, 3, 4; volendo, si può ottenere così ogni altro numero. Anche i numeri molto grandi, per esempio 1.950.628, possono essere ottenuti da 1 in questo modo, anche se ci sarebbe bisogno di moltissimo spazio... e di una pazienza quasi infinita. La nostra prima conclusione è quindi:

I. Ogni numero naturale è ottenuto da 1 aggiungendo successivamente 1.

Per capire meglio facciamo un esempio: 1,5 è un numero naturale? Per rispondere verifichiamo se può essere ottenuto da 1 aggiungendo successivamente 1. Ma 1+1 = 2, e 2 è sicuramente più grande di 1,5; da ciò concludiamo che 1,5 non è un numero naturale; è infatti un numero decimale. Facciamo un'altra osservazione importante che segue facilmente da quanto abbiamo detto:

II. Se a un qualunque numero naturale aggiungiamo 1 otteniamo ancora un numero naturale.

Infatti 5, poiché è ottenuto da 1 ponendo 5 = 1+1+1+1+1, è un numero naturale; per quanto abbiamo detto nel punto I, anche il numero 6 = 5+1 è un numero naturale, poiché è ottenuto aggiungendo successivamente 1.

Un numero naturale ottenuto aggiungendo 1 a un altro numero naturale si dice successore di quest'ultimo numero. Ad esempio: dato 10, formiamo il successore di 10, che sarà 10+1 = 11. Lo stesso numero 10 può essere visto come successore di 9, ponendo 9+1 = 10. Se approfondiamo quest'ultima osservazione e notiamo che il numero 2 può essere visto come successore di 1, il numero 3 come successore di 2, eccetera, possiamo concludere che ogni numero naturale è successore di un numero più piccolo.

Ma risulta vera proprio per tutti i numeri questa frase? Per la precisione: è vera per il numero 1? In altre parole: il numero 1 di che numero è successore? Se partiamo con 1 nel nostro processo di formare nuovi numeri, allora dobbiamo arrenderci e dire che 1 non è il successore di nessun numero, poiché in base al punto I abbiamo detto che ogni numero naturale è ottenuto da 1, senza spiegare da dove esso viene. Per fare in modo che anche 1 sia un successore, sia cioè ottenuto da un numero precedente aggiungendo 1, non ci rimane altra soluzione che quella di considerare anche lo zero come numero naturale: abbiamo allora 0+1 = 1, cioè 1 è il successore di zero. A questo punto si ripresenta lo stesso problema: 0 è il successore di qualche numero? La risposta è no, perché non c'è alcun numero naturale che, aumentato di 1, dia 0. Inoltre abbiamo bisogno di un inizio per partire nell'operazione di formare i numeri. Fissiamo questo punto dicendo che:

III. 0 non è il successore di alcun numero.

- Abbiamo appena visto che 0 è il numero iniziale da cui formare 1 e tutti gli altri. Esiste anche un numero finale, cioè l'ultimo numero naturale? Poniamoci la stessa domanda in un'altra forma: quanti sono i numeri naturali? Sappiamo che dato un numero naturale se ne può sempre formare un altro aggiungendo 1; anche immaginando un numero grandissimo, per esempio 19.683.345, se aggiungiamo 1 ne otteniamo uno ancora più grande, che è esso stesso numero naturale. La risposta è allora:

IV. I numeri naturali sono illimitati.

Questo vuol dire che non si può mai portare a termine il processo di aggiungere 1 a un numero dato. Può essere comodo rappresentare i numeri naturali su di una semiretta che comincia con zero e non ha mai fine.

Immediatamente alla destra di ogni numero c'è il suo successore. Solo lo 0 non è alla destra di nessun numero: il che vuol dire, come abbiamo detto in III, che 0 non è successore di alcun numero.

LE OPERAZIONI: LA SOMMA

Il padre di Rebecca, che fa il disegnatore di cartoni animati, realizza 5 fotogrammi gialli e altri 4 azzurri: quanti fotogrammi ha in tutto sul suo tavolo? Proviamo a ritagliare i disegni e ai 5 gialli aggiungiamo quelli azzurri, prendendoli uno per volta. Contiamo il nostro mazzetto ogni volta che aggiungiamo un nuovo fotogramma, fino a esaurire il mazzetto giallo: e vedremo alla fine che esso sarà formato da 9 disegni. Abbiamo eseguito così la somma 5+4, aggiungendo a 5 progressivamente una unità. Anche il risultato della somma, il numero 9, è un numero naturale, poiché è ottenuto da un numero dato (il 5) aggiungendo sempre 1. Possiamo dire che:

La somma è un'operazione che ci fa passare da due numeri naturali a un altro numero naturale.

Come ulteriori esempi: dati i due numeri 5 e 6, la loro somma è 5+6, cioè il numero 11; dati i due numeri 20 e 10, la loro somma è 20+10, cioè il numero 30. Per brevità scriviamo: 5+6 = 11; 20+10=30; 15+17 = 32. I numeri dati, di cui si deve fare la somma, sono detti addendi; così 5 e 6, 10 e 20, 15 e 17 sono gli addendi delle somme che abbiamo eseguito.

