SCALARE, PRODOTTO
In matematica, il prodotto scalare è una particolare operazione binaria che prende due vettori e restituisce un numero (che in generale è detto appunto scalare).Il prodotto scalare più usato è il prodotto scalare canonico dello spazio euclideo, che associa a due vettori
il numero
dove
denota una
sommatoria.
Ad esempio, il prodotto scalare di due vettori tridimensionali
[1, 3, −2] e [4, −2, −1] è
[1, 3, −2]·[4, −2, −1] = 1×4 + 3×(−2) + (−2)×(−1) = 0.
Notazioni
Spesso il prodotto scalare fra a e b si indica
anche come 
o come 
.Utilizzando il prodotto tra matrici e considerando i vettori come matrici
, il prodotto scalare canonico si
scrive anche come
dove
è la
trasposta
di a. L'esempio visto sopra si scrive quindi in notazione matriciale nel modo
seguente:
Interpretazione geometrica
Nello spazio euclideo il prodotto scalare è strettamente connesso con le lunghezze e gli angoli fra vettori. Infatti
è il quadrato della lunghezza |a| del
vettore a, ed il prodotto tra due vettori a e b è dato
da
dove |a| e |b| sono le lunghezze di a e b, e θ è l'angolo tra i due vettori.
Poiché |a|·cos(θ) è la proiezione ortogonale di a su b, il prodotto scalare può essere compreso geometricamente come il prodotto di questa proiezione con la lunghezza di b.
Poiché il coseno di 90° è zero, due vettori hanno prodotto scalare nullo se e solo se sono perpendicolari. Se a e b hanno lunghezza 1, il loro prodotto scalare misura semplicemente il coseno dell'angolo compreso. Quindi, dati due vettori, l'angolo compreso può essere ricavato dalla formula data sopra nel modo seguente:
Notiamo che in questo modo possiamo definire un angolo fra due vettori in dimensione arbitraria.
Casi particolari:
(Interpretazione geometrica del prodotto scalare)
SCALENO, TRIANGOLO
Si definisce triangolo scaleno un triangolo i cui tre lati hanno lunghezze diverse o, equivalentemente, un triangolo i cui tre angoli sono diversi.Classificazione dei triangoli scaleni e classi di similitudine dei triangoli
Come per i triangoli isosceli, ogni trasformazione di similitudine trasforma un triangolo scaleno in un altro triangolo scaleno.Vediamo ora come si possono classificare le classi di similitudine dei triangoli scaleni. Ciascuna classe si può rappresentare con un triangolo scaleno il cui lato maggiore ha lunghezza 1 e possiamo ricondurre il suddetto problema di classificazione al problema della parametrizzazione di questi triangoli rappresentativi. A questo fine consideriamo il triangolo curvilineo che ha come vertici A e B estremi del segmento AB di lunghezza 1 (che tracciamo orizzontalmente) e V, terzo vertice del triangolo equilatero avente come lato AB posto al di sopra dello stesso AB; T è delimitato da AB, dall'arco AV della circonferenza con centro in B e raggio 1 e dall'arco VB della circonferenza con centro in A e raggio 1. Inoltre chiamiamo M il punto medio di AB, S la semicirconferenza di centro in M e raggio 1/2 posta al di sopra di AB ed O il punto di intersezione della mediana VM con la S.
Si osserva che muovendo C all'interno e sulla frontiera di T si individuano tutte le classi di similitudine dei triangoli.
Se C=V si ha il triangolo equilatero di lato 1.
Per C=O si ha il triangolo isoscele rettangolo con l'ipotenusa di lunghezza 1 e i cateti
di lunghezza
.Se C si trova tra M ed O si hanno i triangoli isosceli ottusangoli.
