Dizionario di matematica e geometria iniziale P

PARALLELA, PARALLELO

Rette parallele

Se r e s sono due rette tracciate a caso in un piano, due disposizioni sono possibili:

• le rette si tagliano in un punto, nel foglio o fuori dal foglio: sono secanti;
• le rette, anche se indefinitamente prolungate, non si incontrano: sono allora parallele.

Due rette parallele sono due rette che non hanno alcun punto in comune.

Nella geometria "ordinaria", da un punto che non appartiene a una data retta, si può mandare una parallela a tale retta, e se ne può mandare una sola. Tale affermazione è detta il postulato delle parallele o postulato di Euclide.

A una retta qualunque del piano corrisponde un'infinità di rette che sono fra loro parallele: questo insieme di rette si dice una direzione. Dire che due rette hanno la stessa direzione significa dire che sono parallele. Nel piano c'è un'infinità di direzioni.

Se due rette sono parallele, ogni perpendicolare all'una è perpendicolare all'altra. Due perpendicolari a una stessa retta sono parallele fra loro. Due rette parallele hanno fra loro una distanza costante, misurata su una qualunque perpendicolare comune.

Se due rette sono parallele, una qualunque retta che intersechi una di esse interseca anche l'altra.

Una secante determina su due rette parallele otto angoli; se è perpendicolare alla due rette parallele, tutti questi angoli sono retti. Se invece non è perpendicolare, si hanno quattro angoli acuti congruenti e quattro angoli ottusi congruenti. Gli angoli in questione sono congruenti a due a due se sono alterni interni, alterni esterni o corrispondenti; gli angoli non congruenti sono supplementari.

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Piani paralleli

Due piani paralleli non hanno alcun punto in comune.

Se due piani sono paralleli, ogni retta perpendicolare all'uno è perpendicolare all'altro. Se due piani sono paralleli, ogni piano perpendicolare all'uno è perpendicolare all'altro.

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PARALLELEPIPEDO

Nella geometria, per parallelepipedo (etimologicamente: a piani, in greco epipedòn, paralleli) si intende usualmente un poliedro le cui facce siano tutte parallelogrammi (ed in numero di 6). Gli angoli formati dalle sue facce non sono necessariamente angoli retti; se questo accade si parla di parallelepipedo rettangolo e tutte le sue facce sono dei rettangoli. Le facce appartenenti a piani paralleli sono dette opposte: la faccia sulla quale il parallelepipedo sembra appoggiato e quella ad essa opposta sono le basi del parallelelpipedo. Le facce distinte dalle basi costituiscono la superficie laterale del parallelepipedo.

Parallelepipedo rettangolo

Il parallelepipedo rettangolo è un parallelepipedo le cui facce sono rettangoli. Le proprietà di un parallelepipedo rettangolo sono quelle di un parallelepipedo, ma in più:

• le sue quattro diagonali sono isometriche;
• il suo centro di simmetria diventa anche il centro di una sfera circoscritta;
• esso è simmetrico rispetto a ciascuno dei piani che contengono i punti medi di quattro spigoli paralleli: questi piani si intersecano nel centro del parallelepipedo rettangolo.

L'area laterale di un parallelepipedo rettangolo è uguale al prodotto del perimetro di base per l'altezza

Il volume di un parallelepipedo rettangolo o no, è uguale al prodotto dell'area di base per l'altezza:

PARALLELOGRAMMA

In geometria un parallelogramma è un quadrilatero nel quale i lati opposti sono paralleli.

Un parallelogramma con i quattro lati congruenti è un rombo; un parallelogramma che ha i quattro angoli interni congruenti (e quindi retti) è un rettangolo; un parallelogramma per il quale sono congruenti sia i lati che gli angoli interni (e che quindi è sia un rombo che un rettangolo) è un quadrato.

Un quadrilatero è un parallelogramma se e solo se le sue diagonali si bisecano, cioè ciascuna divide l'altra in due segmenti congruenti.

Un quadrilatero è un parallelogramma se e solo se tutte le coppie di suoi angoli interni consecutivi sono costituite da angoli supplementari.

Un quadrilatero è un parallelogramma se e solo se le due coppie di angoli interni opposti sono costituite da angoli congruenti.

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PARI

Una funzione numerica si dice pari quando, per due qualsiasi valori opposti della variabile, essa fornisce lo stesso risultato. Per esempio, si verifica che le funzioni

sono funzioni pari (ovviamente ciascuna nel proprio insieme di definizione).

Criterio per stabilire se una funzione f è pari:

• se f è definita per x, deve essere definita anche per -x;
• preso un qualsiasi valore di x per il quale la funzione è definita, si deve avere:

PENTAGONO

Il pentagono è ogni poligono a cinque lati, comunque, il termine viene comunemente usato per indicare un pentagono regolare, dove tutti i lati sono uguali e tutti gli angoli sono pari a 108°. Un pentagramma può essere formato da un pentagono regolare o estendendo i suoi lati, o disegnando le sue diagonali, e la figura risultante contiene varie lunghezze correlate dalla proporzione aurea.