Per mettere in evidenza il fatto che la somma è un'operazione che ci fa «passare» da due numeri noti a un altro, possiamo indicare tra i segni [ ] i due addendi, e con una freccia sbarrata il passaggio; sopra la freccia scriviamo il segno della somma (+), per affermare che è il + che ci fa passare al risultato:

[5,6] +→ 5 + 6 oppure [5,6] +→ 11

[20,10] +→ 20 + 10 oppure [20,10] +→ 30

[15,17] +→ 15 + 17 oppure [15,17] +→ 32

La somma di più numeri non presenta difficoltà. Supponiamo che il padre di Rebecca disegni altre 8 vignette su fondo rosso: quanti fotogrammi si trovano ora sul suo tavolo? Per rispondere a questa domanda basta contare prima quelli gialli e azzurri, e poi contare i rossi: esprimendo con i numeri quello che abbiamo detto a parole, si ha 5+4+8 = (5+4)+8=9+8 = 17. In questo modo abbiamo ricondotto la somma di tre numeri alla somma di due usando le parentesi. Come abbiamo già detto, le parentesi servono a indicare qualcosa che si conosce già, oppure una operazione che va compiuta prima delle altre. Sommiamo ad esempio i tre numeri 5, 6, 11: 5+6+11 = (5+6)+11 = 11+11 = 22. Nello stesso modo ci comportiamo con somme di più di tre numeri. Ad esempio:

2+8+10+3 = [(2+8)+10]+3 = (10+10)+3 = 20+3 = 23

Le parentesi sono utili perché servono a dare un ordine di precedenza alle operazioni. Ma quando ci troviamo di fronte alla stessa operazione, come ci è successo prima, per fare il calcolo più in fretta basta sommare i numeri successivamente senza usare le parentesi.

Proprietà della somma. Rebecca mette in tasca prima quattro palline poi tre gomme, infine due monete da 1 Euro; quanti oggetti ha in tasca? La risposta è facile: basta fare la somma 4+3+2 = 9: ha in tasca 9 oggetti. Contiamo prima le palline e le gomme e poi le monete indicando questa precedenza con le parentesi: (4+3)+2 = 9. Cambia il risultato se contiamo le palline e poi aggiungiamo il risultato ottenuto contando le gomme e le monete? Indichiamo quest'altra precedenza così: 4+(3+2). Se eseguiamo le somme vediamo che il risultato è ancora 9. Si ha quindi che: (4+3)+2 = 4+(3+2). Questa proprietà dei numeri naturali si chiama proprietà associativa; cioè:

Cambiando il posto delle parentesi la somma di più numeri dà lo stesso risultato.

Consideriamo per esempio la somma 8+5+3+2. In quanti modi possono essere messe le parentesi?

primo modo (8+5)+(3+2)

secondo modo 8+(5+3)+2

terzo modo [8+(5+3)]+2

quarto modo 8+[(5+3)+2]

In tutti e quattro i casi sono indicate delle precedenze; nel primo: esegui prima la somma 8+5 e 3+2 e poi la somma totale; nel secondo esegui prima la somma 5+3; nel terzo: esegui prima la somma 8+(5+3); nel quarto: esegui prima la somma (5+3)+2. Verificate voi stessi che si ottiene sempre lo stesso risultato. Abbiamo adoperato la parentesi quadra per non confonderci con quelle tonde.

Abbiamo detto che la somma di più numeri si riduce alla somma di due numeri, usando le parentesi. Vediamo come ciò avviene, scrivendo tale somma come «passaggio».

Esempio: 8+5+1. Decidiamo di eseguire prima la somma di 8 e 5; indicando ciò con le parentesi abbiamo: (8+5)+1; le parentesi indicano che la somma compresa tra esse è stata fatta, quindi (8+5) è un numero, precisamente il numero 13. Usando il nostro modo di indicare il passaggio: [(8+5), 1] +→ (8+5)+1 = 14; oppure [13, 1] +→ 13+1 = 14. Così la somma di tre numeri è stata ridotta alla somma di due.

Già abbiamo visto che se ai fotogrammi gialli aggiungiamo quelli azzurri, eseguiamo la somma 5+4=9. Se ora procediamo al contrario, se cioè ai fotogrammi azzurri aggiungiamo quelli gialli, che risultato otteniamo? Facciamo l'operazione 4+5 = 9 e scopriamo che il risultato è lo stesso.

Questa importante proprietà dell'addizione si chiama proprietà commutativa:

Cambiando l'ordine degli addendi il risultato non cambia.

Possiamo ora rappresentare questo fatto con la nostra idea della somma come passaggio: [5,4] +→ 5+4 = 9 [4,5] +→ 4+5 = 9

Osserviamo che se cambio l'ordine (prima 5 poi 4, prima 4 poi 5) avviene che passiamo sempre allo stesso numero. La proprietà commutativa ha un'applicazione molto utile nel calcolo: come fare per essere sicuri che una certa somma sia giusta? Voi risponderete: basta contare gli oggetti. Ma se abbiamo somme con numeri molto grandi, ad esempio 1.528+306 = 1.834? Un metodo è di applicare la proprietà commutativa ed eseguire la somma cambiando l'ordine degli addendi: 306+1.528 = 1.834.

