Informatica Sistemi di Numerazione

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INFORMATICA - SISTEMI DI NUMERAZIONE

     













Matematica - SISTEMI DI NUMERAZIONE

SISTEMI DI NUMERAZIONE DIVERSI

Un sistema di numerazione è un insieme di simboli, ciascuno dei quali rappresenta una cifra, con cui si possono eseguire le operazioni aritmetiche seguendo determinate regole. Il sistema di numerazione che utilizziamo abitualmente è il sistema di numerazione decimale; le cifre dei sistema decimale sono i simboli 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9. Il fatto che i simboli siano 10 e siano rappresentati da questi simboli è puramente convenzionale (si potrebbe usare qualsiasi altro numero di cifre, rappresentate da simboli di tipo qualsiasi); la scelta si deve molto probabilmente alla comodità di poter contare sulle 10 dita, seguendo questo sistema di numerazione. Il sistema di numerazione usato per rappresentare i numeri (e non solo quelli) all'interno del computer è il sistema di numerazione binario che comprende due sole cifre rappresentate dai simboli 0 e 1. La scelta del sistema di numerazione binario per la rappresentazione dei dati nel computer si deve al fatto che è molto più semplice rappresentare due cifre con valori di corrente o tensione o carica magnetica che non dieci. Ogni cifra è rappresentata appunto da una certa intensità di corrente o carica magnetica o da un valore di tensione elettrica; è molto più semplice utilizzare due valori di intensità (per esempio una carica magnetica c'è oppure no, una corrente passa oppure no) che non dieci gradi diversi di intensità. Esistono comunque sistemi di numerazione che utilizzano qualsiasi numero di cifre (per esempio 3 cifre o 5 cifre). Il numero di cifre utilizzato viene chiamato base del sistema di numerazione; per esempio il sistema decimale è un sistema di numerazione in base 10, il sistema binario è un sistema di numerazione in base 2, un sistema di numerazione che utilizzi 5 cifre è in base 5 ecc. Più piccola è la base, e quindi minore il numero di cifre disponibili, e più cifre servono per rappresentare lo stesso numero; per esempio per scrivere il numero 26 occorrono 2 cifre nel sistema di numerazione decimale ma ben 5 nel sistema di numerazione binario (26 nel sistema di numerazione binario è rappresentato dal numero 11010, che non si legge undicimila e dieci bensì uno, uno, zero, uno, zero). Poiché ricordare una lunga serie di simboli uno e zero per le persone è molto più difficile che per il computer spesso i numeri del sistema di numerazione binario vengono trasformati in numeri del sistema di numerazione esadecimale che risultano più brevi e quindi più semplici da trattare. Il sistema di numerazione esadecimale utilizza 16 cifre rappresentate dai simboli 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F; le prime dieci cifre sono le stesse del sistema di numerazione decimale, le cifre da 10 a 15 sono rappresentate dalle lettere maiuscole dell'alfabeto A B C D E F; quindi A rappresenta il valore 10, B il valore 11, C il valore 12, D il valore 13, E il valore 14, F il valore 15.

VALORE DI UN NUMERO IN SISTEMI DI NUMERAZIONE DIVERSI

Quando si parla di un numero bisogna precisare a quale sistema di numerazione ci si riferisce; lo stesso numero (per esempio 10) ha valori molto diversi secondo il sistema di numerazione che si considera. Nel sistema di numerazione decimale 10 ha il valore dieci, che conoscete da sempre; nel sistema di numerazione binario 10 (da leggere uno, zero) ha il valore due; nel sistema di numerazione esadecimale 10 (da leggere ancora uno, zero) ha il valore 16. Alcuni numeri però saranno validi solo in un sistema di numerazione e non in un altro; per esempio il numero 35 è valido nel sistema di numerazione decimale e in quello esadecimale (con un valore diverso per i due sistemi di numerazione) ma non nel sistema di numerazione binario perché le cifre 3 e 5 nel sistema di numerazione binario non esistono. Poiché scrivere un numero senza precisare a quale base si fa riferimento potrebbe causare molta confusione è utile dire sempre esplicitamente quale base si considera. Nel seguito del capitolo ogni numero verrà racchiuso tra parentesi tonde, indicando di seguito un indice con il valore della base del sistema di numerazione. Per esempio (10)10 significa dieci nel sistema di numerazione decimale, (10)2 significa uno, zero nel sistema di numerazione binario, (10)16 significa uno, zero, nel sistema di numerazione esadecimale.

SISTEMI DI NUMERAZIONE POSIZIONALI

Questi sistemi di numerazione hanno in comune una caratteristica molto importante: sono sistemi di numerazione posizionali. Dire che un sistema di numerazione è posizionale significa che ogni cifra assume un valore diverso in base alla posizione che occupa; per esempio la cifra 1 ha un valore diverso se occupa la prima o la seconda o la terza posizione in ciascuno dei sistemi di numerazione che stiamo considerando. Nel sistema di numerazione decimale il simbolo 1 utilizzato come prima cifra a destra ha il significato di una unità; utilizzato come seconda cifra ha il significato di una decina,; utilizzato come terza cifra ha il significato di un centinaio. E così per tutte le altre cifre e per tutte le altre posizioni: il numero 583 rappresenta 3 unità, 8 decine, 5 centinaia; il numero 32742 rappresenta 2 unità 4 decine, 7 centinaia, 2 migliaia e 3 decine di migliaia ecc. Se una stessa cifra compare più volte in un numero assume significati diversi in base alla posizione: nel numero 444 il valore 4 rappresenta unità decine o centinaia in base alla posizione considerata. E' da notare che ogni volta che ci si sposta di una posizione verso sinistra il valore della cifra aumenta di un valore dieci (cioè viene moltiplicata per dieci ogni volta); nel numero 444 il primo 4 a destra ha valore quattro, il 4 che occupa la posizione centrale ha valore 4 x 10, cioè quaranta, il 4 più a sinistra ha valore 4 x 10 x 10, cioè quattrocento. Più in generale si può dire in qualsiasi sistema di numerazione posizionale che il valore di ogni cifra viene moltiplicato per il valore della base ogni volta che ci si sposta a sinistra di una cifra. Così nel numero 111 del sistema di numerazione binario la cifra 1 più a destra rappresenta il valore uno, la cifra 1 che occupa la posizione centrale ha valore 1 x 2, cioè due, la cifra 1 più a sinistra ha valore 1 x 2 x 2, cioè quattro. Nel numero 111 del sistema di numerazione esadecimale la cifra 1 più a destra ha il valore uno, la cifra 1 al centro ha il valore 1 x 16, cioè sedici, la cifra 1 più a sinistra ha il valore 1 x 16 x 16 cioè duecentocinquantasei.