PERCENTUALE

La percentuale è un modo di esprimere un rapporto tra due quantità. Formalmente,

a è il x% di b (si legge a è il x percento di b)

In realtà però la percentuale viene solitamente utilizzata per determinate coppie di valori:

1. quando i due valori misurano le cardinalità di due insiemi uno incluso nell'altro (ad esempio "il 30% dei gatti ha macchie beige")
2. quando uno dei due valori misura una variazione dell'altro (ad esempio "la produzione è aumentata del 10%")
3. quando i due valori misurano una stessa grandezza prima e dopo una variazione (ad esempio "i guadagni sono solo il 70% di quelli dell'anno precedente")

Ha poco senso, sebbene sia formalmente corretto, mettere in relazione con una percentuale due quantità che non rientrano in uno di questi 3 casi, anche qualora queste siano effettivamente connesse (ad esempio non si dirà "i danesi sono il 10% degli italiani" ma casomai "il rapporto tra danesi e italiani è di 1 a 10 - oppure - è un decimo").

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PERIMETRO

Se una linea chiusa tracciata in un piano non è intrecciata, determina un interno e un esterno, e limita una certa figura F: si dice allora perimetro di F la lunghezza del contorno della figura così ottenuta, cioè la lunghezza di questa linea.

Se si tratta di un poligono convesso qualunque, bisogna avere, per conoscerne il perimetro, la lunghezza di ciascuno dei suoi lati; per esempio, per conoscere il perimetro di un pentagono è necessario avere la lunghezza dei cinque lati. Il suo perimetro è allora uguale alla somma delle cinque lunghezze.

Se si tratta di poligoni regolari o, più in generale, equilateri, è sufficiente, dal momento che tutti i lati hanno la stessa lunghezza, conoscere quella di uno qualunque fra essi. Il perimetro si ottiene moltiplicando questa lunghezza per il numero dei lati.

Se il poligono, senza essere regolare né equilatero, possiede una proprietà di simmetria rispetto a un asse (triangolo isoscele) o rispetto a un punto (parallelogramma), è possibile economizzare le misure; è sufficiente, per un parallelogramma, conoscere quelle dei due lati non paralleli.

PERPENDICOLARI

Nella geometria piana due rette r e r' individuano quattro angoli , a due a due congruenti perché opposti al vertice. Se pensiamo di tenere fissa la retta r e di far ruotare la retta r' intorno al punto O, l'ampiezza degli angoli varierà e, a un certo punto, essi avranno tutti e quattro la stessa ampiezza: le rette r e r' saranno allora perpendicolari e i quattro angoli saranno retti.

Due rette perpendicolari dividono il piano in quattro regioni che sono ciascuna un quarto di piano e sono dette anche quadranti.

L'ampiezza dell'angolo retto individuato da due rette perpendicolari è 90° o .

 

Per un punto appartenente o non appartenente a una rette data si può condurre una sola perpendicolare.

Se da un punto non appartenente a una retta d, si conduce la perpendicolare a di che la taglia in H, il segmento AH è il più corto fra tutti quelli che congiungono A con un punto qualunque di d. La misura di AH si dice distanza del punto A della retta d.

Retta perpendicolare a un piano

Una retta è perpendicolare in un punto O a un piano quando è perpendicolare a tutte le rette del piano passanti per O.

Una retta perpendicolare a un piano è perpendicolare a tutte le rette del piano che la intersecano e ortogonale a tutte, anche a quelle che non la intersecano.

Piani perpendicolari

Due piani sono perpendicolari quando l'uno contiene una perpendicolari all'altro.

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PI GRECO

La costante matematica π (si scrive "pi" dove le lettere greche non sono disponibili) è utilizzata moltissimo in matematica e fisica. Nella geometria piana, π viene definito come il rapporto tra la circonferenza e il diametro di un cerchio, o anche come l'area di un cerchio di raggio 1. Molti libri moderni di analisi matematica definiscono π usando le funzioni trigonometriche, per esempio come il più piccolo numero (diverso da 0) per cui sin(x) = 0 oppure il più piccolo numero che diviso per 2 annulla cos(x).

Proprietà

π è un numero irrazionale, non può cioè essere scritto come quoziente di due interi. Questo è stato provato nel 1761 da Johann Heinrich Lambert. Inoltre, è un numero trascendente (ovvero non è un numero algebrico): questo fatto è stato provato da Ferdinand von Lindemann nel 1882. Questo significa che non ci sono polinomi con coefficienti interi o razionali di cui π è radice. Di conseguenza, è impossibile esprimere π usando un numero finito di interi, di frazioni e delle loro radici.
Questo risultato stabilisce a l'impossibilità della quadratura del cerchio, cioè la costruzione, con soli riga e compasso, di un quadrato della stessa area di un dato cerchio.

Formule che riguardano π

Geometria

La circonferenza di un cerchio o di una sfera di raggio r: C = 2 π r

L'area di un cerchio di raggio r:

L'area di un'ellisse di semiassi a e b: A = π ab

Il volume di una sfera di raggio r:

La superficie di una sfera di raggio r:

Il volume di un cilindro di altezza h e raggio r:

L'area della superficie di un cilindro di altezza h e raggio r:

Angoli: 180 gradi equivalgono a π radianti

Approssimazioni numeriche di π

A causa della sua natura trascendente, non ci sono semplici espressioni finite che rappresentano π. Di conseguenza i calcoli numerici devono usare approssimazioni del numero. In molti casi, 3,14 o 22/7 è sufficiente, ma molti ingegneri spesso usano 3,1416 (cinque cifre significative) o 3,14159 (6 cifre significative).