Se ai fotogrammi di Rebecca non aggiungiamo nulla, essi restano quanti erano; si ha cioè 5+0 = 5. Concludiamo che:

Se a un numero naturale qualunque aggiungiamo lo 0, si ottiene sempre il numero di partenza.

Trapani Definizione dell'operazione di addizione

Trapani Proprietà dell'addizione

IL PRODOTTO O MOLTIPLICAZIONE

Al padre di Rebecca ognuno dei suoi 5 disegni gialli è venuto a costare, tra carta, pennarello e tempo impiegato, 15 centesimi di Euro. Qual è stato il costo totale? Possiamo eseguire l'addizione: Euro cent. (15+15+15+15+15) = 75 Euro cent.

Facciamo un altro esempio. Se un mobile ha tre scaffali, e in ogni scaffale stanno 10 libri, quanti libri posso metterci? Anche qui eseguiamo l'addizione 10+10+10 = 30. In tutti e due i casi, invece di eseguire delle somme, dove tutti gli addendi sono uguali, potrei per brevità eseguire un'altra operazione, il prodotto o moltiplicazione. Nel primo caso, per conoscere la spesa totale, eseguo 500x5 = 2.500; nel secondo eseguo 10x3 = 30. Possiamo dire che:

Un prodotto è un'operazione che da due numeri naturali qualsiasi fa passare a un altro numero naturale.

Abbiamo definito il prodotto allo stesso modo della somma, ma esso agisce diversamente. Prendiamo per esempio i due numeri 5 e 6; la somma ci fa passare al numero 11 e rappresentiamo questo passaggio con una freccia: [5,6] +→ 11; il prodotto invece ci fa passare al numero 30; rappresentiamo anche questo passaggio con una freccia, sulla quale scriviamo il segno x al fine di distinguere le operazioni: [5,6] x→ 30. Riassumendo, prodotto e somma hanno in comune la caratteristica di farci passare, dati due numeri, a un altro; differiscono però per l'effetto del passaggio, poiché individuano numeri differenti. Nel prodotto 3x7 = 21, che possiamo anche rappresentare come [3,7] x→ 21, i due numeri 3 e 7 si chiamano fattori.

Proprietà del prodotto. Vogliamo ampliare la nostra biblioteca personale: compriamo allora un altro mobile uguale al precedente. in cui cioè possono trovare posto 10 libri per scaffale.

Quanti libri posso metterci? L'operazione da fare è molto semplice: 10x3x2 = 60. Ma posiamo ragionare in due modi differenti per arrivare allo stesso risultato, usando le parentesi. Poiché i mobili sono uguali e il primo conteneva 30 libri, posso fare (10x3)x2; oppure posso ragionare in termini di scaffali che ho a disposizione: se prima ne avevo 3, adesso ne ho 3x2 = 6. Poiché i in uno scaffale stanno 10 libri, eseguo il prodotto 10x(3x2) = 60. Anche per il prodotto si ha che 10x(3x2) = (10x3)x2; vale cioè la proprietà associativa:

Cambiando il posto delle parentesi il prodotto non cambia.

Consideriamo 10 donne al supermercato. Esse possono disporsi in 2 file di 5 donne ciascuna, oppure in 5 file di 2 ciascuna; in ogni caso restano sempre 10 donne. Coi numeri, questo vuol dire 5x2 = 2x5 = 10: anche il prodotto di numeri naturali gode cioè della proprietà commutativa.

Cambiando l'ordine dei fattori il prodotto non cambia.

Scritto col nostro modo di intendere l'operazione come passaggio, abbiamo: [5,2] x→ 5x2 = 10, [2,5] x→ 2x5 = 10.

E' chiaro che se non abbiamo libri da mettere negli scaffali, il numero totale dei libri è 0; infatti 0x3 = 3x0 = 0. Abbiamo che:

Se uno dei fattori di un prodotto è 0, l'intero prodotto è uguale a 0.

Questa proprietà si chiama principio di annullamento del prodotto.

Il prodotto 3x6x2x0 dà come risultato 0, il che si vede subito usando le parentesi, in modo da ottenere 36x0 = 0. Invece notiamo: 5x1 = 5, 1x7 = 7.

Moltiplicando per 1 qualsiasi numero naturale, si ottiene sempre quel numero naturale.

Il numero 1 si comporta, rispetto al prodotto, come il numero 0 si comportava rispetto alla somma: entrambi, nelle rispettive operazioni, lasciano immutato il numero. Per questo motivo 1 viene detto elemento neutro rispetto al prodotto, mentre 0 è detto elemento neutro rispetto alla somma. «Neutro» vuol dire, appunto, che non ha influsso sul numero. Col nostro modo di scrivere le operazioni, «neutro» significa che non si compie alcun passaggio:

[5,1] x→ 5x1 = 5; [6+0] +→ 6+0 = 6

C'è infine un'ultima proprietà che mette in rapporto la somma con il prodotto. Possiamo disporre 21 fiammiferi in due modi diversi: o formiamo 7 file di 3 fiammiferi ciascuna, tenendo conto che 7 è uguale a 5+2; oppure formiamo prima un gruppo di 6 fiammiferi, disponendoli in file di 3 fiammiferi l'una, poi un secondo gruppo di 15 fiammiferi disposti in 5 file sempre di 3 fiammiferi l'una. Ciò equivale a scrivere in numeri: 3x(5+2) nel primo modo, e 3x2+3x5 nel secondo. Otteniamo sempre lo stesso numero, 21 fiammiferi. Arriviamo così alla proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma:

Il prodotto di un numero per la somma di altri due o più numeri è uguale alla somma del prodotto del numero per ciascuno degli addendi.

