F

FATTORE

Elemento che contribuisce a formare un tutto, a produrre un effetto.
In matematica: siano dati due numeri, designati con a e b. Se si esegue la moltiplicazione dei due numeri, il risultato di questa operazione è il prodotto o anche , o anche : i numeri a, b sono fattori del prodotto.
Si parla spesso di scomposizione in fattori. Questo può essere inteso in vari modi: trovare i fattori che sono numeri primi, oppure scomporre un polinomio in fattori di primo grado, ecc.
L'operazione che consiste nel mettere un'espressione come prodotto di fattori viene chiamata fattorizzazione.

FATTORE COMUNE

Il raccoglimento a fattor comune è un'operazione matematica che consente di mettere in evidenza una parte letterale o una serie di numeri che moltiplica tutto ciò che la segue. Si divide in totale e parziale. Nella pratica, segue lo stesso procedimento che porta a dire che , cioè la scomposizione in fattori primi.
Il raccoglimento a fattor comune è la più semplice operazione di scomposizione di un polinomio in fattori: Esempio:
Il raccoglimento parziale si ha quando non tutti i termini di un polinomio hanno dei fattori comuni: Esempio: .
Il procedimento seguito in quest'ultimo raccoglimento è stato prima il raccogliere la x tra i primi due addendi, e la y negli ultimi due. Dato che poi, sia la x che la y sono moltiplicate per il fattore , si può raccogliere quest'ultimo e si ottiene il prodotto .

Utilità

L'operazione di raccoglimento a fattor comune è particolarmente utile perché consente di semplificare anche di molto polinomi che, se non ridotti ad una forma più accessibile, risulterebbero molto difficili da trattare Ad esempio: il polinomio, scritto in questa forma risulta con numeri elevati e poco trattabile. Se lo si riduce, raccogliendo a fattor comune, si ottiene la forma molto più semplice: . Questa forma è più ordinata dal punto di vista matematico e consente di fare molte più osservazioni che non rispetto alla forma non raccolta.

• Se infatti bisogna risolvere l'equazione, sarebbe necessario fare calcoli più impegnativi che se si utilizza la forma raccolta : infatti, in quest'ultimo caso, per la legge di annullamento del prodotto, si può subito constatare che le radici dell'equazione sono:
• Allo stesso modo, se bisogna trovare gli zeri di funzione della, con il raccoglimento a fattor comune si nota subito che gli zeri della funzione (punti in cui la funzione si annulla) sono: .
• È indubbia poi l'utilità dell'usare il raccoglimento a fattor comune per semplificare le frazioni: se si ha ad esempio la frazione, si può utilizzare la scomposizione in fattori e ottenere la frazione . Dopo le semplificazioni dei fattori uguali, si ha la frazione più semplice.

FATTORIALE

In matematica, se n è un intero positivo, si definisce n fattoriale e si indica con n! il prodotto dei primi n numeri interi positivi. In formule,

Per definizione si chiede poi che. Questa richiesta si accorda con la richiesta che il prodotto di zero fattori, il cosiddetto prodotto vuoto, come la potenza nulla di un intero positivo, sia uguale ad 1. Questa scelta si rivela molto utile, in quanto consente di considerare valide varie formule anche quando alcuni loro fattori hanno la forma 0!. Si potrebbe quindi partire dalla definizione

Valori dei primi fattoriali
0!	1!	2!	3!	4!	5!	6!	7!	8!	9!	10!	11!	12!
1	1	2	6	24	120	720	5.040	40.320	362.880	3.628.800	39.916.800	479.001.600

Applicazioni

I fattoriali innanzitutto sono importanti nel calcolo combinatorio. In particolare vi sono n! diverse sequenze formate da n oggetti distinti, cioè vi sono n! permutazioni di n oggetti; i fattoriali quindi enumerano le permutazioni.
Data l'importanza delle permutazioni, segue che i fattoriali si incontrano in numerosissime espressioni. Ad es., rimanendo nel calcolo combinatorio, il numero di scelte di k oggetti fra quelli che costituiscono un insieme di n elementi, cioè il numero dei sottoinsiemi di k elementi di un dato insieme di n oggetti, è dato dal cosiddetto coefficiente binomiale

I fattoriali si incontrano anche nel calcolo infinitesimale: innanzi tutto va osservato che la n-esima derivata di xⁿ è n!; una conseguenza di questo fatto è il teorema di Taylor che esprime una funzione f(x) come serie di potenze nella x servendosi dei fattoriali e dei valori delle derivate. I fattoriali si incontrano spesso anche nelle espressioni delle funzioni speciali, nell'analisi numerica, nel calcolo delle probabilità, nella meccanica statistica e nella meccanica quantistica.