PIANO

Inteso come luogo geometrico di punti, il piano, nello spazio tridimensionale, è l'insieme di tutti quei punti la cui proiezione su una retta fissata è uguale.

Dal punto di vista della geometria differenziale il piano è quella superficie che ha entrambe le curvature fondamentali nulle.

Le relazioni che intercorrono tra un piano e i punti e le rette che esso contiene sono espresse dagli assiomi di Euclide e dagli assiomi di Hilbert.

Piani nello spazio tridimensionale

L'equazione canonica del piano nello spazio tridimensionale R3 è del tipo:

in cui sono i parametri direttori del piano.

Equazione cartesiana

Piano passante per tre punti

Siano tre punti dello spazio non allineati. Allora per questi tre punti passa uno ed un solo piano. Per esprimere in modo esplicito la formula cartesiana del piano è sufficiente fare il seguente conto:

cioè annullare il determinante di una matrice i cui coefficienti sono dipendenti dai punti per cui passa il piano e da quelle che saranno le 3 variabili della formula finale.

Distanza di un punto da un piano

È possibile calcolare la distanza di un punto da un piano π utilizzando la seguente formula:

Ovviamente, se d(π,P) = 0, allora il punto P appartiene al piano π.

PIATTO, ANGOLO

Un angolo è piatto quando i suoi lati sono l'uno il prolungamento dell'altro. L'ampiezza di un angolo piatto è 180°; si dice anche talvolta "un angolo piatto vale due retti".

L'angolo piatto vale radianti; il suo seno è nullo e il suo coseno è uguale a .

PIRAMIDE

Si definisce piramide un poliedro individuato da una faccia poligonale chiamata base e da un vertice che non giace sul piano della base e che talora viene chiamato apice della piramide. Sono suoi spigoli i lati del poligono di base e i segmenti delimitati dall'apice e da ciascuno dei vertici della base. Sono facce della piramide la sua base e le facce triangolari che hanno come vertice il suo apice (chiamate facce laterali).

Una piramide è convessa se e solo se il poligono di base è convesso. Si dice altezza di una piramide il segmento che ha una estremità nell'apice e cade ortogonalmente sul piano contenente la base. Talora viene chiamata piramide obliqua una piramide la cui altezza cade al di fuori del poligono di base (o della sua chiusura convessa). Si dice apotema di una piramide retta con base rettangolare ogni segmento che congiunge il suo apice al punto medio di ogni suo lato di base, ovvero la loro lunghezza comune.

Le piramidi più considerate sono quelle che hanno per base un poligono regolare e la cui altezza cade nel centro di tale poligono. Una tale piramide talora viene detta piramide simmetrica; essa in effetti ha la simmetria, elevata, del poligono di base. Spesso per piramide si intende, per antonomasia, una piramide simmetrica a base quadrata.

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PITAGORA, TEOREMA DI

Il Teorema di Pitagora è un teorema della geometria euclidea che stabilisce la relazione fondamentale tra i lati di un triangolo rettangolo.

Enunciato

In ogni triangolo rettangolo la somma delle superfici dei quadrati costruiti sui cateti è equivalente alla superficie del quadrato costruito sull'ipotenusa.

Dato un triangolo rettangolo ABC retto in C, risulta:

Dimostrazione

La dimostrazione classica del teorema di Pitagora completa il primo libro degli elementi di Euclide, e ne costituisce il filo conduttore. Dato che richiede il postulato delle parallele, esso non vale nelle geometrie non-euclidee e nella geometria neutrale.

La dimostrazione più immediata e più diffusa nei libri scolastici consiste nel riempire uno stesso quadrato di lato uguale alla somma dei cateti prima con quattro copie del triangolo rettangolo più il quadrato costruito sull'ipotenusa e poi con quattro copie del triangolo rettangolo più i quadrati costruiti sui cateti, come in figura.

Il Teorema di Pitagora

Teorema di Pitagora generalizzato

Restando nella geometria euclidea, si può generalizzare il teorema di Pitagora per un triangolo qualunque: la sua enunciazione si deve a Lazare Carnot, ed è noto come teorema di Carnot o teorema del coseno (V.).

PIÙ

Il simbolo più è un comune carattere tipografico di tipo matematico-scientifico; esso è visivamente formato da una croce dai bracci perpendicolari sistemati nei sensi verticale ed orizzontale. Il suo nome viene dal latino plus, pluris, sostantivo di genere neutro significante "più, di più".

