Geometria Piana Il Triangolo.

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GEOMETRIA PIANA - IL TRIANGOLO

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Il poligono che ha il minor numero di lati possibile, cioè tre, si chiama triangolo.

Un esempio familiare della figura geometrica del triangolo è il deflettore del finestrino laterale di un'automobile.

Gli elementi di cui e costituito il triangolo sono: i tre lati AB, BC, AC; i tre angoli ABC, BAC, ACB; i tre vertici A, B, C.

Ciascuno dei tre lati è adiacente a due angoli e opposto al terzo angolo (ad esempio, il lato CA è adiacente a ACB e CAB e opposto a CBA). Ciascuno dei tre angoli invece è compreso fra due lati e opposto al terzo lato (ad esempio, CAB è compreso fra i lati CA e AB ed è opposto al lato CB).

Per ciascun triangolo si possono tracciare dei segmenti particolari che possiedono una grande importanza. Essi sono:

- le mediane, cioè i segmenti che uniscono ciascun vertice con il punto medio del lato opposto al vertice stesso (fig. 168).

- le altezze, che sono le distanze di ciascun vertice dalla retta cui appartiene il lato opposto, e quindi le perpendicolari tracciate dai vertici sul lato opposto o sul suo prolungamento (fig. 169).

- le bisettrici, cioè i segmenti che dividono in due parti uguali ciascun angolo e sono compresi fra i vertici e i lati opposti (fig. 170).

Figg. 168, 169 e 170

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Il punto di incontro all'interno del triangolo delle tre mediane è chiamato il baricentro del triangolo (è indicato dal punto P).

Il punto di incontro delle bisettrici è chiamato invece l'incentro del triangolo (è indicato dal punto Q). Il punto di incontro delle altezze di un triangolo infine è detto ortocentro (è indicato dal punto R).

In certi casi però le altezze cadono all'esterno del triangolo: allora l'ortocentro sarà il puntò di incontro dei prolungamenti delle tre altezze.

Il baricentro, l'incentro e l'ortocentro costituiscono i cosiddetti punti notevoli di un triangolo.

I triangoli possono essere distinti in base ai loro lati oppure in base ai loro angoli. Un triangolo infatti può essere (fig. 172):

Fig. 172

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a) equilatero se ha i tre lati uguali;

b) isoscele se ha due lati uguali;

c) scaleno se ha i tre lati disuguali.

In questo modo abbiamo classificato i triangoli rispetto ai lati. Ora invece li possiamo classificare rispetto agli angoli. Un triangolo può essere (fig. 175):

Fig. 175

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a') rettangolo se ha un angolo retto;

b') ottusangolo se ha un angolo ottuso;

c') acutangolo se ha tutti gli angoli acuti.

Bisogna ricordare che il lato maggiore di un triangolo rettangolo si chiama ipotenusa, mentre gli altri due lati si dicono cateti.

Il triangolo equilatero

Il triangolo rettangolo

Il triangolo scaleno

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PROPRIETA' FONDAMENTALI DEGLI ANGOLI DI UN TRIANGOLO

Si può dimostrare che gli angoli di un triangolo godono di certe proprietà che valgono per tutti i triangoli indistintamente. Per dimostrare queste proprietà, per convincerci cioè con un ragionamento che quanto si afferma è vero, bisognerà fare uso di ciò che chiamiamo costruzioni ausiliarie: oltre alla figura che prendiamo in considerazione dovremo infatti disegnare altre figure (ad esempio tracciare delle rette o costruire dei segmenti uguali a quelli dati) che ci permettono di comprendere più facilmente quali siano le proprietà della figura data. Il metodo delle costruzioni ausiliarie fu introdotto proprio dai primi geometri greci.

Cominciamo quindi a dimostrare che:

- la somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a un angolo piatto (ACB + ABC + CAB = angolo piatto)

Dato il triangolo ABC (fig. 179) tracciamo la retta LM parallela al lato AB e passante per il vertice C. Ora, nel capitolo precedente avevamo affermato che, date due rette parallele (nel nostro caso AB e LM) tagliate da una terza retta trasversale (nel nostro caso CA oppure CB), si ottengono angoli alterni interni uguali, pertanto sarà: CAB = LCA e ABC = MCB; e quindi LCA + ACB + MCB = CAB + ACB + ABC = angolo piatto. (Notate che nella dimostrazione si è tracciata la linea retta LM come costruzione ausiliaria).

Fig. 179

In modo simile si può dimostrare anche una seconda proprietà valida per tutti i triangoli:

- l'angolo esterno di un triangolo è uguale alla somma degli angoli interni non adiacenti (CAB + ACB = CBD)

Per «angolo esterno» di un triangolo bisogna intendere l'angolo formato da un lato del triangolo e dal prolungamento del lato consecutivo: nel nostro caso (fig. 180), CBD.

