Introduzione

Punto

Linea

Linea aperta e linea chiusa e intersezione

Superficie

Solido

Vero o falso

Esercizi

Ripasso di matematica Geometria del piano euclideo Gli enti fondamentali

Aritmetica Geometria Informatica

Geometria Piana e Solida Informatica Media

Geometria piana e solida

Geometria Quadrilateri e Poligoni Gli Angoli Il Triangolo Linee sul Piano Geometria Piana Il Cerchio Superficie dei Poligoni Cilindri e Prismi Coni e Piramidi Gli Esaedri La Sfera Geometria Solida Nozioni Generali Solidi di Rotazione

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La nascita della Geometria e i suoi "Elementi" Rai Cultura

GEOMETRIA PIANA - ELEMENTI FONDAMENTALI DELLA GEOMETRIA

INTRODUZIONE

La parola «geometria» deriva dal greco e significa precisamente misura della terra.

La sua origine è antichissima.

Nel IV millennio a.C. i Sumeri, una popolazione che abitava la Mesopotamia meridionale (corrispondente all'incirca all'attuale stato dell'Iraq), già possedevano alcune nozioni geometriche che applicavano all'astronomia.

Queste conoscenze si tramandarono agli Assiro-Babilonesi e soprattutto agli Egiziani, che svilupparono la geometria a partire da problemi pratici quali la misurazione dei campi, per stabilirne in modo preciso i confini cancellati dalle periodiche inondazioni del fiume Nilo.

Fu in Grecia però che la geometria assunse il carattere fondamentale di scienza astratta, non finalizzata cioè solamente agli scopi pratici che abbiamo ricordato, ma riguardante anche problemi teorici, ovvero problemi considerati di per sé, senza preoccuparsi degli impieghi concreti.

E' a partire dal sec. VI a.C. che si cominciò a ricordare i nomi dei primi grandi studiosi di geometria:

Talete di Mileto, Pitagora, che fondò una vera e propria scuola a Crotone (Magna Grecia), Platone, Ippocrate di Chio, Euclide, Archimede di Siracusa:

costui volle che sulla sua tomba fosse scolpita una sfera inscritta in un cilindro.

Non bisogna però credere che la storia della geometria si fermi qui.

Essa infatti costituisce una scienza in continuo sviluppo che si arricchisce man mano di nuove nozioni e si ramifica in molteplici direzioni.

La geometria può comunque essere definita nel modo più generale come:

il ramo della matematica che si occupa dei punti e delle figure da essi generate, senza occuparsi della sostanza di cui sono formate né dei loro caratteri esteriori quali il colore, il peso, ecc.

Occorre tuttavia precisare questa definizione di geometria, chiedendoci quali sono gli elementi fondamentali, i mattoni per così dire, che si utilizzano per costruirla.

Come tutte le altre scienze infatti, la geometria si rivolge allo studio di un campo ben delimitato composto da particolari enti, cioè da oggetti, che nel caso particolare della geometria sono di tipo astratto.

Per comprendere meglio che cosa siano questi elementi fondamentali ci aiuteremo con delle immagini, con degli esempi concreti tratti dalla realtà che ci sta di fronte.

Per cominciare si può allora dire che:

Gli elementi (o enti) fondamentali della geometria sono:

il punto, la linea, la superficie, il solido.

Vediamoli ora uno per uno.

PUNTO

Si tratta però, in tutti questi casi, di esempi concreti:

mentre il punto come ente geometrico non si trova mai nella realtà come potremmo invece trovare un qualunque oggetto concreto, come per esempio un tavolo, una sedia, un portacenere.

Il punto geometrico infatti sta solo a indicare una posizione e non ha alcuna dimensione.

D'ora in poi indicheremo i punti scrivendo una lettera maiuscola dell'alfabeto vicino all'immagine che li rappresenta:

nel nostro caso il segno ottenuto appoggiando leggermente la penna al foglio di carta.

L'insieme di tutti i punti costituisce lo spazio.

Una immagine familiare di un punto nello spazio ci è offerta dalla traccia di gesso posta davanti alla rete, in un campo di calcio, per indicare la posizione precisa in cui bisogna collocare la palla qualora si debba tirare un calcio di rigore.