Facciamo osservare che nell'esempio di sopra il 3 può essere scritto anche alla destra della somma, poiché il prodotto gode della proprietà commutativa e quindi il risultato non cambia. Abbiamo infatti (5+2)x3 = 5x3+ 2x3 = 15+6 = 21.

Abbiamo visto due modi per agire sui numeri naturali, ottenendo ancora numeri naturali, e li abbiamo chiamati somma e prodotto. Prima di vederne altri, chiediamoci quando due numeri sono uguali e disuguali.

Trapani Definizione di moltiplicazione

Trapani Proprietà della moltiplicazione

UGUAGLIANZA E DISUGUAGLIANZA

In una fabbrica di automobili si ha a disposizione un certo numero di paraurti da attaccare uno per uno a ciascuna vettura. Nella prima catena di montaggio, ogni paraurti va su una carrozzeria e a ogni carrozzeria corrisponde esattamente un paraurti; concludiamo che il numero dei paraurti è uguale al numero delle carrozzerie: p = c. Nella seconda catena, resta una vettura su cui non va nessun paraurti, perché il numero dei paraurti è più piccolo del numero delle carrozzerie. Indichiamo questo fatto scrivendo p c, dove il segno si legge «minore di». Infine, nella terza catena di montaggio, c'è un paraurti che non va montato su nessuna vettura, dal momento che tutte le carrozzerie ne sono già dotate; il numero dei paraurti è cioè più grande del numero delle carrozzerie: p > c, dove il segno > si legge «maggiore di». Nel nostro esempio non abbiamo fatto menzione di numeri. Volendo stabilire un criterio per riconoscere, dati due numeri, qual è il maggiore o il minore, affermiamo che:

Dati due numeri naturali a e b, diciamo che a > b se esiste un numero naturale c che addizionato a b dà a; vogliamo cioè un c tale che a = b + c.

Così ad esempio 8 > 4; infatti esiste un numero naturale, il 4, tale che 4+4 = 8; 10 > 7, poiché esiste un numero naturale, il 3, tale che 7+3 = 10.
Abbiamo usato la lettera p per indicare il numero dei paraurti, c per indicare il numero delle carrozzerie, a, b, c, per indicare numeri naturali qualsiasi. In aritmetica possiamo sempre seguire un procedimento del genere, usare le lettere al posto dei numeri, quando non è necessario parlare di numeri particolari, ma le proprietà che si enunciano valgono per tutti i numeri. Ad esempio, le proprietà della somma e del prodotto possono essere scritte senza riferimento a particolari numeri, ma per numeri qualunque usando le lettere. Abbiamo allora il seguente quadro riassuntivo:


                        Proprietà della        Proprietà del
                             somma               prodotto
+----------------------------------------------------------------+
¦ Associatività     ¦  (a+b)+c = a+(b+c)  ¦  (a¦b)¦c = a¦(b¦c)   ¦
+-------------------+---------------------+----------------------¦
¦ Commutatività     ¦  a+b = b+a          ¦  a¦b = b¦a           ¦
+-------------------+---------------------+----------------------¦
¦ Distributività    ¦                     ¦  a¦(b+c) = a¦b+a¦c   ¦
+-------------------+---------------------+----------------------¦
¦ Elemento neutro   ¦  a + 0 = a          ¦  1¦a = a             ¦
+-------------------+---------------------+----------------------¦
¦ Annullamento      ¦                     ¦  a¦0 = 0             ¦
¦ del prodotto      ¦                     ¦                      ¦
+----------------------------------------------------------------+

Abbiamo rappresentato i numeri naturali sulla semiretta che inizia con 0 e non ha mai fine. Poniamoci qualche domanda: 0 è maggiore di qualche numero? Vediamo subito che la risposta è no; infatti 0 non è preceduto da alcun numero. Invece possiamo dire che ogni numero naturale è maggiore di 0: posto infatti n > 0, esiste sempre un numero naturale, n stesso, tale che n+0 = n. Consideriamo il numero 2; ci sono numeri naturali minori di 2? Sì, essi sono 0 e 1. Ma ci sono anche altri numeri, quelli a destra di 2, che sono tutti maggiori di 2. Riusciamo a contarli? Ricordando che i numeri naturali sono illimitati, la risposta è no. Come ultima osservazione, notiamo che:

Dati due qualsiasi numeri naturali possiamo sempre decidere se essi sono uguali o quale dei due è maggiore dell'altro.

In questo consiste la proprietà dell'ordinamento totale.

LA SOTTRAZIONE

Passiamo a un'altra operazione tra numeri naturali. Ho disposto i 30 libri negli scaffali. Ne tolgo 5 per consultarli: quanti libri restano nella libreria? Eseguo la sottrazione 30-5 = 25. Il primo termine della sottrazione, il numero 30, si dice minuendo, il secondo, il numero 5, si dice sottraendo. Possiamo affermare che:

Si dice differenza tra due numeri quel numero che, addizionato al sottraendo, dà il minuendo.