SISTEMI DI NUMERAZIONE NON POSIZIONALI

Non tutti i sistemi di numerazione sono posizionali; gli antichi romani per esempio adottavno un sistema di numerazione un po' particolare. I simboli disponibili per rappresentare le cifre nel sistema romano sono: I rappresenta il valore uno X rappresenta il valore dieci L rappresenta il valore cinquanta C rappresenta il valore cento D rappresenta il valore cinquecento M rappresenta il valore mille Il numero 326 per esempio viene rappresentato come CCCXXVI: le tre C rappresentano 300, le due X rappresentano 20, la V il 5 e la I rappresenta 1; il valore finale si ottiene dalla somma 300 + 20 + 5 + 1. Alcune cifre possono venire interpretate in modo diverso in base alla posizione ma non nel significato visto per i sistemi di numerazione posizionali. Nel sistema di numerazione romano un simbolo con valore più piccolo posto alla sinistra di uno con valore maggiore significa che il valore deve essere sottratto e non sommato. Per esempio IX significa che il valore 1 di I deve essere sottratto dal valore 10 di X, e quindi IX rappresenta il numero 9; CM significa che il valore 100 di C deve essere sottratto dal valore 1000 di M, e quindi CM rappresenta il numero 900. Un po' complicato vero? Ed eseguire le operazioni aritmetiche nel sistema di numerazione romano risulta ancora più complesso, mentre per i sistemi di numerazione posizionali l'esecuzione delle operazioni risulta piuttosto semplice.

OPERAZIONE DI ELEVAMENTO A POTENZA

Per comprendere meglio alcune delle operazioni che vengono presentate in questo capitolo si ricorda il significato dell'operazione di elevamento a potenza: Eseguire l'operazione di elevamento a potenza denotato con il simbolo be (che si legge bi alla e) significa moltiplicare il numero b (chiamato base) per se stesso tante volte quanto indicato dal numero e (chiamato esponente). Per esempio 25 significa 2 x 2 x 2 x 2 x 2; 73 significa 7 x 7 x 7 ecc. IN particolare si ricorda che qualsiasi potenza con esponente 0 ha valore 1; quindi 3 elevato allo zero vale 1, 2 elevato allo zero vale 1, ecc. Qualsiasi potenza con esponente 1 dà come risultato il valore della base quindi 10 elevato alla prima vale 10, 5 elevato alla prima vale 5, ecc. Le potenze con esponente negativo indicano il reciproco della potenza con lk'esponente preso in valore assoluto (senza segno), cioè calcolare b elevato a -e equivale a calcolare 1/b elevato alla e. Quindi 10 elevato a -3 equivale a 1/10 elevato alla terza. Effettuare una moltiplicazione di un numero per una potenza con esponente negativo cvorrisponde a dividere il numero per la potenza con l'esponente preso in valore assoluto.

LA PARTE FRAZIONARIA

Il valore delle cifre della parte frazionaria, cioè delle cifre dopo la virgola, viene determinato moltiplicando la cifra per potenze negative della base (per potenze negative di 10 nel sistema di numerazione decimale, per potenze negative di 2 nel sistema di numerazione binario, per potenze negative di 16 nel sistema di numerazione esadecimale). Per esempio nel sistema di numerazione decimale, considerando il numero 0.341, il valore della prima cifra decimale è dato da 3 x10-1, il valore della seconda cifra decimale è dato da 4 x10-2, il valore della terza cifra decimale è dato da 1 x 10-3. Nel sistema di numerazione binario, considerando il numero 0.11, la prima cifra dopo la virgola ha valore 1 x 2-1, la seconda cifra ha valore 1 x 2-2. Nel sistema di numerazione esadecimale, considerando il numero 0.A6, la prima cifra ha valore 10 x 16-1, la seconda cifra ha valore 6 x 16-2. I numeri possono essere composti sia da una parte intera che da una parte frazionaria; in tal caso le cifre della parte intera vengono moltiplicate per potenze positive della base, le cifre della parte frazionaria per potenze negative.