Utilizzo

Il più assume significati differenti a seconda di quale sia il contesto in cui si trova:

In matematica, esso rimanda all'idea di somma. Quando un numero viene aggiunto ad un altro, il più viene interposto tra le due cifre dando così un'addizione; il seguente è un esempio di quanto detto sopra: m + n = p. Se un numero deve essere sommato molte volte a se stesso si preferisce utilizzare il segno per al posto del più avendo cura che i due numeri moltiplicati siano l'uno la cifra da addizionare molte volte e l'altro il numero di volte che essa deve essere aggiunta; si ottiene quindi una scrittura simile: n + n + n = 3 × n.

In insiemistica, il segno più posto come apice su di una lettera maiuscola può indicare che dell'insieme indicato si considerano solo i valori positivi: ; {0}.

POLIEDRO

Un poliedro è un solido delimitato da un numero finito di facce piane poligonali. Come primi poliedri da prendere in considerazione, per la loro semplicità, vanno segnalati i cubi, i parallelepipedi, le piramidi e i prismi.

I poliedri si possono considerare gli "analoghi tridimensionali" dei poligoni nel piano.

Nozioni di base

Facce, spigoli e vertici

In un poliedro ogni lato di ciascun poligono che costituisce una faccia coincide con il lato di un'altra faccia e viene detto spigolo del poliedro. Ogni vertice di una faccia è vertice di altre facce (almeno 3) e si dice vertice del poliedro; ogni vertice V di un poliedro è collegato mediante 3 o più spigoli ad altri vertici del poliedro e precisamente a tutti i vertici adiacenti ad esso sulle varie facce che hanno V come vertice di poligono.

Si dicono vertici adiacenti del poliedro due vertici che sono estremità comuni di uno spigolo; si dicono spigoli adiacenti del poliedro due spigoli che hanno in comune una estremità costituita da un vertice del poliedro; si dicono facce adiacenti del poliedro due facce che hanno uno spigolo comune. Ciascuna delle tre relazioni di adiacenza fra vertici, spigoli e facce di un poliedro chiaramente è una relazione simmetrica.
Si introducono anche tre relazioni di incidenza; si dicono incidenti: un vertice e uno spigolo di cui il vertice è estremità; un vertice e una faccia di cui il vertice fa parte; uno spigolo e una faccia della quale lo spigolo è lato.

Una prima classificazione dei poliedri riguarda il numero delle loro facce: un poliedro di 4, 5, 6, 7, 8, ...12, ...20, ... facce verrà detto rispettivamente tetraedro, pentaedro, esaedro, ettaedro, ottaedro,... dodecaedro,... icosaedro,....

Convessità e concavità

Si dice poliedro convesso un poliedro tale che ogni coppia di suoi punti interni individua un segmento interamente costituito da suoi punti interni. Un poliedro non convesso si dice poliedro concavo.

Una definizione equivalente si limita a chiedere che tutti i segmenti delimitati da due dei vertici di un poliedro convesso siano costituiti o da suoi punti interni o da suoi punti di frontiera. Un tale segmento talora viene detto diametro del poliedro; altri definiscono diametro di un poliedro un segmento non estendibile con modifiche infinitesimali delle sue estremità.

Un altro modo per definire la convessità di un poligono consiste nel chiedere che siano vere le seguenti due condizioni:

• ogni spigolo è comune a due facce
• il piano di ciascuna faccia lascia tutte le rimanenti facce in uno dei due semispazi che individua. Ovvero il piano inteso come estensione di ciascuna faccia, di un poliedro convesso, non interseca nessuna delle altre facce dello stesso poliedro.

Famiglie di poliedri classici

Ogni piramide si ottiene da una faccia detta base data da poligono a n lati con n ≥ 3 e un vertice non giacente sul piano della base il quale con i lati del poligono di base individua n facce triangolari.

I prismi presentano due facce costituite da due poligoni congruenti di n lati con n ≥ 3 e n facce quadrilaterali.

Le bipiramidi si possono descrivere come ottenute da due piramidi con le basi congruenti fondendo tali basi.

Si osserva che una piramide è convessa se e solo se la sua base è un poligono convesso ed è concava in caso contrario. Una bipiramide è convessa se la base delle due piramidi associate è un poligono convesso e se il piano di tale base lascia i due vertici nei due semispazi che separa; se queste due condizioni non sono entrambe soddisfatte la bipiramide è concava.

Classi speciali di poliedri

Poliedri regolari

Si dice poliedro regolare un poliedro le cui facce sono tutte poligoni regolari e congruenti e i cui vertici sono tutti regolari e dotati di poligoni associati tutti congruenti.

Si dimostra che un poliedro è regolare se e solo se risponde ai seguenti requisiti:

• Ha vertici uniformi.
• Ha spigoli uniformi.
• Ha facce uniformi.

Si dimostra che vi sono solo 9 poliedri regolari e che di questi 5 sono convessi. Di solito vengono chiamati solidi regolari solamente i cinque poliedri regolari convessi.

I solidi platonici

I cinque poliedri regolari convessi sono chiamati anche solidi platonici (o solidi di Platone). Essi sono: il tetraedro regolare, il cubo (o esaedro regolare), l'ottaedro regolare, il dodecaedro regolare e l'icosaedro regolare. In molti contesti la specificazione "regolare" può essere omessa.

La tabella seguente indica per ogni solido platonico il numero di facce (F), di spigoli (S), di vertici (V), il numero di lati di ogni faccia (N), il numero di spigoli che hanno in comune ciascun vertice (M).