Valutazione numerica dei fattoriali

Il valore numerico di n! può essere calcolato mediante ripetute moltiplicazioni fino ad un valore non eccessivo di n; questo è quello che fanno le calcolatrici odierne. Al di sopra di un certo n lo strumento di calcolo in uso cessa di dare risultati sensati per overflows dei registri per i valori numerici. Ad es. una calcolatrice capace di operare su 100 cifre decimali riesce a calcolare 69!, ma non il fattoriale successivo, in quanto 70! > 10¹⁰⁰. Quando n è molto grande in genere non serve conoscere il valore preciso di n! e può essere sufficiente stimarlo con una opportuna accuratezza. Per questo scopo in genere si usa la approssimazione di Stirling data da:

FATTORIZZAZIONE

Fattorizzare un numero n (il termine più corretto sarebbe "ridurre in fattori") significa trovare un insieme di numeri tali che il loro prodotto sia il numero originario

Numeri primi e fattorizzazione

Innanzitutto bisogna tenere presente che un qualunque numero naturale ha infinite fattorizzazioni: lo si può infatti moltiplicare quante volte si vuole per 1. In pratica, però, non si considerano i fattori 1 nella fattorizzazione: è questa tra l'altro la ragione per cui si preferisce affermare che 1 non è un numero primo, anche se soddisferebbe la definizione "è divisibile solamente per se stesso e per 1".
La maggior parte dei numeri ha comunque svariate fattorizzazioni possibili: ad esempio, Per convenzione, ci si concentra su una sola tra tutte queste, che è anche la più importante: la fattorizzazione in numeri primi, che consiste nel cercare un insieme di fattori del numero che siano tutti primi (generalmente indicati con per ricordare la loro primalità); ogni numero naturale ha una ed una sola fattorizzazione in numeri primi. Ad esempio

FIGURA

Una figura in un dato spazio, è una certa configurazione di punti presente in quello spazio, è un ente ideale. Essa si può rappresentare in modo più o meno soddisfacente con un disegno che è un supporto per il ragionamento e l'immaginazione.

FINITO

In matematica, un insieme è detto finito se e solo se esiste una biiezione fra l'insieme e un insieme della forma {1, 2, ..., n} dove n è un numero naturale. Equivalentemente, un insieme è finito se la sua cardinalità, cioè il numero dei suoi elementi, è un numero naturale. Ad esempio l'insieme degli interi fra -15 e 3 è finito, dal momento che ha 17 elementi. L'insieme di tutti i numeri primi non è finito. Gli insiemi non finiti sono detti infiniti.

FORMA

In geometria forma ha un significato essenzialmente spaziale.Ci si può chiedere se due figure hanno o no la stessa forma: in questo caso “forma” può essere inteso con due significati diversi.

• In un modo generico, quando per esempio si dice che “due rettamgoli hanno la stessa forma”; il significato, però, non è allora esattamente definibile (ammessa per vera l'affermazione precedente, si può anche dire che “due quadrilateri hanno lastessa forma”?).
• Oppure con un significato più preciso, dicendo che due figure hanno la stessa forma quando sono simili: questo è un modo per dare una definizione indiretta di “forma” in geometria. In questo senso, due rettangoli di regola non hanno lastessa forma (a meno che i lati non siano proporzionali).

FRAZIONE

Nell'uso comune, una frazione è una parte di un'unità. Da questo significato generale deriva quello usato in matematica, dove una frazione è una rappresentazione di una quantità numerica in forma di divisione fra numeri interi.
Se a,b denotano due numeri interi è la scrittura di un'entità maetmatica detta numero razionale (lo stesso numero può essere indicato anche con la frazione se aq = bp). Il termine a si dice “numeratore”, b si dice “denominatore”, la barra si dice “linea di frazione”.
Una frazione è ua delle espressioni possibili per un numero razionale. Se questo è, per esempio, rappresentato dal quoziente , che si legge “tre settimi”, siamo in presenza di una frazione: un numero intero di unità suddivise o unità frazionarie.
Il dividendo, 3, si chiama numeratore: esso dà il numero di unità frazionarie. Il divisore, 7, si chiama denominatore: esso dice il nome dell'unità frazionaria e come è stata ottenuta, diviendo l'unità in 7 parti uguali.
La barra che separa il numeratore dal denominatore si chiama “linea di frazione”: essa è di solito orizzontale, ma spesso, per ragioni tipografiche obliqua.

Frazione unitaria

Si chiamano frazioni unitarie le frazioni come 1 mezzo, 1 terzo, 1 quarto, 1 quinto, ecc., spesso dette unità razionali. Per indicare il denominatore di una frazione si usano l'aggettivo ordinale terzo, quarto, quinto, ecc., salvo che nel caso del denominatore 2.

FUNZIONE

In matematica, una funzione è una relazione tra due insiemi A e B, che ad ogni elemento di A fa corrispondere uno e un solo elemento di B. Il primo insieme della relazione è detto dominio, il secondo codominio.
Se una funzione pone un elemento "x" del dominio in corrispondenza con un elemento "y" del codominio, si dice che x è l'argomento della funzione, oppure la variabile indipendente, mentre e "y" il valore della funzione, oppure la variabile dipendente.