IL METODO PER CONTARE

Il metodo utilizzato per contare è identico in tutti i sistemi di numerazione; si elencano prima tutte le cifre del sistema di numerazione; poi si considerano due cifre partendo a sinistra da 1 e ripetendo a destra tutte le cifre del sistema di numerazione; si cambia poi la cifra a sinistra (se ci sono altre cifre disponibili) ripetendo di nuovo a destra tutte le cifre del sistema. Quando si arriva all'ultimo numero rappresentabile con due cifre si passa a considerare tre cifre, partendo da 1 per la prima cifra a sinistra ed elencando di nuovo tutti i valori possibili per le altre due cifre, e così via per un numero qualsiasi di cifre. Per esempio per il sistema di numerazione decimale:

    0     1     2     3     4     5      6      7     8     9
   10    11    12    12    14    15     16     17    18    19
   20    21    22......................................... 29
   90......................................................99
  100   101   102............................
Per il sistema di numerazione binario le cifre possibili sono soltanto 0 e 1, quindi il numero di cifre da utilizzare aumenta molto più rapidamente. 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 ........... Per il sistema di numerazione esadecimale alcune cifre sono rappresentate dalle lettere dell'alfabeto, ma questo non deve creare confusione, basta ricordare che dopo il numero A viene il numero B, poi il C, poi E, poi F e poi, essendo finiti i simboli possibili, bisogna aumentare il numero di cifre passando a 10. Quando si arriva al numero FF si passa a considerare tre cifre (100) e così via.

   0   1   2   3   4   5   6   7   8   9   A   B   C   D   E   F
  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  1A  1B  1C  1D  1E  1F
  20  21                                  2A                  2F
...
  A0  A1                                  AA                  AF
...
  F0                                                          FF
 100                                     10A                 10F
...

LE OPERAZIONI ARITMETICHE

Le operazioni aritmetiche si eseguono con metodi analoghi nel sistema di numerazione decimale e nei sistemi binario ed esadecimale. Per verificare l'esattezza delle operazioni in altri sistemi di numerazione si possono calcolare i corrispondenti valori degli operandi e del risultato nel sistema decimale. Molte calcolatrici offrono funzioni per la conversione dei numeri da un sistema all'altro o anche per l'esecuzione di operazioni nel sistema di numerazione binario.

L'ADDIZIONE

Nel sistema di numerazione decimale l'esecuzione di una addizione è per tutti una operazione banale. Partendo da destra si somma una cifra per ciascun numero; se il risultato che si ottiene è formato da una sola cifra si scrive la cifra e si prosegue allo stesso modo con le cifre immediatamente a sinistra. Se il risultato è formato da due cifre si scrive la cifra a destra e si considera come riporto la cifra a sinistra; il riporto può essere scritto in alto e deve essere sommato con le cifre più a sinistra di una posizione. Se dopo aver sommato tutte le cifre avanza un riporto, questo si scrive alla sinistra del risultato. ESEMPI Esecuzione di una addizione nel sistema di numerazione decimale.

     1 1 1     riporti
     8 5 4 2 +
     1 6 8 3 =
   ----------
   1 0 2 2 5
     ¦ ¦ ¦ +-----------------   2 + 3 = 5
     ¦ ¦ +---------------   4 + 8 = 12 scrivo 2 e riporto di 1
     ¦ +----------   5 + 6 + 1 = 12 scrivo 2 e riporto di 1
     +----------   8 + 1 + 1 = 10 scrivo 0 e riporto di 1
Per eseguire l'addizione tra due numeri nel sistema di numerazione binario il procedimento è lo stesso; bisogna soltanto tenere presente quali sono i risultati della somma di due cifre binarie. L'addizione tra due cifre binarie dà come risultato: 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 0 con il riporto di 1 Poi bisogna considerare i casi in cui ci sia anche un riporto da sommare; allora: 0 + 1 + un riporto di 1 dà 0 ancora con il riporto di 1 1 + 0 + un riporto di 1 dà 0 ancora con il riporto di 1 1 + 1 + un riporto di 1 dà 1 ancora con il riporto di 1 ESEMPI Esecuzione di una addizione nel sistema di numerazione binario.

     1 1     riporti
     1 0 1 1 +
     1 1 1 0 =
   -----------
   1 1 0 0 1
     ¦ ¦ ¦ +----------   1 + 0 = 1
     ¦ ¦ +------------   1 + 1 = 10 scrivo 0 e riporto di 1
     ¦ +--------------   1 + 0 + 1 = 10 scrivo 0 e riporto di 1
     +----------------   1 + 1 + 1 = 11 scrivo 1 e riporto di 1
Anche nel sistema di numerazione esadecimale il metodo per eseguire l'addizione è lo stesso; soltanto è un po' meno immediato, senza un po' di pratica, stabilire qual è il risultato della somma di due cifre. Bisogna ricordare a quali valori del sistema decimale corrispondono le lettere utilizzate per le cifre in più e si può procedere più o meno in questo modo: 7 + 2 = 9 come nel sistema decimale; 8 + 4 darebbe 12 nel sistema decimale che corrisponde alla cifra C nel sistema esadecimale quindi 8 + 4 = C; A + 4 corrisponde a 10 + 4 cioè 14 nel sistema decimale che corrisponde a E nel sistema esadecimale quindi A + 4 = E; A + 6 corrisponde a 10 + 8 cioè 16 nel sistema decimale; 16 nel sistema esadecimale è 10 cioè si ha 0 con un riporto di 1; 8 + 9 corrisponde a 17 nel sistema decimale che in pratica è 16 + 1; allora si scrive 1 con un riporto di 1; B + E corrisponde a 11 + 14 cioè 25 nel sistema decimale; 25 si può scrivere come 16 + 9 cioè si scrive 9 con un riporto di 1; F + D corrisponde a 15 + 13 cioè 28 nel sistema decimale; 28 si può scrivere come 16 + 12 e 12 è rappresentato dalla cifra C quindi si scrive C con un riporto di 1. Può sembrare complicato ma se avessimo sempre contato col sistema di numerazione esadecimale sembrerebbe facilissimo. ESEMPI Esecuzione di una addizione nel sistema di numerazione esadecimale.