Cubo

Dodecaedro

Icosaedro

Ottaedro

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Nome	F	S	V	N	M
Tetraedro	4	6	4	3	3
Cubo o Esaedro	6	12	8	4	3
Ottaedro	8	12	6	3	4
Dodecaedro	12	30	20	5	3
Icosaedro	20	30	12	3	5

Ogni poliedro platonico è inscritto in una sfera e circoscritto ad un'altra; il centro comune si dice centro del poliedro.

Dualità dei poliedri

Ad ogni poliedro P si può associare un poliedro duale P'. Per ogni faccia di P si individua un suo punto interno, meglio se in una posizione centrale, e lo si considera vertice di P'. Due di questi vertici sono collegati da uno spigolo di P* se e solo se le facce d'origine sono adiacenti. Il duale P' di un poliedro P ha il numero dei vertici v(P') uguale al numero delle facce f(P) e il numero delle facce f(P') uguale al numero dei vertici v(P)), mentre il numero di spigoli rimane lo stesso, cioè s(P')=s(P). La dualità dei poliedri può essere definita più rigorosamente come polarità rispetto alla sfera circoscritta).

Duali dei prismi sono le bipiramidi; le piramidi sono autoduali.

La dualità fra i poliedri conviene sia vista come trasformazione involutoria fra classi di affinità di poliedri. Per questa involuzione l'insieme dei solidi platonici viene trasformato in se e precisamente il tetraedro è il trasformato duale di sé stesso; il cubo è duale dell'ottaedro (e viceversa), il dodecaedro è duale dell'icosaedro (e viceversa).

I poliedri di Keplero-Poinsot

I poliedri regolari non convessi sono quattro. Due di essi, i così detti poliedri di Keplero (1571 - 1630) hanno come facce poligoni regolari stellati; altri due, i così detti poliedri di Poinsot, dal nome del matematico francese Louis Poinsot, (1777 - 1859): sono costruiti in modo che le facce possano interpenetrarsi.

Sono poliedri di Keplero:

• Il piccolo dodecaedro stellato che ha come facce 12 pentagoni stellati, ha 12 vertici e 30 spigoli;
• Il grande dodecaedro stellato che ha ancora come facce 12 pentagoni stellati, ha 20 vertici e 30 spigoli;

Sono poliedri di Poinsot:

• il grande dodecaedro che ha 12 facce a forma di pentagoni regolari, ha 12 vertici e 30 spigoli;
• il grande icosaedro ha che ha 20 facce a forma di triangoli equilateri, ha 12 vertici e 30 spigoli;

Piccolo dodecaedro Grande dodecaedro Grande dodecaedro Grande icosaedro stellato stellato

La seguente tabella, con le stesse abbreviazioni precedenti, sintetizza le caratteristiche dei poliedri di Keplero-Poinsot

Nome	F	S	V	N	M
Grande dodecaedro	12	30	12	5	5
Piccolo dodecaedro stellato	12	30	12	5	5
Grande dodecaedro stellato	12	30	12	5	5
Grande icosaedro	20	30	12	3	5

Il grande dodecaedro ed il piccolo dodecaedro stellato sono mutuamente duali; un'altra coppia duale è costituita dal grande dodecaedro stellato e dal grande icosaedro.

Anche i poliedri di Keplero hanno un posto di rilievo nella storia del pensiero greco e rinascimentale e nella storia dell'arte.

Poliedri semiregolari

Un poliedro semiregolare è un poliedro le cui facce sono costituite da diversi tipi di poligoni regolari e se tutti i suoi vertici costituiscono una sola orbita per il suo gruppo di isometria.

Sono poliedri semi-regolari i prismi regolari, gli antiprismi regolari e i solidi archimedei.

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Solidi archimedei

Un solido archimedeo è un poliedro convesso avente come facce almeno due tipi diversi di poligoni regolari, ed avente tutti i vertici costituenti una sola orbita del gruppo delle sue isometrie. Sono in numero di 13.

POLIGONALE

Una linea poligonale è una linea spezzata costituita da una successione di segmenti orientati nel piano, in cui un estremo di ogni segmento è anche estremo del segmento successivo.

POLIGONO

Un poligono è una forma geometrica piana: è quella parte di piano delimitata da una linea spezzata chiusa non intrecciata. I segmenti che compongono la spezzata chiusa si dicono lati del poligono.

Un poligono è detto convesso se è una figura convessa, cioè quando comunque presi due punti appartenenti al poligono, anche il segmento che li congiunge è un sottoinsieme del poligono stesso; concavo altrimenti. Un esempio di poligono concavo è una stella: il segmento che unisce due sue punte è esterno al poligono. Una definizione equivalente di poligono concavo è quella per cui almeno uno dei suoi angoli interni è maggiore di un angolo piatto.

Un poligono è detto regolare quando tutti i lati e tutti gli angoli sono uguali, oppure irregolare negli altri casi. Esempi di poligoni regolari sono il triangolo equilatero ed il quadrato. Esempi di poligoni irregolari sono il rombo generico (i lati sono uguali, gli angoli no), il rettangolo generico (gli angoli sono uguali, i lati no) ed il trapezio.