Anche la sottrazione è un'operazione che ci fa passare da due numeri naturali a un altro. Poniamoci però questa domanda: la differenza fra due numeri naturali è sempre un numero naturale? Ad esempio: si può eseguire la sottrazione 5-10 e ottenere come risultato un numero naturale? 5-10 fa -5, e sicuramente -5 non è un numero naturale, poiché i numeri naturali non sono preceduti da nessun segno. Lo stesso ragionamento vale per 3-6 = -3, 10-11 = -1; casi in cui, benché sottraendo e minuendo siano numeri naturali, non lo è la loro differenza. Per eseguire la sottrazione dobbiamo agire con cautela, se vogliamo che anche la differenza sia un numero naturale. Diciamo allora che:

La sottrazione ci fa passare da due numeri naturali a un altro numero naturale se il minuendo è uguale o maggiore del sottraendo.

Scritto nella forma di «passaggio» e usando le lettere, si ha:

[a,b] - → a-b se a > b oppure a = b. Così, in particolare, [30,10] - → 30-10 = 20; infatti 30 > 10; ma [5,10] - → 5-10 non si può eseguire, poiché 5 10; si può invece eseguire [9,9] - → 9-9 = 0, poiché 9 = 9.

Proprietà della sottrazione. Si capisce subito, per la condizione che abbiamo posto affinché sia possibile eseguire la sottrazione tra due numeri naturali, che la proprietà commutativa non vale. Infatti 5-3 = 2 poiché 5 > 3; ma l'operazione 3-5 non può essere eseguita, poiché 3 5; otterremo infatti -2 che, oltre a essere diverso da 2 non è neppure un numero naturale. Neppure la proprietà associativa vale per la sottrazione. Infatti 10-(5-3) = 10-2 = 8, mentre (10-5)-3 = 5-3 = 2. Tratteremo meglio in seguito le difficoltà suscitate dalla sottrazione; per ora limitiamoci a dire che l'unica proprietà di cui essa gode è quella invariantiva. Consideriamo questi esempi: 5-2 = 3, (5+1)-(2+1) = 3, (5+2)-(2+2) = 3; in generale, usando la lettera n per indicare un qualunque numero naturale, (5+n)-(2+n) = 3. Concludiamo che:

La differenza di due numeri non cambia se aggiungiamo lo stesso numero sia al sottraendo sia al minuendo.

Scritta con una formula, questa proprietà è: se a > b, allora

a-b = (a+n)-(b+n)

NOTA. Il numero 0 si comporta rispetto alla sottrazione come si comportava rispetto alla somma, lasciando immutato il numero da cui lo si sottrae. Abbiamo così in generale: [a,0] - → a-0 = a, e in particolare: [4,0] - → 4-0 = 4.

Trapani Definizione di sottrazione

Trapani Proprietà della sottrazione

NUMERI PARI E NUMERI DISPARI. LA DIVISIONE

I numeri naturali possono essere divisi in due grandi gruppi: i numeri pari e i numeri dispari. Come si può riconoscere, dato un numero naturale qualsiasi, se esso è pari o dispari? E' molto semplice, in base a questa definizione:

0, 2, 4, 6, 8 sono numeri pari; ogni altro numero n la cui ultima cifra è uno dei numeri elencati prima, è pari. Tutti gli altri sono dispari.

Chiediamoci: 3.718 è pari o dispari? Osserviamo la sua ultima cifra, che è 8; ora, 8 è pari per definizione: quindi l'intero numero è pari. Nello stesso modo possiamo decidere che 913 e un numero dispari.
Esempio. Marco ha ricevuto in dono 6 missili, che possono essere montati per il trasporto e per il lancio su camion in grado di portarne ciascuno 2, su 2 rampe di lancio. Nessuno però gli ha donato i camion. Quanti ne dovrà comprare perché tutti i missili siano montati sulle rampe? Eseguiamo la divisione 6:2 = 3.

Conoscerete senz'altro il gioco del Monopoli. Un giocatore molto fortunato è riuscito ad ottenere i due terreni viola, e ora vuole costruire delle case. Egli può spendere Euro 100; tenendo conto che una casa costa 20 Euro, quante case può comprare? Eseguiamo ancora la divisione 100:20 = 5. Diciamo allora che:

La divisione è un'operazione che fa passare da due numeri a un terzo, che indica quante volte il secondo numero è contenuto nel primo.

Essa può essere indicata, usando le lettere, così: a:b = c, oppure [a,b] :→ a:b = c. Il numero scritto a sinistra del segno di divisione si chiama dividendo, quello scritto a destra divisore, il risultato dell'operazione si chiama quoziente completo o quoto. Poniamoci subito una domanda: se noi prendiamo due numeri naturali qualsiasi, possiamo sempre eseguire la divisione ottenendo un numero naturale? 5:3 = 1,6666... che non è certo un numero naturale; quindi la risposta è no: anche la divisione, come la sottrazione, non è sempre eseguibile fra numeri naturali. Per questo motivo rimandiamo il suo studio a un momento in cui saremo in grado di eseguirla senza difficoltà, quando cioè conosceremo nuovi tipi di numeri.