     1       1          riporti
     3  D  8  F  +
     A  5  3  2  =
    ---------------
     E  3  C  1
     ¦  ¦  ¦  +---------   F + 2 = 11 scrivo 1 e riporto di 1
     ¦  ¦  +------------   8 + 3 + 1 = C
     ¦  +---------------   D + 5 = 13 scrivo 3 e riporto di 1
     +------------------   A + 3 + 1 = E

LA SOTTRAZIONE

Per eseguire la sottrazione si inizia considerando l'ultima cifra a destra del sottraendo e del minuendo; se la cifra del primo numero è maggiore di quella del secondo la sottrazione è immediata: si scrive il risultato e si passa a considerare le cifre più a sinistra di una posizione. Se la cifra del primo numero invece è minore di quella del secondo, per poter proseguire bisogna andare a prestito dalla cifra a sinistra di una posizione del primo numero; se però questa cifra è 0 bisogna continuare a considerare le cifre più a sinistra finché se ne trova una diversa da 0 da cui si può ottenere una cifra in prestito. La cifra presa in prestito viene moltiplicata per il valore della base (per 10 nel sistema decimale) quando viene spostata di una colonna verso destra. ESEMPI Esecuzione di una sottrazione nel sistema di numerazione decimale.

     2  9  9  15   dopo il prestito
     3  0  0  5   -
     1  9  2  9   =
    ---------------
     1  0  7  6
     ¦  ¦  ¦  +----   5 - 9 si va a prestito di 1 dalla
     ¦  ¦  ¦          prima cifra significativa
     ¦  ¦  ¦          15 - 9 = 6
     ¦  ¦  +-------   prendendo a prestito dalla prima cifra
     ¦  ¦             significativa e prestando 1 a destra diventa
     ¦  ¦             9 - 2 = 7
     ¦  +----------   prendendo a prestito dalla prima cifra
     ¦                significativa e prestando 1 a destra diventa
     ¦                9 - 9 = 0
     +-------------   dopo il prestito di 1 rimane 2 - 1 = 1
Nel sistema di numerazione binario il metodo è lo stesso; bisogna però fare attenzione alle cifre prese in prestito. Quando una cifra del minuendo è minore della corrispondente cifra del sottraendo bisogna andare a prestito di una unità dalla cifra a sinistra del minuendo; spostando la cifra di una colonna verso destra bisogna moltiplicare per 2 (e non per (10)10 anche se 2 è 10 in binario) . Si possono presentare i seguenti casi: 0 - 0 = 0 1 - 0 = 1 1 - 1 = 0 0 - 1 = 1 con prestito di 1 dalla cifra precedente. ESEMPI Esecuzione di una sottrazione nel sistema di numerazione binario.

     0  1  10          dopo il prestito
     1  0  0  1  1  -
           1  0  1  =
     -----------------
        1  1  1  0
        ¦  ¦  ¦  ¦
        ¦  ¦  ¦  +----   1 - 1 = 0
        ¦  ¦  +-------   1 - 0 = 1
        ¦  +----------   0 - 1 si va a prestito di 1 dalla prima
        ¦                cifra significativa 10 - 1 = 1
        +-------------   dopo il prestito di 1 rimane 1 - 0 = 1
Nel sistema esadecimale quando si prende una cifra in prestito, spostandosi di una colonna verso destra bisogna moltiplicare per 16 (10 nel sistema esadecimale). Come per l'addizione non è molto immediato senza un po' di pratica stabilire il risultato della sottrazione di due cifre esadecimali. Bisogna sempre ricordare a quali valori del sistema decimale corrispondono le lettere utilizzate per le cifre in più e si può procedere più o meno in questo modo: 9 - 7 = 2 come nel sistema decimale; C - 4 corrisponde a 12 - 4 nel sistema decimale cioè 8 quindi C - 4 = 8; E - 4 corrisponde a 14 - 4 cioè 10 nel sistema decimale e quindi E - 4 = A; 3 - 7 per eseguirla bisogna andare a prestito di una cifra ottenendo 10 cioè 16 nel sistema decimale che va sommato al primo numero 16 + 3 - 7 = 12 cioè C nel sistema esadecimale quindi 3 - 7 = C dopo aver preso una cifra in prestito; 2 - B per eseguirla bisogna andare a prestito di una cifra ottenendo 10 cioè 16 nel sistema decimale che va sommato al primo numero 16 + 2 - 11 (il valore di B in decimale) = 6 quindi 2 - B = 6 dopo aver preso una cifra in prestito; D - F per eseguirla bisogna andare a prestito di una cifra ottenendo 10 cioè 16 nel sistema decimale che va sommato al primo numero 16 + 13 (il valore di D in decimale) - 15 (il valore di F in decimale) = 14 cioè E nel sistema esadecimale quindi D - F = E dopo aver preso una cifra in prestito. ESEMPI Esecuzione di una sottrazione nel sistema di numerazione esadecimale.

   2   10   9   11    dopo il prestito
   3    0   A    1  -
        B   5    3  =
   ------------------
   2    5    4   E
   ¦    ¦    ¦   +-   1 - 3 si va a prestito di 1 dalla prima
   ¦    ¦    ¦        cifra significativa 11 - 3 = E
   ¦    ¦    +-----   dopo il prestito di 1 rimane 9 - 5 = 4
   ¦    +----------   0 - B si va a prestito di 1 dalla prima
   ¦                  cifra significativa 10 - B = 5
   +---------------   dopo il prestito di 1 rimane 2 - 0 = 2

LA MOLTIPLICAZIONE

La moltiplicazione può richiedere di moltiplicare un numero per un altro composto di una o più cifre. Se il moltiplicatore è un numero di una sola cifra si moltiplicano una alla volta tutte le cifre del moltiplicando partendo da destra e procedendo verso sinistra, scrivendo ogni volta una cifra del risultato (cominciando ancora da destra verso sinistra) e considerando gli eventuali riporti. Se il moltiplicatore è formato da più cifre bisogna moltiplicare il moltiplicando per ciascuna delle cifre del moltiplicatore separatamente; i prodotti parziali ottenuti vengono disposti spostandoli man mano a sinistra di una posizione e infine sommati per ottenere il risultato finale. Il risultato della moltiplicazione di due cifre si deduce dalla tavola pitagorica (quella delle tabelline). ESEMPI Esecuzione di una moltiplicazione nel sistema di numerazione decimale.