Proprietà

La somma degli angoli interni di un poligono convesso è pari a tanti angoli piatti quanti sono i suoi lati, meno due. La dimostrazione si può fare per induzione: in un triangolo la somma degli angoli è 180°, e preso un qualunque poligono una sua diagonale lo divide in due altri poligoni con un numero minore di lati, per cui si può far valere l'ipotesi induttiva.

Classificazione

Distinzione in base al numero di lati e, quindi, di angoli:

N° lati	Nome
3	Triangolo
4	Quadrilatero
5	Pentagono
6	Esagono
7	Ettagono
8	Ottagono
9	Ennagono
10	Decagono
11	Endecagono
12	Dodecagono
13	Tridecagono
14	Tetradecagono
15	Pentadecagono
16	Esadecagono
17	Ettadecagono
18	Ottadecagono
19	Ennadecagono
20	Icosagono

POLINOMIO

Un polinomio è una espressione con costanti e variabili combinate usando soltanto somma, sottrazione e prodotto. In altre parole, è la somma algebrica di alcuni monomi. Ad esempio

è la somma di tre monomi. Ogni monomio è un termine del polinomio.

Quando valutati in un opportuno dominio, i polinomi possono essere interpretati come funzioni.

Ad esempio, il polinomio

definisce una funzione dai numeri reali in sé.

Quando questo ha senso, le radici del polinomio sono definite come l'insieme di quei valori che, sostituiti alle variabili, danno all'espressione polinomiale il valore nullo.

Ad esempio, p(x) ha come radici i valori 1 e 2, poiché

I polinomi sono oggetti matematici di fondamentale importanza, alla base soprattutto dell'algebra, ma anche dell'analisi e della geometria.

Definizione di polinomio

Nomenclatura

Un polinomio può essere

• ridotto in forma normale, quando è stato semplificato, sono stati accorpati i suoi termini simili e sono stati eliminati gli eventuali monomi nulli. Ad esempio:

ridotto in forma normale diventa

x + y,

• nullo, se consta del solo zero,
• monomio, binomio, trinomio, quadrinomio... se è la somma di 1, 2, 3, 4... monomi.

Due polinomi sono generalmente considerati uguali se, dopo essere stati ridotti in forma normale, hanno gli stessi termini, a meno dell'ordine. Quindi i polinomi seguenti sono uguali:

Il grado di un polinomio non nullo e ridotto in forma normale è il massimo grado dei suoi monomi. Quindi:

2 + xy + y

ha grado due.

I coefficienti di un polinomio sono definiti come l'insieme dei coefficienti dei singoli termini.

Quindi i coefficienti di 2 + xy + y sono rispettivamente 2, 1 e 1: il coefficiente 1 in un monomio è solitamente sottointeso.

Il termine noto di un polinomio ridotto in forma normale è l'unico monomio (se esiste) di grado zero, cioè non contenente variabili. Se non esiste un tale monomio, il termine noto è considerato generalmente inesistente o zero, secondo il contesto. Ad esempio, in

il termine noto è l'ultimo monomio, "5".

Un polinomio è omogeneo se tutti i monomi hanno lo stesso grado. Ad esempio,

Operazioni con i polinomi

Due polinomi possono essere sommati, sottratti, e moltiplicati usando le usuali proprietà commutativa, associativa e distributiva delle operazioni di somma e prodotto. Ad esempio, se

allora la somma ed il prodotto di p e q sono rispettivamente

Il quoziente di due polinomi non è invece generalmente riconducibile ad un polinomio.

Addizione di polinomi

Moltiplicazione di due polinomi

Riduzione delle variabili

In un polinomio, è spesso utile considerare alcune variabili come costanti. Ad esempio, il polinomio

può essere considerato anche come polinomio in x soltanto, dando a y il ruolo di un valore costante. Alternativamente, può essere visto come polinomio in y soltanto.

Le proprietà dei polinomi che ne risultano possono essere molto diverse tra loro: qui ad esempio p ha grado 2 rispetto a x, e solo 1 rispetto a y. Ad esempio, il polinomio

è di grado 5, ma se visto soltanto nelle singole variabili x, y e z ha grado rispettivamente 2, 3 e 4.

Polinomi di una sola variabile

Un polinomio con una sola variabile può essere scritto agevolmente nel modo seguente:

con diverso da zero. Con questa scrittura, è il termine noto e n è il grado.

Un tale polinomio è monico, se = 1, completo, se tutti gli ai sono diversi da zero, per i = 0, ..., n.

Radici di un polinomio

Una radice di un polinomio p(x) è un numero b tale che

p(b) = 0,

cioè tale che, sostituito a x, rende nulla l'espressione. Quindi se

l numero b è radice se

Un polinomio di grado n può avere al più n radici distinte. Esistono polinomi senza radici reali, come ad esempio

poiché per ogni b reale. D'altra parte, per il teorema fondamentale dell'algebra ogni polinomio ha esattamente n radici complesse, contate con molteplicità.