I triangoli isosceli acutangoli con base più lunga dei lati uguali
si ottengono con C all'interno di OV; i triangoli isosceli acutangoli con base più corta dei lati uguali si ottengono con C all'interno dell'arco AV; facendo variare C sull'arco BV si ottengono gli stessi triangoli in quanto due triangoli ABC1 e ABC2 con C1 nell'arco AV e con C2 nell'arco BV ottenuto dal precedente per riflessione rispetto alla mediana forniscono triangoli trasformabili l'uno nell'altro con una rotazione.
Ogni punto C interno di AM determina un triangolo degenere ottenibile facendo tendere
un vertice C verso un punto del lato opposto AB; ogni punto di MB individua una entità equivalente a quella determinata dal punto simmetrico rispetto ad M.
I triangoli rettangoli sono individuati da C che varia sulla semicirconferenza S;
due triangoli ABC1 e ABC2, dove ancora C1 e C2 denotano due punti simmetrici rispetto alla MV individuano due triangoli rettangoli trasformabili l'uno nell'altro solo ricorrendo a una riflessione.
Ogni punto C dell'insieme D dei punti interni al triangolo T non appartenenti ad MV
individua biunivocamente un triangolo scaleno rappresentativo di una classe di similitudine; infatti i triangoli corrispondenti a C in D hanno lati diversi con AC e BC più corti di AB.
Consideriamo due punti C1 e C2 simmetrici rispetto alla mediana MV,
il primo appartenente alla metà sinistra di D, il secondo alla destra; essi determinano due triangoli scaleni trasformabili l'uno nell'altro solo ricorrendo ad una riflessione, in particolare con la riflessione rispetto alla MV; si osserva che il secondo di questi ABC2 si può anche ottenere dal primo ABC1 sottoponendolo alla riflessione rispetto alla retta contenente AB e successivamente alla rotazione di π intorno ad M.
Quando C si trova (non appartenendo alla MV) al di sotto della semicirconferenza S si hanno i triangoli scaleni ottusangoli, quando si trova sulla S (diverso da O) i triangoli scaleni rettangoli e quando si trova al di sopra della S i triangoli scaleni acutangoli.
SECANTE
Per retta secante di una curva si intende una retta che interseca la curva in due o più dei suoi punti. Questo termine deriva dal latino "secare", per "tagliare".Due linee piane sono secanti se hanno un punto in comune e si “attraversano” (in quel punto). Due linee dello spazio sono secanti se hanno un punto in comune.
In trigonometria la secante di un angolo è uno dei rapporti che lo caratterizzano, precisamente il reciproco del coseno:
SEGMENTO
In geometria un segmento è una parte di retta delimitata da due punti, detti estremi.Quando i due estremi si trovano su una circonferenza, il segmento è detto corda.
Quando i due estremi sono vertici di un poligono, il segmento è detto lato se i due vertici sono adiacenti, altrimenti è detto diagonale.
Segmenti consecutivi
Due segmenti sono consecutivi se hanno un estremo in comune e nessun altro punto.
Segmenti adiacenti
Due segmenti consecutivi sono adiacenti se appartengono alla stessa retta, l'uno opposto all'altro.
Segmenti sovrapposti
Due segmenti sono sovrapposti se hanno un estremo in comune e tutti i punti di uno (quello minore) sono in comune con i punti dell'altro segmento.
Segmenti intersecati
Due segmenti sono intersecati fra loro se hanno un punto qualsiasi in comune e nessun altro punto.SEMPLIFICARE
Semplificare una frazione
Semplificare una frazione vuol dire ridurla e, a seconda di ciò che è richiesto, renderla eventualmente irriducibile.Esempio
è
una frazione irriducibile, mentre 
non lo è; in questo caso è
più conveniente ridurla ai minimi termini, bensì semplificare
numeratore e denominatore per 2, in modo da sommare due frazioni con lo stesso
denominatore;
Oltre alle frazioni, le espressioni che si semplificano sono di vario tipo: bisogna in particolare distinguere le semplificazioni che conservano l'integrità di un'espressione o di un ente matematico da quelle che non la conservano.