      385 x
      127 =
  ----------
     2695   7 x 385
     770-   2  x  385 x 10 spostando a sinistra di una posizione
    385--   1  x 385 x 100 spostando a sinistra di due posizioni
  ----------
    48895   somma
Nel sistema di numerazione binario la moltiplicazione risulta molto più semplice che nel sistema decimale; infatti ogni cifra può essere soltanto 0 o 1; il risultato di ogni prodotto parziale può quindi essere o 0 o il numero stesso. Quindi eseguire una moltiplicazione tra due numeri binari equivale ad eseguire più addizioni del moltiplicando opportunamente incolonnato secondo la posizione delle cifre 1 nel moltiplicatore. ESEMPI Esecuzione di una moltiplicazione nel sistema di numerazione binario. Se i prodotti parziali fossero più di due basterebbe sommare i primi due, sommare il risultato al prodotto parziale successivo, rispettando l'incolonnamento e così via.

     1011 x
      101 =
   -------
     1011   1 x 1011
   1011--   1 x 1011 x 100 spostando a sinistra di due posizioni
  --------
   110111   somma
La moltiplicazione nel sistema di numerazione esadecimale risulta invece un po' più complicata poiché è un po' difficile calcolare mentalmente il risultato del prodotto di due cifre esadecimali; si può comunque costruire una tavola delle tabelline del sistema esadecimale analoga alla tavola Pitagorica ben conosciuta per il sistema decimale; in base a questa i prodotti tra due cifre possono essere calcolati facilmente. ESEMPI Esecuzione di una moltiplicazione nel sistema di numerazione esadecimale.

     A1C x
      B7 =
  ---------
    46C4    7 x A1C
   6F34-    B x A1C x 10 spostando a sinistra di una posizione
  ---------
  73A04   somma
dove

A1C x 7 = 4  6  C  4
             ¦  ¦  ¦
             ¦  ¦  +-- C x 7 = 54 scrivo 4 e riporto di 5
             ¦  +----- 1 x 7 = 7 + 5 = C
             +-------- A x 7 = 46

A1C x B = 6  F  3  4
             ¦  ¦  ¦
             ¦  ¦  +-- C x B = 84 scrivo 4 e riporto di 8
             ¦  +----- 1 x B = B + 8 = 13 scrivo 3 e riporto di 1
             +-------- A x B = 6E + 1 = 6F

LA DIVISIONE

Per dividere un numero (dividendo) per un altro (divisore) si considerano tante cifre del dividendo in modo che il numero composto da tali cifre sia il più piccolo possibile superiore al divisore; si cerca poi di stabilire quante volte il divisore sia contenuto in tale numero procedendo un po' per tentativi. Il risultato viene moltiplicato per il divisore; il prodotto ottenuto viene sottratto dalle cifre considerate del dividendo per calcolare il resto. Accanto al resto si scrive poi un'altra cifra del dividendo e si ripete così il procedimento (stabilendo quante volte il divisore è contenuto in questo numero) finché si esauriscono tutte le cifre del dividendo. ESEMPI Esecuzione di una divisione nel sistema di numerazione decimale.

   --- . .
   1 8 9 4 : 7 = 2  7  0
     4 9         ¦  ¦  ¦
       - 4       ¦  ¦  +--  4 : 7 = 0 con resto 4
                 ¦  +----- 49 : 7 = 7 con resto 0
                 +-------- 18 : 7 = 2 con resto 4
Nel sistema di numerazione binario l'esecuzione della divisione risulta ancora più semplice che nel sistema decimale come già si era notato per la moltiplicazione; infatti per stabilire quante volte il divisore sia contenuto in un gruppo di cifre del dividendo non è necessario fare più prove perché il risultato può essere solamente 0 o 1, quindi basta stabilire se il gruppo di cifre considerate del dividendo ha un valore più piccolo o più grande del dividendo. Bisogna però ricordare che tutte le operazioni necessarie vanno eseguite nel sistema di numerazione binario, anche la moltiplicazione del risultato per il divisore (facilissima perché si moltiplica soltanto per 0 o per 1) e la sottrazione di questo risulato dalle cifre considerate del dividendo. ESEMPI Esecuzione di una divisione nel sistema di numerazione binario.

   --- . . .
   1 1 0 1 1 : 1 1 = 1  0  0  1
     - 0             ¦  ¦  ¦  ¦
       - 1           ¦  ¦  ¦  +--- 11 : 11 = 1 con resto 0
         1 1         ¦  ¦  +------  1 : 11 = 0 con resto 0
                     ¦  +---------  0 : 11 = 0 con resto 0
                     +------------ 11 : 11 = 1 con resto 0
Nel sistema esadecimale i calcoli risultano un po' complicati; per stabilire quante volte il divisore è contenuto nelle cifre considerate del dividendo bisogna procedere per tentativi e i calcoli vanno fatti nel sistema di numerazione esadecimale con le difficoltà già viste per la moltiplicazione. Anche tutte le altre operazioni (moltiplicazione del risultato per il divisore, sottrazione dal dividendo) vanno eseguite sempre nel sistema esadecimale. ESEMPI Esecuzione di una divisione nel sistema di numerazione esadecimale.