POSITIVO, NUMERO

Sono i numeri relativi, preceduti da un segno + (più); per abuso di linguaggio, possono anche essere scritti senza segno.

POSTULATO

Proposizione posta alla base di una teoria, che si richiede sia accettata senza dimostrazione; in questo senso il termine postulato è stato oggi sostituito da assioma.

POTENZA

In matematica la potenza è un'operazione che associa ad una coppia di numeri a e n - detti rispettivamente base ed esponente - il numero dato dalla moltiplicazione di a per se stesso iterata per n volte:

in questo contesto a può essere un numero intero, razionale o reale mentre n è un numero intero positivo.

Esempi:

L'operazione si estende ad n = 0 ponendo per ogni

e ad n negativi ponendo

Esempio

Definizione di potenza

Potenza di un numero razionale

-^

Proprietà

Le seguenti proprietà sono di immediata verifica nel caso in cui gli esponenti sono numeri interi positivi:

• Il prodotto di potenze aventi la stessa base è una potenza avente la stessa base dei fattori e come esponente la somma degli esponenti

• Il quoziente di potenze aventi la stessa base è una potenza avente la stessa base dei fattori e come esponente la differenza tra l'esponente del dividendo e l'esponente del divisore

• La potenza di una potenza è una potenza in cui la base rimane la stessa e l'esponente è dato dal prodotto degli esponenti:

• Il prodotto di potenze con lo stesso esponente é una potenza che ha per esponente lo stesso esponente e per base il prodotto delle basi:

• Il quoziente di potenze con lo stesso esponente é una potenza che ha per esponente lo stesso esponente e per base il quoziente delle basi:

• Qualsiasi potenza con esponente 1 è la base.

• La potenza: è priva di significato!

Notiamo che la definizione risulta ora più comprensibile poiché è consistente con le proprietà appena viste, infatti

E lo stesso vale per la definizione di a − k, infatti:

Proprietà delle potenze

Radici ed esponenti frazionari

Dato un numero a positivo si chiama radice n-esima di a quel numero positivo b tale che bn = a, tale numero si indica con . Da questa definizione si ha subito che

quindi è ragionevole (in virtù delle proprietà delle potenze) porre

in questo modo le proprietà delle potenze sono ancora rispettate, infatti

come avveniva per la radice n-esima. Più in generale la definizione di potenza può essere estesa ulteriormente consentendo all'esponente di essere un numero razionale se si pone:

PRIMI, NUMERI

L'insieme dei numeri primi è un sottoinsieme dei numeri naturali.

Un numero primo, in matematica, è un numero naturale divisibile unicamente per se stesso e per l'unità e diverso, per convenzione, dall'unità.

Detto in altro modo, deve avere esattamente due divisori interi distinti.

I primi numeri primi sono: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17...

Definizione di numero primo

Uno e zero non sono primi

Il numero 1 non è un primo poiché ha un solo divisore. Il numero 0 non è primo perché ne ha infiniti.

Decomposizione in fattori primi

L'importanza dei numeri primi in matematica è enorme e deriva essenzialmente dal teorema fondamentale dell'aritmetica, il cui enunciato è:

"Qualsiasi numero può essere scomposto in fattori primi, e tale scomposizione è unica".

Ad esempio,

e ogni altra fattorizzazione di 23244 in numeri primi è ottenuta da questa permutando i fattori.

Scomposizione in fattori primi

-^

PRISMA

In geometria si definisce prisma un poliedro individuato da due facce poligonali congruenti appartenenti a due piani paralleli (chiamate basi) collegate da facce (dette facce laterali) in numero uguale al numero di lati delle basi e costituite da parallelogrammi.

Se in particolare le facce laterali sono tutte dei rettangoli il poliedro è chiamato prisma retto; in caso contrario si parla di prisma obliquo. Un prisma (retto od obliquo) le cui basi sono poliedri regolari di n lati è detto prisma n-gonale (prisma triangolare, prisma quadrato, prisma pentagonale, ...).

Un prisma che ha tutte le facce formate da parallelogrammi viene chiamato parallelepipedo (esso ha 6 facce). In particolare un prisma che ha tutte le facce rettangolari viene chiamato prisma rettangolare o parallelepipedo rettangolo. In particolare un prisma rettangolare con una faccia quadrata ha due facce opposte quadrate e viene chiamato prisma quadrato. Un prisma che è retto e rettangolare viene chiamato cuboide.

I prismi regolari hanno tutte le facce costituite da poligoni regolari e quindi hanno tutti gli spigoli di uguale lunghezza.

I prismi retti con facce regolari formano una delle due successioni infinite di poliedri uniformi sui vertici, l'altra successione essendo costituita dagli antiprismi. Il cubo è un particolare tipo di prisma retto quadrato che è anche uniforme sugli spigoli e uniforme sulle facce, ovvero è un solido platonico.
Il volume di un prisma è dato dal prodotto dell'area di una delle sue basi (congruenti) per la distanza tra i piani (paralleli) ai quali appartengono.

PRODOTTO

Prodotto di due numeri (negli insiemi N, Z, Q, R)

Un prodotto è il risultato di una moltiplicazione.