Prendiamo in esame la divisione 12:3 = 4. Il numero 4 è il quoto della divisione. Per verificare che la divisione è giusta dobbiamo provare che:

ll prodotto del quoto per il divisore dà il dividendo.

Infatti 4x3 = 12. Ma non sempre ci troviamo in queste felici condizioni; se ad esempio proviamo a dividere 5 per 2 (5 caramelle tra due bambini), vediamo che la divisione è incompleta, poiché resta una caramella da dividere ulteriormente: 5:2 = 2 con resto 1. La prova dell'esattezza della divisione deve quindi tener conto del resto. Diciamo allora che:

Il prodotto del quoziente per il divisore, con l'aggiunta del resto, dà il dividendo.

Usando le lettere, la prova della divisione a:b = q con resto r consiste nel verificare se a = qxb+r.

Siamo ora in grado di decidere più rapidamente se un numero e pari o dispari. Un numero naturale è pari se esso è divisibile per 2 e la divisione non ha resto. Altrimenti il numero è dispari. Ad esempio 191 è dispari, poiché 191:2 = 95 con resto 1; invece 50 è pari.

Vediamo ora alcuni casi particolari della divisione. Proviamo a eseguire 6:0; si tratta cioè di trovare un numero naturale che, moltiplicato per 0 (il divisore) dà 6 (il dividendo). Ma noi sappiamo che il prodotto di qualsiasi numero naturale per 0 dà sempre 0. Concludiamo che non esiste alcun numero che moltiplicato per 0 dia 6. Si dice che la divisione è impossibile. La prima cosa di cui assicurarsi prima di eseguire una divisione è quindi che il divisore sia diverso da 0.

Proviamo ora a eseguire 0:2. Si tratta di trovare un numero che moltiplicato per 2 dia 0, e sappiamo che tale numero può essere solo lo stesso 0. Il risultato della divisione è quindi 0.

Calcoliamo infine 0:0. Anche qui si tratta di trovare un numero che, moltiplicato per 0, dia 0. Ora, ogni numero moltiplicato per 0 dà 0. Il risultato di tale divisione può essere perciò qualsiasi numero; in altre parole, si tratta di una divisione indeterminata.

La divisione di qualsiasi numero per 1 dà il numero di partenza. Così 6:1 = 6, e in genere, per ogni numero naturale a, a:1 = a. Quindi 1 si comporta rispetto alla divisione come si comporta rispetto al prodotto, lasciando immutato il numero di cui è il divisore.

Trapani Definizione di divisione

ELEVAMENTO A POTENZA

La geometria ci insegna che l'area del quadrato è axa, dove a è la lunghezza del lato. Scrivendo in modo abbreviato, axa = a2 che si legge «a al quadrato» oppure «a elevato alla seconda». Sempre in geometria, il volume del cubo si calcola elevando alla terza la lunghezza dello spigolo a, V cubo = axaxa = a3 .

Si chiama potenza n-esima (leggi «ennesima») di un numero il prodotto di fattori uguali a quel numero.

Ad esempio la potenza terza di 2 è 2x2x2 = 23 = 8; la potenza quarta di 2 è 2x2x2x2 = 24 = 16; ecc.

Risolviamo questo semplice problema: vogliamo disporre in 3 vasi ogni giorno 3 fiori per 3 giorni, quanti fiori avrò acquistato al terzo giorno? Il primo giorno acquisto 3+3+3 = 9 fiori; il secondo ancora 3+3+3 = 9 fiori; il terzo giorno infine 3+3+3 = 9 fiori. Ma noi sappiamo che 3+3+3 si scrive semplicemente come 3x3 = 32 , e questo risultato va moltiplicato per 3 che sono i giorni. Abbiamo allora 32 x3 = 33 = 27. I fiori acquistati sono dunque 27.

Nella potenza 23 il numero 2 si chiama base, il numero 3 esponente.

L'elevamento a potenza è un'operazione che ci fa passare da due numeri naturali a un altro numero naturale. Se indichiamo con la lettera e questa operazione, possiamo rappresentarla così:

[5,2] e→ 52 = 25 e in genere [a,n] e→ an ;

il primo numero rappresenta la base, il secondo l'esponente. Esaminiamo ora alcuni casi particolari di elevamento a potenza.

I. Una potenza di base 0 è uguale a 0, quale che sia il suo esponente purché diverso da 0.

Infatti: 02 = 0x0 = 0,0n = 0x0 = n volte = 0. Escludiamo però il caso n = 0, come vedremo.

II. Una potenza di base 1 è sempre uguale a 1.

Infatti 12 = 1x1 = 1,1n = 1x1 tante volte quante ogni numero naturale n.

III. Una potenza di esponente 1 è sempre uguale alla base.

Così 31 = 3, e in generale a1 = a, per ogni a.

IV. Una potenza di base 10 è uguale all'unità seguita da tanti zeri quante sono le unità dell'esponente.

Così abbiamo: 102 = 10x10=100; 104 = 10x10x10x10 = 10000; ecc.

V. Una potenza, la cui base è un qualunque numero naturale a > 0, e il cui esponente è 0, è sempre uguale a 1.

Accettiamo quest'ultima proprietà come una definizione, rimandando a dopo la spiegazione.