   --- . .
   B 0 1 A : 1E = 5  D  E
   9 6
  -------                     infatti 1E x E = 1A4 ma
   1 A 1                      1E x F = 1D1 (>1BA)
   1 8 6                      infatti 1E x D = 186 ma
  -------                     1E x E = 1A4 (>1A1)
       1 B A                  infatti 1E x 5 = 96 ma
       1 A 4                  1E x 6 = B4 (>B0)
      -------
            1 6

LE CONVERSIONI DA UN SISTEMA DI NUMERAZIONE ALL'ALTRO

Semplici operazioni permettono di trasformare un numero rappresentato in una base nella corrispondente rappresentazione in un'altra base: si dice che il numero viene convertito da un sistema di numerazione ad un altro.

CONVERSIONE DI UN NUMERO DA UN SISTEMA DI NUMERAZIONE CON BASE B AL SISTEMA DI NUMERAZIONE DECIMALE

Per convertire un numero da un sistema di numerazione diverso da quello decimale al sistema decimale bisogna moltiplicare ciascuna cifra per una potenza della base, (partendo dalla potenza con esponente 0, che va moltiplicata per la cifra più a sinistra) e sommando tutti i prodotti ottenuti. Il risultato della somma costituisce la rappresentazione nel sistema decimale del numero dato nel sistema di numerazione di partenza. Per convertire un numero dal sistema di numerazione binario al sistema di numerazione decimale bisogna quindi moltiplicare ciascuna cifra per una potenza di 2 e sommare i prodotti così calcolati; la cifra più a sinistra viene moltiplicata per 20, la seconda per 21, la terza per 22 ecc. Poiché le cifre che compongono il numero possono essere soltanto 0 o 1 le potenze di 2 possono essere moltiplicate soltanto per 0 e 1 prima di essere sommate; ma moltiplicare una potenza per 1 significa considerarla nella somma da calcolare, mentre moltiplicarla per 0 significa escluderla dalla somma. Si può quindi anche dire che per convertire un numero dal sistema di numerazione binario al sistema di numerazione decimale si possono sommare le potenze di 2 corrispondenti alle cifre 1 che compongono il numero (saltando le potenze che corrispondono alle cifre 0). ESEMPI Conversione di un numero dal sistema di numerazione binario al sistema di numerazione decimale. (11010)2 = 0x20 + 1x21 + 0x22 + 1x23 + 1x24 = (26)10

     1    1    0    1    0
    24   23   22   21   20
     ¦    ¦    ¦    ¦    ¦
     ¦    ¦    ¦    ¦    +----- 0x20      0 +
     ¦    ¦    ¦    +---------- 1x21      2 +
     ¦    ¦    +--------------- 0x22      0 +
     ¦    +-------------------- 1x23      8 +
     +------------------------- 1x24     16 =
                                        ------
                                         26
Per convertire un numero dal sistema di numerazione esadecimale al sistema di numerazione decimale bisogna moltiplicare ciascuna cifra per una potenza di 16, sommando i prodotti ottenuti; la cifra più a destra viene moltiplicata per 160, la seconda per 161, la terza per 162 ecc. ESEMPI Conversione di un numero dal sistema di numerazione esadecimale al sistema di numerazione decimale. (A7B)16 = 10x162 + 7x161 + 11x160 = 2560 + 112 + 11 = (2683)10

       A       7       B
     162     161     160
       ¦       ¦       ¦
       ¦       ¦       +-------- 11x160         11 +
       ¦       +----------------  7x161        112 +
       +------------------------  10x162      2560 +
                                            ---------
                                              2683

CONVERSIONE DI UN NUMERO DAL SISTEMA DI NUMERAZIONE DECIMALE AD UN SISTEMA CON BASE B

Per ottenere la rappresentazione in un sistema di numerazione in base B di un numero del sistema decimale bisogna procedere dividendo il numero per la base del sistema considerato. Il resto della divisione costituisce la prima cifra a destra del numero; l'operazione prosegue sul risultato della divisione. Il risultato della divisione viene nuovamente diviso per la base del sistema considerato, il resto costituisce la seconda cifra della rappresentazione del numero nel nuovo sistema; il risultato della divisione viene utilizzato per proseguire nel calcolo. Il procedimento termina quando il risultato della divisione è zero. Per convertire un numero dal sistema di numerazione decimale al sistema di numerazione binario bisogna dividere il numero per 2; il resto della divisione rappresenta la prima cifra a destra del numero binario corrispondente (dividendo un numero per 2 il resto che si ottiene può essere soltanto il numero 0 o il numero 1); il risultato della divisione va diviso ancora per 2 ottenendo come resto la seconda cifra del numero binario, e così via finché la divisione per 2 dà come risultato zero. ESEMPI Conversione di un numero dal sistema di numerazione decimale al sistema di numerazione binario.