Se si indicano due numeri con a e b, il loro prodotto si scrive , la cui notazione, per convenzione, può essere alleggerita scrivendo , o ancora più semplicemente, ab.

I due termini di un prodotto sono i suoi fattori.

Per esempio, sono prodotti; sembrerà normale dire che sono uguali, ma, se si fosse trattato di prodotti di numeri grandi, come:

per poterlo affermare si sarebbe dovuto eseguire il calcolo.

Dato che

si può affermare che

Ciò che è uguale in è, infatti, quello che c'è di identico, vale a dire 12: ma 12 appare solo quando sono stati fatti i calcoli.

Nel frattempo, è il caso di distinguere i prodotti , che sono organizzazioni differenti di uno stesso numero o, altrimenti detto, che non sono costituiti dagli stessi fattori.

Un prodotto è commutativo e associativo. È possibile:

• calcolare indifferentemente , cioè scambiare i fattori del prodotto;
• scrivere semplicemente , perché:

producono lo stesso numero.

Prodotti particolari

Nel caso di prodotti in cui uno stesso fattore si ripete 2, 3, ..., n volte esiste una scrittura "sintetica"
Per esempio, nel prodotto , il fattore 3 è ripetuto 4 volte: si scrive, allora, questo 4 come esponente, ossia .

Il prodotto di interi naturali consecutivi a partire da uno, per esempio da 1 a 7 si può scrivere, invece che "per esteso", utilizzando una notazione molto comoda che non richiede altro che un semplice punto esclamativo (V. Fattoriale).

Per esempio,

PROIEZIONE ORTOGONALE

[La proiezione ortogonale di un cubo su un piano verticale]

In uno spazio euclideo, come ad esempio il piano cartesiano o lo spazio tridimensionale, una proiezione ortogonale su un determinato sottospazio S (ad esempio, una retta o un piano) è una funzione che sposta ogni punto dello spazio su un punto di S lungo una direzione perpendicolare ad S.

Ad esempio, la proiezione del piano cartesiano sull'asse delle ascisse è la funzione

mentre la proiezione sulle ordinate è la funzione

PROPORZIONE

Quattro numeri a, b, c, d presi in questo ordine son in proporzione se il rapporto fra a e b è uguale a quello fra c e d, ossia:

a, b, c, d sono in proporzione

oppure

A causa dell'ordine con cui essi sono scritti, si dice che a e d sono i termini estremi e che b e c sono i termini medi della proporzione, o semplicemente, "gli estremi" e "i medi".

Proprietà di una proporzione

Se quattro numeri a, b, c, d sono in proporzione, il prodotto dei medi eguaglia il prodotto degli estremi

Media proporzionale

Quando i due termini medi sono uguali, cioè quando la proporzione è della forma , si dice che b è medio proporzionale fra a e c.

Esempio:

da cui

e

-^

PUNTO

In geometria il punto è un concetto primitivo privo di dimensioni.

Rappresenta quindi una posizione nello spazio euclideo. In teoria degli insiemi e quindi in topologia, il punto è l'elemento generico di un insieme o di uno spazio topologico.

Punti in geometria euclidea

Un punto nella geometria euclidea non ha grandezze di alcun tipo (volume, area, lunghezza), e nessuna caratteristica in generale tranne la sua posizione.

I postulati di Euclide asseriscono in alcuni casi l'esistenza di punti; un esempio: se due linee in un piano non sono parallele, c'è esattamente un punto che appartiene ad entrambe.

Tre o più punti nello spazio si dicono allineati se sono contenuti in una retta.

Tre o più punti nello spazio si dicono complanari se sono contenuti in un piano.

Proprietà

Il punto è in relazione con gli altri enti geometrici fondamentali, quali la retta e il piano, nel modo seguente:

• Per ogni punto passano infinite rette.
• Per due punti passa una sola retta.
• Per tre punti non allineati passa un solo piano.
• Una retta contiene infiniti punti.

Punti in geometria cartesiana

Nella geometria cartesiana del piano e dello spazio euclideo un punto è un insieme ordinato di coordinate.

Quindi un punto nello spazio tridimensionale è una terna di numeri, ad esempio:

P = (2, 6, 9).

PUNTO MEDIO

Un punto M è il punto medio di un segmento AB se sta sul segmento ed è a uguale distanza dai suoi estremi.

Caratterizzazioni del punto medio di un segmento

Alcuni modi di caratterizzare il punto medio sono:

oppure

oppure

In un triangolo

Il segmento che congiunge i punti medi di due lati di un triangolo è parallelo al terzo e la sua lunghezza è la metà della lunghezza di quest'ultimo.

In un triangolo, la parallela a un lato condotta dal punto medio di un altro lato taglia il terzo lato nel suo punto medio.

Ascissa, coordinate del punto medio di un segmento

L'ascissa del punto medio del segmento AB i cui estremi A e B hanno ascisse è uguale alla semisomma di tali ascisse:

Coordinate del punto medio

In un piano nel quale sia stato fissato un riferimento cartesiano ortogonale, le coordinate del punto medio M di u segmento AB sono rispettivamente date dalla semisomma delle ascisse e dalla semisomma delle ordinate dei due estremi del segmento AB.

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