Esempi

I più semplici esempi di funzione sono quelli per cui sia il dominio che il codominio sono numeri. Per esempio, se a ogni numero associo il doppio di tale numero, ho una funzione.
Tuttavia, si parla di funzione anche quando il dominio o il codominio o entrambi non sono insiemi di numeri. Per esempio, se a ogni triangolo del piano associo il cerchio inscritto in tale triangolo, ho pure una funzione, in quanto per ogni triangolo esiste uno e un solo cerchio inscritto.
Inoltre spesso si parla di funzioni con più argomenti, o con più valori, per esempio la funzione che alle coordinate x, y, z di un punto nello spazio fa corrispondere temperatura T e pressione P dell'aria. In tal caso, la funzione ha in realtà sempre un solo argomento, che è la terna (x, y, z), e ha sempre un solo valore, che è la coppia (T, P).

Definizione

Dati gli insiemi X e Y, si chiama funzione da X in Y un sottoinsieme f del prodotto cartesiano tale che per ogni, esiste uno ed un solo elemento tale che. Tale elemento tradizionalmente si denota con f(x): in altre parole, invece di scrivere possiamo usare la scrittura tradizionale.
Il fatto che f è una funzione da X in Y che associa a x l'elemento f(x) si può esprimere con la scrittura:

L'insieme X (da cui la funzione f "prende" i valori) è il dominio della funzione f, mentre l'insieme Y (in cui si trovano i valori "restituiti" dalla funzione f) è il codominio della funzione f.

Operazioni sulle funzioni

Date due funzioni f: X → Y e g: Y → Z si può definire la loro composizione: questa è definita applicando prima f ad x e quindi applicando g al risultato f(x).
Questa nuova funzione viene denotata con. Riconducendoci alla notazione tradizionale con le due notazioni il risultato della precedente composizione applicato all'elemento x del dominio si può scrivere

FUNZIONE LINEARE

Quando si introduce il calcolo infinitesimale e quando si trattano le funzioni polinomiali, in genere si chiama funzione lineare una funzione di una variabile reale x a valori reali della forma
f(x) = m x + c
con m e c costanti reali.
Queste funzioni vengono visualizzate nel piano cartesiano riferito a due assi ortogonali come rette di equazione
y = m x + c ;
la costante m viene detta pendenza o gradiente, mentre c è chiamata intercetta con l'asse delle y. In effetti la retta interseca l'asse Oy nel punto (0,c); la retta inoltre interseca l'asse Ox nel punto (-c / m), come si ricava imponendo y = 0 e risolvendo la equazione 0 = m x + c; quando però m = 0 la retta è orizzontale e si può dire che incontra l'asse Ox solo all'infinito.

Esempi

• f(x)= 2x + 1   (m=2, c=1)
• f(x) = x   (m=1, c=0)
• f(x)= 9
• f(x)= -3 x + 4

Si osserva che facendo crescere m da 0 in su la retta da orizzontale si fa crescente con pendenza sempre più accentuata, mentre facendo assumere ad m valori sempre più negativi la retta diventa sempre marcatamente in discesa. Facendo variare la c la retta viene traslata verso l'alto o verso il basso.

Generalizzazioni

La definizione precedente può estendersi a funzioni di due o più variabili reali o complesse. Ad esempio per funzione lineare di due variabili reali x e y a valori reali si intende una funzione della forma
f(x,y) = m x + n y + c ;
essa nello spazio tridimensionale riferito ad una terna cartesiana ortogonale viene visualizzata come piano che interseca l'asse verticale Oz nel punto (0, 0, c), l'asse Ox in (-c/m, 0, 0), o all'infinito se m = 0, e l'asse Oy in (0, -c/n, 0), o all'infinito se n = 0.

Relazione con la definizione di applicazione lineare

Dato che in considerazioni generali il termine funzione viene considerato sinonimo di applicazione e di trasformazione, le precedenti definizioni sono in disaccordo con la definizione di applicazione lineare, ovvero di trasformazione lineare, che viene data in generale e in particolare in algebra. In generale per applicazione lineare si intende una funzione che soddisfa le seguenti 2 proprietà:

• Additività: f(x + y) = f(x) + f(y).
• Omogeneità: f(αx) = αf(x) per ogni α.

Equivalentemente si può chiedere che sia
.
In questa definizione x, y, x₁ e x₂ sono elementi arbitrari di uno spazio vettoriale su un campo K o anche elementi arbitrari di un modulo (struttura) su un anello commutativo R, mentre a, a₁ e a₂ sono elementi arbitrari di K ovvero di R; la funzione f a sua volta ha come codominio uno spazio vettoriale oppure un modulo. A questa definizione possono adattarsi anche le funzioni viste in precedenza, in quanto hanno come dominio e come codominio degli spazi vettoriali come .
Ora per la funzione considerata inizialmente i due membri dell'uguaglianza sono
,
e questi sono uguali solo se c = 0.
Dunque il termine funzione lineare viene usato con due significati diversi. Per la prima nozione qui introdotta sarebbe preferibile il termine funzione affine, ma l'abitudine alla definizione più comune è molto radicata.