(49)dep10 = (110001)dep2

     49 : 2 = 24     con resto 1  ---------------------------+
     24 : 2 = 12     con resto 0  ------------------------+  ¦
     12 : 2 =  6     con resto 0  ---------------------+  ¦  ¦
      6 : 2 =  3     con resto 0  ------------------+  ¦  ¦  ¦
      3 : 2 =  1     con resto 1  ---------------+  ¦  ¦  ¦  ¦
      1 : 2 =  0     con resto 1  ------------+  ¦  ¦  ¦  ¦  ¦
                                              ¦  ¦  ¦  ¦  ¦  ¦
                                              1  1  0  0  0  1
Per convertire un numero dal sistema di numerazione decimale al sistema di numerazione esadecimale bisogna dividere il numero per 16; il resto della divisione costituisce la prima cifra a destra del numero (dividendo un numero per 16 si può ottenere come resto un numero da 0 a 15, che sono i valori corrispondenti alle cifre del sistema di numerazione esadecimale); il risultato della divisione va diviso ancora per 16, fino ad ottenere 0 come risultato. I resti delle divisioni formano le cifre del numero esadecimale procedendo da destra verso sinistra. ESEMPI Conversione di un numero dal sistema di numerazione decimale al sistema di numerazione esadecimale. (587)dep10 = (24B)dep16

     587 : 16 = 36     con resto 11 --------------------+
      36 : 16 =  2     con resto 4  ----------------+   ¦
       2 : 16 =  0     con resto 2  ------------+   ¦   ¦
                                                ¦   ¦   ¦
                                                2   4   B

CONVERSIONI DELLA PARTE FRAZIONARIA DI UN NUMERO

Per convertire la parte frazionaria (quella dopo la virgola) di un numero in un sistema qualsiasi di numerazione in base B nella corrispondente rappresentazione nel sistema di numerazione decimale bisogna moltiplicare ciascuna cifra per una potenza negativa della base e sommare i prodotti ottenuti. Il risultato della somma costituisce la rappresentazione corrispondente nel sistema di numerazione decimale. Per convertire la parte frazionaria di un numero dal sistema di numerazione binario al sistema di numerazione decimale bisogna moltiplicare la prima cifra dopo la virgola per 2-1, la seconda cifra per 2-2, la terza per 2-3, ecc. e sommare i prodotti ottenuti. ESEMPI Conversione della parte frazionaria di un numero dal sistema di numerazione binario al sistema di numerazione decimale. (0.1011)dep2 = 1x2esp-1 + 0x2esp-2 + 1x2esp-3

     0   .    1       0       1
              2esp-1  2esp-2  2esp-3
              ¦       ¦       ¦
              ¦       ¦       +------- 1x2esp-3    0.125 +
              ¦       +--------------- 0x2esp-2    0     +
              +----------------------- 0x2esp-1    0.5   =
                                                 ---------
                                                   0.625
Per convertire la parte frazionaria di un numero dal sistema di numerazione esadecimale al sistema di numerazione decimale bisogna moltiplicare la prima cifra dopo la virgola per 16-1, la seconda cifra per 16-2, la terza per 16-3, ecc. e sommare i prodotti ottenuti. ESEMPI Conversione della parte frazionaria di un numero dal sistema di numerazione esadecimale al sistema di numerazione decimale. (0.5A)dep16 = 5x16esp-1 + 10x16esp-2 = 5x0.0625 + 10x0.00390625 = 0.3125 + 0.0390625 = (0.3515625)dep10 Per convertire la parte frazionaria di un numero dal sistema di numerazione decimale ad un sistema di numerazione qualsiasi in base B bisogna moltiplicare la parte frazionaria per la base del sistema considerato (moltiplicare per la base equivale a spostare la virgola di una posizione verso destra nella rappresentazione considerata). Il numero che risulta prima della virgola (nella parte intera) dopo la moltiplicazione costitusce la prima cifra a destra della virgola nella parte frazionaria della rappresentazione nel nuovo sistema di numerazione. Il procedimento prosegue moltiplicando di nuovo la parte frazionaria rimasta per la base e prendendo la parte intera come seconda cifra e così via. Il procedimento di conversione è completo quando nel numero decimale la parte frazionaria diventa 0. Spesso, soprattutto convertendo il numero in un sistema di numerazione con una base piccola (come il sistema binario), può accadere che le cifre della rappresentazione nel nuovo sistema siano moltissime o che non si riesca mai ad ottenere 0 come risultato delle moltiplicazioni della parte frazionaria perché il numero che si ottiene nel nuovo sistema di numerazione è periodico o illimitato. (I numeri periodici sono quei numeri in cui un gruppo di cifre si ripete all'infinito nello stesso ordine; un numero illimitato è un numero con infinite cifre decimali, che compaiono però senza rispettare un ordine preciso). In tal caso si può arrestare il procedimento dopo un numero prestabilito di passi e la conversione risulta approssimata. La parte frazionaria di un numero del sistema di numerazione decimale può essere convertita nella corrispondente rappresentazione binaria procedendo per moltiplicazioni successive per 2. Il prodotto per 2 dà come risultato un numero in cui la cifra a sinistra del punto decimale può essere soltanto 0 o 1. Questa cifra rappresenta una cifra della parte frazionaria del numero binario, procedendo da sinistra verso destra. ESEMPI Conversione della parte frazionaria di un numero dal sistema di numerazione decimale al sistema di numerazione binario. Il numero ottenuto nel sistema di numerazione binario è approssimato; il calcolo viene arrestato dopo 5 passi anche se la parte frazionaria non è diventata nulla. (0.485)dep10 = (0.01111)dep2