LINEA

Come ente geometrico però la linea non ha spessore, ma presenta un'unica dimensione:

la lunghezza.

Potremo allora dire che la linea è generata dal movimento di un punto;

si tratta cioè di una serie di punti posti uno di seguito all'altro.

Per contraddistinguere le diverse linee useremo le lettere minuscole dell'alfabeto.

Una linea può essere aperta, come ad esempio la fig. 83 a, oppure chiusa, come 83 b.

Il filo che unisce l'apparecchio telefonico alla cornetta dà l'idea di una linea aperta;

un semplice elastico invece ci dà l'idea di una linea chiusa.

Figg. 83 e 86

Due o più linee possono inoltre avere uno o più punti in comune.

Tali punti si chiameranno intersezioni (fig. 86).

In questo caso le intersezioni fra la retta «d ₁» e la retta «d ₂» sono i punti P e Q.

Vari esempi di linee sono offerti da una qualsiasi cartina stradale.

In questo caso ogni località riportata dalla cartina rappresenta una intersezione.

SUPERFICIE

La superficie geometrica, come già si è detto per il punto e per la linea deve essere considerata però indipendentemente dagli oggetti concreti che essa delimita.

Pertanto non interessa di che materia sia composto il foglio o lo strato di vernice, e non interessa nemmeno quale sia il loro spessore.

La superficie geometrica infatti non ha spessore ma solo due dimensioni:

la lunghezza e la larghezza.

Più precisamente, si può definire la superficie come l'ente geometrico generato dal movimento di una linea qualsiasi.

Chi non fosse ancora convinto di questa definizione di superficie, provi a compiere la seguente operazione: azionare il tergicristallo di una automobile con il parabrezza impolverato.

In questo caso il tergicristallo sta a indicare una linea, e la traccia lasciata dal suo movimento sul parabrezza raffigura la superficie generata dal suo movimento.

Fra le infinite superfici possibili ve n'è una di particolare interesse:

la superficie piana o piano.

Se pensiamo alla superfici ghiacciata di un campo di hockey possiamo farci immediatamente l'idea di che cosa si intenda per superficie piana.

Anche in questo caso bisogna però tenere presente che la superficie piana geometrica non ha spessore;

essa va inoltre intesa come estesa all'infinito.

Si deve infine distinguere fra superfici aperte, come il piano geometrico, e superfici chiuse, come ad esempio una pallina da ping-pong.

Per indicare le superfici piane useremo d'ora in poi le lettere dell'alfabeto greco: a, b, g ecc.

SOLIDO

Di esso consideriamo soltanto la forma e l'estensione nello spazio, trascurando gli altri attributi come la materia di cui è fatto, il colore, il peso, ecc.

Più precisamente, si può affermare che il solido ha tre dimensioni:

lunghezza, larghezza e spessore.

Infine, il solido si può considerare come l'ente geometrico generato dal movimento di una superficie.

A conferma di ciò, provate a prendere, ad esempio, una figurina e a spostarla in varie direzioni;

ci si accorgerà allora che in questo modo è possibile «generare» una infinità di solidi diversi.

E' a partire dalle nozioni di punto, linea, superficie e solido, che si giunge a un'altra importante nozione geometrica, quella di figura.

Infatti:

la figura è l'insieme di enti geometrici.

Il punto sarà allora, oltre che un ente geometrico, anche la figura geometrica più semplice.

- la geometria piana è quella parte della geometria che si occupa delle figure situate su uno stesso piano.

- la geometria solida invece è quella parte della geometria che si occupa delle figure i cui punti non appartengono a un unico piano.

VERO O FALSO?

2) Una superficie è generata da una linea in movimento.

3) Lo spazio è generato da una superficie in movimento.

4) Due linee che hanno uno o più punti in comune si dicono intersezioni.

l) Falso:

è limitato da una superficie.

2) Vero.

3) Falso: lo spazio e l'insieme di tutti i punti.

4) Falso:

sono i punti in comune e non le linee che si dicono intersezioni.

ESERCIZI

- Disegnate una superficie generata dal movimento della stessa linea.

- Disegnate infine un solido a partire dalla superficie ottenuta in precedenza.

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