Semplificazioni che conservano l'equivalenza logica
Se si dividono per 7 entrambi i membri dell'equazione
si ottiene un'equazione logicamente equivalente:
Questa equazione ha lo stesso insieme di soluzioni di quella di partenza, costituito in effetti da u solo valore di x, che è 3. Possiamo dunque, senza danno, semplificare per 7.
Semplificazioni che conservano o meno l'equivalenza logica
Se si ha l'equazione seguente:
e si vuole “semplificare” per (x + 5), che effettivamente un fattore comune ai due membri, si avrebbe come risultato l'equazione dell'esempio precedente. Questa volta si rischia, a seconda dell'insieme che descrive, la variabile, di non ottenere più lo stesso insieme di soluzioni e dunque di “perdere” l'equivalenza logica richiesta per le trasformazioni di un'equazione.
Se l'equazione in esame è definita su
, la semplificazione non porta a perdere delle soluzioni, poiché
–5 non è un valore che appartiene a quelli che la variabile
può assumere; ma quando l'equazione è definita su un insieme
di numeri relativi, questa soluzione andrebbe perduta.SENO
Dato un triangolo rettangolo, il seno di uno dei due angoli interni adiacenti all'ipotenusa è definito come il rapporto tra le lunghezze del cateto opposto all'angolo e dell'ipotenusa.Più in generale, il seno di un angolo α, espresso in gradi o radianti, è una quantità che dipende solo da α, costruita usando la circonferenza unitaria.
Definendo come sen(x) il valore del seno nell'angolo x, si ottiene la funzione seno, una funzione trigonometrica di fondamentale importanza nell'analisi matematica.
Definizione
Nel triangolo rosso in figura, il seno di x è dato da
Più in generale, si definisce il seno prendendo una circonferenza di raggio unitario ed una semiretta uscente dall'origine che forma un angolo x con l'asse delle ascisse come in figura. Il seno dell'angolo x è quindi definito come il valore della coordinata y del punto di intersezione tra la semiretta e la circonferenza (in figura, è la lunghezza del segmento CD).
Definizione di senoFunzione seno
La funzione seno è definita associando ad x il seno dell'angolo x (rappresentato in radianti), ed è indicata con sen(x). Poiché x e x + 2π definiscono lo stesso angolo, la funzione seno è una funzione periodica di periodo 2π (2π è l'angolo giro).
[Rappresentazione grafica della funzione seno]
Seno e coseno
Tra seno e
coseno esiste
la relazione fondamentale:
che è conseguenza del teorema di Pitagora. Infatti nel triangolo OCD nella figura in alto il coseno di x è definito come
D'altra parte il teorema di Pitagora applicato al triangolo OCD fornisce la relazione
e quindi
SENI, TEOREMA DEI
In trigonometria, il teorema dei seni esprime una relazione di proporzionalità diretta fra le lunghezze dei lati di un triangolo e i seni dei rispettivi angoli opposti.
Si consideri il triangolo generico ABC rappresentato nella figura a lato, in cui gli angoli sono indicati da lettere greche minuscole e i lati opposti agli angoli dalle corrispondenti lettere latine minuscole.
Vale quindi:
dove R è il raggio del cerchio circoscritto al triangolo ABC e
è l'area del triangolo ricavata dal semiperimetro p grazie alla formula di Erone.
Teorema dei seniSERIE
Nell'analisi matematica il meccanismo delle serie è stato introdotto per generalizzare l'operazione di somma al caso in cui si vogliano sommare infiniti termini.Formalmente si definisce serie una particolare successione associata ad un'altra successione predeterminata: il termine n-esimo della successione serie viene definito come la somma parziale dei primi n termini della successione predeterminata.
Le serie si distinguono primariamente in base alla natura dei termini che si sommano. Le serie di numeri reali o complessi sono utilizzate, in particolare, per calcolare vari numeri irrazionali a partire da successioni di numeri razionali; le serie di funzioni costituiscono un efficace strumento per lo studio delle funzioni speciali e per la risoluzione di equazioni differenziali. Vengono anche considerate serie di altre entità: serie formali di potenze, serie formali varianti delle precedenti, serie di vettori, di matrici, di linguaggi formali.