Allo scopo di semplificare i nostri calcoli, esamineremo ora altre proprietà delle potenze. Vediamo prima il caso in cui abbiamo a che fare con potenze di ugual base. Calcoliamo ad esempio il prodotto 32 x33 . Ricordando che la potenza è una moltiplicazione abbreviata, scriviamo (3x3)x(3x3x3) = 35 . Poiché 2 + 3 = 5. concludiamo 32 x33 = 32+3 = 35 . Diciamo perciò:

VI. Il prodotto di due o più potenze aventi la stessa base è uguale alla potenza che ha la stessa base e per esponente la somma degli esponenti.

Eseguiamo ora la divisione tra potenze di ugual base: 64 : 62 . Si tratta di trovare un numero che, moltiplicato per 62 , dia 64 ; in base alla proprietà VI, individuiamo tale numero in 62 . Ma 2 = 4-2, quindi 64 : 62 = 64-2 = 62 , da cui concludiamo:

VII. Il quoziente di potenze con la stessa base è la potenza che ha come base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti.

Bisogna fare attenzione che l'esponente del dividendo sia maggiore o uguale all'esponente del divisore, altrimenti ci troveremmo in situazioni come questa: 73 : 75 = 73-5 = 7-2 ; abbiamo cioè una potenza con esponente negativo, mentre i soli numeri che per ora conosciamo sono i numeri naturali.

Una potenza e un numero: supponiamo ora di voler elevare tale numero al quadrato, al cubo o a qualsiasi esponente. Consideriamo ad esempio la potenza 32 ed eleviamola al quadrato: (32 )2 ; questa espressione si chiama potenza di una potenza, poiché la sua base è una potenza. Tuttavia non ci sono novità nel calcolo. Infatti:

(32 )2 = 32 x 32 = (3x3)x(3x3) = 34 , (32 )3 = 32 x 32 x 32 = (3x3)x(3x3)x(3x3) = 36 , e così via per ogni esponente. I risultati ottenuti suggeriscono che (32 )2 = 32x2 = 34 , (32 )3 = 32x3 = 36 ; per cui:

VIII. La potenza di una potenza è ancora una potenza che ha per base la base della primitiva potenza e per esponente il prodotto degli esponenti

Consideriamo ora il caso in cui le potenze hanno ugual esponente e basi diverse. Vogliamo eseguire il calcolo 62 x 32 x 42 . Per come abbiamo definito le potenze di un numero, abbiamo (6x6)x(3x3)x(4x4); applicando successivamente le proprietà associativa e commutativa otteniamo: (6x3x4)x(6x3x4), che è uguale a (6x3x4)2 . Concludiamo:

IX. Il prodotto di potenze di ugual esponente è la potenza che ha per base il prodotto delle basi e per esponente lo stesso esponente.

Poiché il risultato appena ottenuto si può scrivere 62 x 32 x 42 = (6x3x4)2 , e poiché vale l'uguaglianza anche da destra a sinistra, diciamo:

X. La potenza di un prodotto è uguale al prodotto delle potenze dei singoli fattori con ugual esponente.

Calcoliamo ora 62 :32 = 36:9 = 4 = 22 = (6:3)2 ; da ciò concludiamo:

XI. Il quoto di due potenze aventi lo stesso esponente è uguale alla potenza che ha lo stesso esponente e come base il quoto delle basi.

XII. Stabiliamo che il simbolo 00 non ha alcun significato.

Nella tabella seguente sono riportate tutte le proprietà delle potenze finora studiate. Nella proprietà V abbiamo escluso volutamente il caso in cui la base può essere 0, per non ottenere il simbolo 00 , che per noi non ha significato, come abbiamo convenuto nella proprietà XII. Per gli stessi motivi abbiamo posto nella proprietà I la condizione che l'esponente sia diverso da 0. Se non prendessimo questi accorgimenti, arriveremmo alla seguente conclusione: per la proprietà I, senza la condizione, 00 = 0; per la proprietà V, senza la condizione, 00 = 1: per cui avremmo che 0 e 1, essendo uguali alla stessa quantità (cioè a 00 , sono uguali tra loro, 1 = 0, il che è chiaramente falso.


+----------------------------------------------------------------+
¦ Diamo una tabella riassuntiva delle proprietà delle potenze.   ¦
¦ Le lettere che figurano o come basi o come esponenti delle     ¦
¦ potenze rappresentano numeri qualunque, con le limitazioni che ¦
¦ abbiamo usato nel testo.                                       ¦
+----------------------------------------------------------------¦
¦ 0(esp.n) = 0    per n > 0     ¦ a(esp.n)¦a(esp.m)=a(esp.n+m)   ¦
+-------------------------------+--------------------------------¦
¦ 1(esp.n) = 1                  ¦ a(esp.n):a(esp.m)=a(esp.n-m)   ¦
+-------------------------------+--------------------------------¦
¦ a(esp.1) = a                  ¦ (a(esp.n))(esp.m)=a(esp.n¦m)   ¦
+-------------------------------+--------------------------------¦
¦ 10(esp.n) = l'unità seguita da¦ a(esp.n)¦b(esp.n)=(a¦b)(esp.n) ¦
¦             n zeri            ¦                                ¦
+-------------------------------+--------------------------------¦
¦ a(esp.0) = 1    per a > 0     ¦a(esp.n):b(esp.n)=(a:b)(esp.n)  ¦
+----------------------------------------------------------------+

Le potenze di base 10 sono molto utili nelle misurazioni scientifiche, in tutti i rami della scienza; esse servono a esprimere in modo sintetico numeri che scritti per esteso sarebbero lunghissimi. Ad esempio sappiamo che la distanza della Terra dal Sole è di 150.000.000 Km; più sinteticamente si può scrivere 15x107 Km.