     +------------------------ 0.485 x
     ¦                             2 =
     ¦                        ---------
     ¦   +-------------------- 0.970 x
     ¦   ¦                         2 =
     ¦   ¦                    ---------
     ¦   ¦   +---------------- 1.940 x
     ¦   ¦   ¦                     2 =
     ¦   ¦   ¦                ---------
     ¦   ¦   ¦   +------------ 1.880 x
     ¦   ¦   ¦   ¦                 2 =
     ¦   ¦   ¦   ¦            ---------
     ¦   ¦   ¦   ¦   +-------- 1.760 x
     ¦   ¦   ¦   ¦   ¦             2 =
     ¦   ¦   ¦   ¦   ¦        ---------
     ¦   ¦   ¦   ¦   ¦   +---- 1.520
     ¦   ¦   ¦   ¦   ¦   ¦
     0 . 0   1   1   1   1
Per la conversione della parte frazionaria di un numero del sistema di numerazione decimale nella corrispondente rappresentazione esadecimale si procede per moltiplicazioni successive per 16 (i numeri che si ottengono alla sinistra del punto decimale possono essere soltanto quelli compresi tra 0 a 15). ESEMPI Conversione della parte frazionaria di un numero dal sistema di numerazione decimale al sistema di numerazione esadecimale. Il numero ottenuto nel sistema di numerazione esadecimale è approssimato; il calcolo viene arrestato dopo 5 passi anche se la parte frazionaria non è diventata nulla. (0.37)dep10 = (0.5E05)dep16

      +--------------------   0.37 x
      ¦                         16 =
      ¦                     ---------
      ¦  +-----------------   5.92 x
      ¦  ¦                      16 =
      ¦  ¦                  ---------
      ¦  ¦  +--------------  15.02 x
      ¦  ¦  ¦                   16 =
      ¦  ¦  ¦               ---------
      ¦  ¦  ¦  +-----------   0.32 x
      ¦  ¦  ¦  ¦                16 =
      ¦  ¦  ¦  ¦            ---------
      ¦  ¦  ¦  ¦  +--------   5.12
      ¦  ¦  ¦  ¦  ¦
      ¦  ¦  ¦  ¦  ¦
      0  5  E  0  5

CONVERSIONE DI UN NUMERO CON PARTE INTERA E FRAZIONARIA

Per convertire un numero con parte intera e frazionaria da un sistema di numerazione in base B al sistema di numerazione decimale bisogna sommare i prodotti di ciascuna cifra per una potenza della base; le cifre della parte intera vengono moltiplicate per potenze positive della base, le cifre della parte frazionaria per potenze negative della base. Per convertire un numero con parte intera e frazionaria dal sistema di numerazione decimale a un sistema di numerazione in base B bisogna considerare separatamente la parte intera e la parte decimale e procedere per divisioni successive per convertire la parte intera e per moltiplicazioni successive per convertire la parte frazionaria. ESEMPI Conversione di un numero dal sistema di numerazione binario al sistema di numerazione decimale. Ogni cifra viene moltiplicata per una potenza di 2; le cifre della parte intera vengono moltiplicate per potenze positive di 2, le cifre della parte frazionaria per potenze negative di 2. (1101.01)dep2 = (13.25)dep10 conversione della parte intera: 1101 = 1 x 2esp3 + 1 x 2esp2 + 0 x 2esp1 + 1 x 2esp0 = 8 + 4 + 1 = 13 conversione della parte frazionaria: 0.01 = 0 x 2esp-1 + 1 x 2esp-2 = 0. 25 ESEMPI Conversione di un numero dal sistema di numerazione decimale al sistema di numerazione binario. Per la conversione della parte intera si procede per divisioni successive per 2; per la conversione della parte frazionaria si procede per moltiplicazioni successive per 2. (29.32)dep10 = (11101.0101)dep2 conversione della parte intera: 29 : 2 = 14 con resto 1 14 : 2 = 7 con resto 0 7 : 2 = 3 con resto 1 3 : 2 = 1 con resto 1 1 : 2 = 0 con resto 1 conversione della parte frazionaria: 0.32 x 2 = 0.64 x 2 = 1.28 x 2 = 0.56 x 2 = 1.12 ecc.

CONVERSIONE DIRETTA TRA SISTEMI DI NUMERAZIONE BINARIO ED ESADECIMALE

I dati e le istruzioni nella memoria del computer vengono rappresentati da numeri del sistema di numerazione binario; poiché un numero binario richiede molte cifre per la sua rappresentazione ed è di difficile percezione per l'uomo, spesso i numeri binari vengono convertiti nella corrispondente rappresentazione esadecimale. La conversione di un numero dal sistema di numerazione binario al sistema di numerazione esadecimale e viceversa risulta piuttosto semplice e immediata, poiché non sono necessari calcoli complicati. Per capire il metodo di conversione bisogna ricordare che 16 è uguale a 24 nel sitema decimale; ogni cifra del sistema esadecimale corrisponde a 4 cifre del sistema binario; e infatti con quattro cifre del sistema binario si possono rappresentare i numeri da 0 a 15.

CONVERSIONE DAL SISTEMA DI NUMERAZIONE BINARIO AL SISTEMA DI NUMERAZIONE ESADECIMALE

Per convertire un numero dal sistema di numerazione binario al sistema di numerazione esadecimale basta raggruppare le cifre in gruppi di 4 partendo da destra (aggiungendo eventualmente degli zeri a sinistra per completare l'ultimo gruppo) e sostituire ogni gruppo con la corrispondente cifra esadecimale. ESEMPI Conversione di un numero dal sistema di numerazione binario al sistema di numerazione esadecimale.

    0001     1011     1010     0011
   ------   ------   ------   ------
       1        B        A        3

CONVERSIONE DAL SISTEMA DI NUMERAZIONE ESADECIMALE AL SISTEMA DI NUMERAZIONE BINARIO

Per convertire un numero dal sistema di numerazione esadecimale al sistema di numerazione binario basta sostituire a ciascuna cifra esadecimale il corrispondente valore binario utilizzando sempre 4 cifre (eventualmente bisogna aggiungere degli zeri non significativi a sinistra di ciascun gruppo). ESEMPI Conversione di un numero dal sistema di numerazione esadecimale al sistema di numerazione binario.

      B         6         0         F
   -------   -------   -------   -------
    1011      0110      0000      1111
   

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