Definizioni
Consideriamo una prima successione numerica
ed associamo ad ogni 
la cosiddetta somma parziale definita
da:
ovvero dall'espressione generale
Definiamo dunque serie la successione delle somme parziali.
In altri termini l'n-esima componente della nuova successione è la somma delle prime n componenti della successione di partenza; essa è chiamata somma parziale n-esima della prima successione, mentre
viene detto termine generale.Con la scrittura
si intende formalmente
il
limite
della successione delle somme parziali, ovvero 
.Il limite sopra enunciato si definisce somma della serie, ed esprime il carattere della serie. Con tale scrittura però è ormai invalsa l'abitudine di riferirsi anche alla serie in sé, non solamente alla sua somma. Sono dunque entrambe sensate le scritture
e 
, in quanto con la prima ci si riferisce alla
successione delle somme parziali, con la seconda si asserisce che il suo limite
(la sua somma) esiste ed è finito.La precedente definizione può ripetersi in modo prevedibile per successioni e serie i cui indici corrono sui numeri naturali con lo zero, cioè l'indice varia in n = 0, 1, 2, ... . Queste definizioni possono essere riprese anche per successioni e serie di funzioni: ad esempio per funzioni di una varibile complessa z:
SETTORE CIRCOLARE
Un settore circolare è una porzione di cerchio limitata da due raggi.
La sua area è una parte di quella del cerchio; se si considera un settore di vertice O e di angolo 42°, l'area del settore circolare è 42/360 di quella del cerchio.
Sia
la misura in radianti dell'angolo e
r quella del raggio del cerchio, l'area del settore circolare
è misurata da:
SFERA
Una superficie sferica è una superficie i cui punti sono tutti equidistanti da un punto chiamato centro.Una superficie sferica racchiude una porzione di spazio, cioè un solido, che si chiama sfera.
I punti di una superficie sferica di centro O e raggio r sono tutti e soli i punti la cui distanza da O è esattamente uguale a r : OM = r.
I punti N della sfera di centro O e di raggio r sono tutti e soli quelli la cui distanza da O è minore o uguale a r; la sfera è detta
- chiusa se comprende la superficie sferica,
- aperta in caso contrario, ON < r.
Area e volume
L'area della superficie sferica di raggio r è data dall'equazione:
mentre il volume racchiuso dalla sfera di raggio r è dato dall'equazione:
SGHEMBO
Rette sghembe sono due rette non complanari, cioè che non giacciono in uno stesso piano.Linee (o curve) sghembe sono linee che non giacciono in un piano.
SIMILE
Una figura è un'insieme di punti. Due figure simili F e F' del piano o dello spazio si corrispondono punto per punto. Se M e N sono due punti qualunque dell'una e M' e N‘ i due punti corrispondenti dell'altra, il rapporto tra M'N' e MN è fissato: se è minore di 1, F' è una riduzione di F, e, se è maggiore di 1, un ingrandimento.Se due elementi, l'uno di una figura, l'altro dell'altra figura, si corrispondono, si dicono omologhi. Si può anche dire che, per due figure simili, tutti i segmenti omologhi hanno lunghezze che stanno nello stesso rapporto.
Fra due figure simili si può stabilire una similitudine. La similitudine di due figure è dunque una corrispondenza punto a punto che conserva i rapporti.
Due figure simili hanno la stessa forma; se hanno degli angoli, la loro ampiezza si conserva. La similitudine conserva dunque i rapporti delle lunghezze e le ampiezze degli angoli.
SIMILITUDINE
La similitudine è una particolare trasformazione geometrica nella quale ad una figura ne corrisponde un'altra avente la stessa forma. I segmenti che si corrispondono in una similitudine sono in un rapporto costante che prende il nome di rapporto di similitudine, gli angoli corrispondenti sono, invece, congruenti.Un caso importante di similitudine è l'omotetia. A partire, infatti, dalle omotetie composte con isometrie quali la traslazione, la rotazione e le simmetrie si ottengono tutte le possibili similitudini.