Fig. 180

Chiarita questa nozione, si può procedere alla dimostrazione facendo uso, anche in questo caso, di una costruzione ausiliaria, tracciando cioè, la retta BE parallela al lato AC. Potete constatare che CBD = CBE + EBD; inoltre si ha ACB = EBC, perché si tratta di angoli alterni interni rispetto alle rette parallele AC e BE tagliate dalla retta trasversale CB; si ha pure CAB = EBD, perché angoli corrispondenti rispetto alle rette parallele AC e BE tagliate dalla retta trasversale AD. Pertanto: CBD = CAB + ACB.

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CRITERI DI UGUAGLIANZA DEI TRIANGOLI

Due triangoli sono uguali se hanno i lati e gli angoli uguali. Se provate infatti a sovrapporre due triangoli uguali potete constatare che tutti e tre i lati e tutti e tre gli angoli coincidono perfettamente. Per essere sicuri che due triangoli sono uguali però non è necessario accertarsi dell'uguaglianza di ogni lato e di ogni angolo appartenente ai rispettivi triangoli; basta accertarsi che alcuni elementi dei due triangoli siano uguali. Si possono stabilire allora dei criteri, delle condizioni minime di uguaglianza dei triangoli.

Questi criteri sono tre:

- 1° criterio: due triangoli sono uguali se hanno rispettivamente uguali due lati e l'angolo compreso fra questi lati.

Se CAB = C'A'B' ed inoltre AB = A'B' e AC = A'C' potete accorgervi facilmente che se sovrapponete i due triangoli risulterà anche che ACB = A'C'B', CBA = C'B'A' e CB = C'B'.

- 2° criterio: due triangoli sono uguali se hanno uguali rispettivamente un lato e i due angoli adiacenti.

Anche in questo caso, se sovrapponete i due triangoli facendo coincidere il lato AB con il lato A'B', che abbiamo stabilito essere uguali, e se coincidono anche gli angoli CAB e C'A'B' da una parte e CBA e C'B'A' dall'altra, vi potete accorgere che coincidono anche tutti gli altri elementi.

- 3° criterio: due triangoli sono uguali se hanno i tre lati rispettivamente uguali.

La sovrapposizione dei due triangoli ACB e A'C'B' ci mostra infatti che se coincidono perfettamente i tre lati coincidono allora anche i tre angoli: si può concludere quindi che i due triangoli sono uguali.

Attenzione! Come abbiamo appena detto, è vero che due triangoli con tutti i rispettivi lati uguali hanno anche i rispettivi angoli uguali; non è vera però la proprietà inversa, cioè che due triangoli con gli angoli uguali debbano necessariamente avere anche i lati uguali.

I tre criteri possono essere cosi riassunti:

Per poter affermare con certezza che due triangoli sono uguali basta sapere che i due triangoli hanno tre elementi coincidenti almeno uno dei quali deve essere un lato.

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VERO O FALSO?

l) Un triangolo equilatero è sempre anche un triangolo isoscele.

2) Un triangolo equilatero può essere un triangolo ottusangolo.

3) Ciascuno dei lati di un triangolo è compreso fra due angoli.

4) Il punto di incontro delle altezze di un triangolo o dei loro prolungamenti si chiama incentro.

5) La somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a due angoli retti.

6) Due triangoli rettangoli sono uguali se hanno rispettivamente uguali i due lati minori (cateti).

l) Vero.

2) Falso: è sempre un triangolo acutangolo.

3) Falso: ciascun lato è adiacente a due angoli.

4) Falso: si chiama ortocentro.

5) Vero.

6) Vero.

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ESERCIZI

(Per risolvere alcuni dei problemi proposti consultate l'appendice dedicata alle misure)

- Disegnate un triangolo isoscele ottusangolo.

- Disegnate altezze, mediane e bisettrici di un triangolo scaleno ottusangolo.

-In un triangolo un angolo è doppio dell'altro e il terzo è uguale alla loro somma.

Quali sono le misure dei tre angoli? (Risposta: 30°, 60°, 90°) Di che tipo di triangolo si tratta?

- In un triangolo rettangolo uno degli angoli acuti è 3/5 dell'altro: qual'è la loro ampiezza? (Risposta: 33°45', 56°15')

- L'altezza relativa all'ipotenusa di un triangolo rettangolo divide l'angolo retto in due angoli che sono uno i 2/3 dell'altro.

Qual è l'ampiezza degli angoli acuti del triangolo? (Risposta 30°, 60°)

- Applicando i criteri di uguaglianza dei triangoli, verificate che due triangoli sono uguali se hanno uguali rispettivamente: un lato, l'altezza relativa e un angolo adiacente al lato.

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