Trapani Definizione di potenza

Trapani Proprietà delle potenze

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RADICE QUADRATA E CUBICA

Dalla geometria sappiamo come calcolare la lunghezza del lato di un quadrato, una volta che conosciamo l'area applicando la formula inversa. Così se l'area di un quadrato è di 9 m2 , la lunghezza del lato è √9 . Perché questa formula si chiama formula inversa? Cerchiamo di capirlo. Abbiamo detto che elevare un numero al quadrato vuol dire moltiplicarlo per se stesso. Immaginiamo ora di risolvere il problema inverso: dato un numero a, cercare un numero b tale che moltiplicato per se stesso dia a, cioè a = b2 . In particolare 25 = 52 , 36 = 62 , ecc. Questa operazione si chiama estrazione della radice quadrata, e si indica col segno √ così √25 = 5, √81 = 9. Il segno √si chiama segno di radice, il numero scritto sotto si dice radicando, il risultato dell'operazione si chiama radice. Quando scriviamo √36 è come se scrivessimo 2√ 36, poiché cerchiamo un numero che elevato al quadrato dà 36.

Risolviamo quest'altro problema: dato il volume del cubo, trovare la lunghezza di uno spigolo. Si tratta cioè di trovare un numero che, elevato alla terza, dia il volume, cioè s = 3√ V. Si ha:

La radice cubica di un numero a è un numero b che elevato al cubo dà a, 3√ a = b.

Col nostro modo di rappresentare le operazioni indichiamo l'estrazione di radice quadrata o cubica cosi: [a,2] √→ 2√ a, e [a,3] √→3√ a. Il primo numero scritto tra i segni [] è il radicando, il secondo numero (2 oppure 3) indica se la radice è quadrata o cubica. Osserviamo che se prendiamo un qualsiasi numero naturale e ne estraiamo la radice quadrata o cubica, non otteniamo sempre un numero naturale. Per convincercene basta prendere la tavola aritmetica raffigurata qui sotto, dove sono riportate le radici quadrate e cubiche dei primi 30 numeri naturali. In corrispondenza del numero 5, ad esempio, abbiamo che 2√ 5 = 2,2361, 3√ 5 = 1,7100: si tratta, ovviamente, di numeri non naturali.

Trapani Definizione ed estrazione di radice quadrata

Trapani Definizione di radice cubica


+-------------------------------------------------------------+
¦ Nella tabella sono riportate le radici quadrate  e le       ¦
¦     radici cubiche dei primi 30 numeri naturali.            ¦
+-------------------------------------------------------------¦
¦   n    ¦    ¹     ¦ (esp.3)¹ ¦   n    ¦     ²¹   ¦ (esp.3)¹ ¦
+--------+----------+----------+--------+----------+----------¦
¦   1    ¦  1,0000  ¦  1,0000  ¦   16   ¦  4,0000  ¦  2,5198  ¦
¦   2    ¦  1,4142  ¦  1,2599  ¦   17   ¦  4,1231  ¦  2,5713  ¦
¦   3    ¦  1,7321  ¦  1,4422  ¦   18   ¦  4,2426  ¦  2,6207  ¦
¦   4    ¦  2,0000  ¦  1,5874  ¦   19   ¦  4,3589  ¦  2,6684  ¦
¦   5    ¦  2,2361  ¦  1,7100  ¦   20   ¦  4,4721  ¦  2,7144  ¦
¦   6    ¦  2,4495  ¦  1,8171  ¦   21   ¦  4,5826  ¦  2,7589  ¦
¦   7    ¦  2,6458  ¦  1,9129  ¦   22   ¦  4,6904  ¦  2,8020  ¦
¦   8    ¦  2,8284  ¦  2,0000  ¦   23   ¦  4,7958  ¦  2,8439  ¦
¦   9    ¦  3,0000  ¦  2,0801  ¦   24   ¦  4,8990  ¦  2,8845  ¦
¦  10    ¦  3,1623  ¦  2,1544  ¦   25   ¦  5,0000  ¦  2,9240  ¦
¦  11    ¦  3,3166  ¦  2,2240  ¦   26   ¦  5,0990  ¦  2,9625  ¦
¦  12    ¦  3,4641  ¦  2,2894  ¦   27   ¦  5,1962  ¦  3,0000  ¦
¦  13    ¦  3,6056  ¦  2,3513  ¦   28   ¦  5,2915  ¦  3,0366  ¦
¦  14    ¦  3,7417  ¦  2,4101  ¦   29   ¦  5,3852  ¦  3,0723  ¦
¦  15    ¦  3,8730  ¦  2,4662  ¦   30   ¦  5,4772  ¦  3,1072  ¦
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