SIMMETRIA
Una simmetria di una figura geometrica è una trasformazione che lascia la figura invariata. In ogni caso, le "trasformazioni" formano un gruppo con l'operazione di composizione, e le simmetrie formano un sottogruppo, detto gruppo delle simmetrie della figura. In altre parole, si verificano i fatti seguenti:- fra le simmetrie di un oggetto, c'è sempre l'identità: è la trasformazione che lascia tutti i punti fermi;
- la composizione di due simmetrie è sempre una simmetria;
- una simmetria ha sempre una inversa, che è ancora una simmetria.
Punti fissi
I punti fissi sono i punti della figura geometrica che restano fermi in una simmetria. Se esiste un solo punto fisso (come accade, ad esempio, in una rotazione nel piano), questo è detto centro della simmetria, mentre se i punti fissi formano una retta (come in una riflessione nel piano, o una rotazione nello spazio) questa è l'asse della simmetria. Alcune trasformazioni (ad esempio le traslazioni) non hanno punti fissi.SISTEMA DI DISEQUAZIONI
Un sistema di disequazioni è un insieme di più disequazioni, che devono essere contemporaneamente verificate.Esso può avere una o più incognite, espressamente indicate.
"Grado di un sistema" è il prodotto dei gradi delle singole disequazioni. In un sistema di m disequazioni ed n incognite, il numero delle disequazioni può essere: maggiore del numero delle incognite (m > n) uguale al numero delle incognite (m = n) minore del numero delle incognite (m < n)
Risolvere un sistema rispetto alle incognite indicate significa determinare l'insieme S dei valori che, rispettivamente sostituiti ad esse, verificano tutte le disequazioni che lo costituiscono.
Esempio di sistema di disequazioni di primo grado
che ha come soluzione :
, ovvero
.Sistemi impossibili
Un sistema di disequazioni può essere impossibile se non c'è un insieme di valori che soddisfino tutte le disequazioni:
si risolve nel sistema :
. Evidentemente non ha soluzioni perché non esiste un numero che
stia tra -1 e 1 e sia contemporaneamente maggiore di 6Un sistema può anche essere impossibile se almeno una delle sue disequazioni non ha soluzioni:
È impossibile perché la prima disequazione non ha soluzioni.
SISTEMA DI EQUAZIONI
In matematica, un sistema di equazioni è un insieme di più equazioni che devono essere contemporaneamente verificate. Esso può avere una o più incognite.Ad esempio,
è un sistema con due equazioni e due incognite. Geometricamente, questo sistema descrive l'intersezione di una circonferenza e una retta nel piano cartesiano.
Definizioni
Scrittura generica
La scrittura generica di un sistema di m equazioni in n incognite è la seguente:
dove
esprimono le
funzioni
delle incognite.Insieme di definizione
L'insieme ambiente A è l'insieme dei valori che possono assumere le variabili, ed è specificato a priori. Generalmente, si assume che le variabili siano reali, e che le funzioni abbiano senso per ogni valore dell'insieme ambiente. Spesso l'insieme ambiente viene determinato a posteriori valutando per quali valori reali il sistema ha senso (valutando quindi il suo insieme di definizione). Ad esempio, il sistema
ha senso per ogni coppia di numeri reali (x,y) con
.Formalmente, l'insieme ambiente è quindi un sottoinsieme dello spazio euclideo
, dove n è il numero di incognite.In generale, i sistemi possono essere studiati anche con variabili non reali: possono essere ad esempio complesse, o più generalmente appartenere a qualche anello o campo.
Risolvere un sistema
Risolvere un sistema significa determinare l'insieme S dei valori che, sostituiti alle variabili, verificano tutte le equazioni. L'insieme S è un sottoinsieme dell'insieme ambiente, e prende il nome di insieme delle soluzioni; ciascuno dei suoi elementi è una soluzione del sistema.Se
è l'insieme
delle soluzioni della i-esima equazione, abbiamo
Altre definizioni
- Due sistemi sono equivalenti se hanno lo stesso insieme delle solzioni.
- Un sistema è risolubile se ha almeno una soluzione.
- Un sistema è polinomiale se ogni equazione è un polinomio. In questo caso il suo grado è il prodotto dei gradi dei singoli polinomi.
- Un sistema è fratto se ogni equazione può essere espressa come frazione di polinomi. In questo caso l'insieme di definizione non contiene i valori per cui i denominatori di queste equazioni si annullano, a meno che questi non siano punti di discontinuità eliminabili.
- Un sistema è letterale se nelle equazioni compaiono coefficienti espressi come lettere, detti parametri. In questo caso l'insieme di definizione e delle soluzioni dipende da questi parametri.
SOLIDO
Un solido è una parte di spazio limitata da una superficie chiusa. La superficie di un solido può, o meno, partire da certi tagli, essere distesa su un piano: essa viene allora detta sviluppabile. la figura così ottenuta si dice lo sviluppo della superficie.Quando un solido è limitato da facce piane che sono dei poligoni, è un poliedro; le superficie poliedriche sono sviluppabili.
SOLUZIONE
In matematica, un'equazione è una uguaglianza tra due espressioni contenenti una o più variabili, dette incognite.Un insieme di valori che, sostituiti alle incognite, rende vera un'equazione è chiamato soluzione. Risolvere un'equazione significa esplicitare l'insieme di tutte le soluzioni dell'equazione.
Dominio
Il dominio delle variabili incognite è un
insieme di valori per cui l'equazione ha senso, ed è generalmente fornito
assieme all'equazione. L'insieme delle soluzioni è fortemente
condizionato dal dominio: per esempio l'equazione
non ammette soluzioni se il dominio è l'insieme dei numeri razionali, mentre ammette due soluzioni nei numeri reali, che possono essere scritte come
. Analogamente, l'equazione
non possiede soluzioni reali ma è risolvibile se il dominio è l'insieme dei numeri complessi.
Generalmente, un'equazione che non ammette soluzioni si dice impossibile, mentre un'equazione che ammette come soluzioni tutto il dominio è talvolta indicata come indeterminata o identica, a seconda del contesto.
SOMMA
Una somma di due termini è il risultato di un'addizione eseguita su i suoi termini. (V. Addizione).SOMMA, ALGEBRICA
Con somma algebrica si intende l'operazione di addizione o sottrazione di numeri in generale complessi, quindi anche reali.Procedimento
Poiché sottrarre ad un numero relativo un altro relativo equivale ad addizionarne l'opposto, le due operazioni diventano una sola.Data una sequenza di addizioni e sottrazioni di numeri relativi
- questi vengono scritti di seguito, eliminando i segni di operazione
- si tralasciano le parentesi
- ogni numero relativo sommato mantiene lo stesso segno che aveva
- ogni numero relativo sottratto cambia di segno
- si procede addizionando come di consueto
Esempi
Somma algebrica di monomi
La somma algebrica di due o più monomi simili è un monomio simile agli addendi e concorde con questi se gli addendi sono concordi tra loro; se gli addendi sono discordi il segno del monomio somma è quello dell'addendo avente valore assoluto maggiore.SOTTRAZIONE
In matematica, la sottrazione è una delle quattro operazioni aritmetiche fondamentali. È di solito denotata con un segno meno infisso: "−"I nomi tradizionali per i termini della sottrazione
c − b = a
sono minuendo (c), sottraendo (b), e differenza (a).
Matematicamente è spesso utile vedere la sottrazione non come un'operazione separata, ma come addizione dell'opposto del sottraendo. Così, 7-3 diventa la somma di 7 e di "−3". In questo modo, si possono applicare alla sottrazione tutte le regole familiari e la nomenclatura dell'addizione. Si consideri inoltre che la sottrazione non è commutativa né associativa, ma l'addizione di quantità con segno sì; questo significa che un matematico non userà spesso le parole "minuendo" e "sottraendo" ma considererà 7-3 come la somma degli addendi "7" e "−3".
Definizione di sottrazione Proprietą della sottrazioneSPAZIO
Lo sazio è un insieme dotato d'una struttura (spazio vettoriale, spazio metrico)Gli spazi di punti
Dotata una retta, o un piano, o lo spazio di un sistema di riferimento cartesiano, un punto può essere individuato da 1 numero su una retta, da 2 numeri in un piano, da 3 numeri nello spazio; di conseguenza, una retta, un piano, lo spazio sono “spazi” rispettivamente a 1, 2 e 3 dimensioni.Spazio senza altra precisazione significa spazio nel quale occorrono tre coordinate per individuare un punto; è quello che più assomiglia allo spazio ordinario, quello degli oggetti in rilievo, che in matematica si chiamano solidi.
SPIGOLO
Lo spigolo di un diedro è l'intersezione dei due semipiani che limitano il diedro. Lo spigolo di un poliedro è l'intersezione di due facce di un poliedro.SUPERFICIE
Il concetto di superficie si forma in modo intuitivo nell'esperienza quotidiana, considerando ad esempio il bordo di oggetti concreti o lamine estremamente sottili. In matematica queste idee vengono formalizzate intendendo con superficie un ente geometrico che si può pensare generato in vari modi, come dal movimento continuo di una linea oppure dal contorno di un corpo solido. Essa può essere piana, curva, limitata, illimitata, chiusa o aperta. Le definizioni matematiche sono diverse ma sono tutte quante racchiuse nella nozione di "superficie astratta" e di varietà differenziabile. Nei casi più comuni il termine è usato per riferirsi a superfici in uno spazio tridimensionale.
Superficie
nello spazio tridimensionale
Definizioni
Una superficie in uno spazio euclideo tridimensionale (dotato un sistema di assi cartesiani x,y,z), viene generalmente definita in tre modi distinti, riconducibili l'uno all'altro solo sotto opportune condizioni. A seconda della definizione si dice che la superficie è data in forma implicita, forma esplicita o forma parametrica.Forma parametrica - viene chiamata superficie l'immagine di una funzione continua di due variabili reali nello spazio euclideo tridimensionale
Le coordinate dei punti della superficie sono date dalle equazioni parametriche:
al variare dei due parametri u e v.
Questa è la definizione generalmente più utile ai fini pratici, in quanto permette in modo agevole il calcolo di aree e di integrali di superficie.
- Forma implicita - la superficie viene definita come il luogo dei punti le cui coordinate (x,y,z) soddisfino una equazione cartesiana:
dove F è una funzione continua non costante a valori reali.
- Forma esplicita - la superfice viene definita come
grafico di una funzione
reale del piano: data una funzione
continua, la superficie è
l'insieme dei punti (x,y,f(x,y)). Spesso si indica la
superficie semplicemente tramite l'equazione:
SUPPLEMENTARI, ANGOLI
In geometria due angoli si dicono supplementari se la somma delle loro ampiezze è 180 gradi.Se i due angoli supplementari sono adiacenti (cioè se hanno in comune un vertice e un lato, ma nessun punto interno) i loro lati non comuni formano un angolo piatto.
In geometria euclidea:
- due angoli di un quadrato o di un rettangolo sono supplementari,
- due angoli adiacenti di un trapezio sono supplementari.
SVILUPPARE, SVILUPPO
Quando si chiede di sviluppare un'espressione data, questa ha in generale la forma di un prodotto e le si vuole dare la forma di una somma algebrica: si tratta perciò di distribuire un termine (o due) su più termini.Esempio.
è un prodotto; distribuendo il fattore
a sui termini fra parentesi, si sviluppa questo
prodotto:
In geometria con sviluppo di solidi si intende riportare, attraverso determinate costruzione geometriche, la superficie di un solido su un stesso piano e in modo che sia in vera forma e misura.
