Matematica Dizionario A B C D E F G I K L M N O P Q R S T U V Z Dizionario Matematica
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Dizionario di matematica e geometria iniziale F
FFATTOREElemento che contribuisce a formare un tutto, a produrre un effetto.In matematica: siano dati due numeri, designati con a e b. Se si esegue la moltiplicazione dei due numeri, il risultato di questa operazione è il prodotto ![]() ![]() ![]() Si parla spesso di scomposizione in fattori. Questo può essere inteso in vari modi: trovare i fattori che sono numeri primi, oppure scomporre un polinomio in fattori di primo grado, ecc. L'operazione che consiste nel mettere un'espressione come prodotto di fattori viene chiamata fattorizzazione. FATTORE COMUNEIl raccoglimento a fattor comune è un'operazione matematica che consente di mettere in evidenza una parte letterale o una serie di numeri che moltiplica tutto ciò che la segue. Si divide in totale e parziale. Nella pratica, segue lo stesso procedimento che porta a dire che![]() Il raccoglimento a fattor comune è la più semplice operazione di scomposizione di un polinomio in fattori: Esempio: ![]() Il raccoglimento parziale si ha quando non tutti i termini di un polinomio hanno dei fattori comuni: Esempio: ![]() Il procedimento seguito in quest'ultimo raccoglimento è stato prima il raccogliere la x tra i primi due addendi, e la y negli ultimi due. Dato che poi, sia la x che la y sono moltiplicate per il fattore ![]() ![]() UtilitàL'operazione di raccoglimento a fattor comune è particolarmente utile perché consente di semplificare anche di molto polinomi che, se non ridotti ad una forma più accessibile, risulterebbero molto difficili da trattare Ad esempio: il polinomio![]() ![]()
FATTORIALEIn matematica, se n è un intero positivo, si definisce n fattoriale e si indica con n! il prodotto dei primi n numeri interi positivi. In formule,![]() Per definizione si chiede poi che ![]() ![]()
ApplicazioniI fattoriali innanzitutto sono importanti nel calcolo combinatorio. In particolare vi sono n! diverse sequenze formate da n oggetti distinti, cioè vi sono n! permutazioni di n oggetti; i fattoriali quindi enumerano le permutazioni.Data l'importanza delle permutazioni, segue che i fattoriali si incontrano in numerosissime espressioni. Ad es., rimanendo nel calcolo combinatorio, il numero di scelte di k oggetti fra quelli che costituiscono un insieme di n elementi, cioè il numero dei sottoinsiemi di k elementi di un dato insieme di n oggetti, è dato dal cosiddetto coefficiente binomiale ![]() I fattoriali si incontrano anche nel calcolo infinitesimale: innanzi tutto va osservato che la n-esima derivata di xn è n!; una conseguenza di questo fatto è il teorema di Taylor che esprime una funzione f(x) come serie di potenze nella x servendosi dei fattoriali e dei valori delle derivate. I fattoriali si incontrano spesso anche nelle espressioni delle funzioni speciali, nell'analisi numerica, nel calcolo delle probabilità, nella meccanica statistica e nella meccanica quantistica. Valutazione numerica dei fattorialiIl valore numerico di n! può essere calcolato mediante ripetute moltiplicazioni fino ad un valore non eccessivo di n; questo è quello che fanno le calcolatrici odierne. Al di sopra di un certo n lo strumento di calcolo in uso cessa di dare risultati sensati per overflows dei registri per i valori numerici. Ad es. una calcolatrice capace di operare su 100 cifre decimali riesce a calcolare 69!, ma non il fattoriale successivo, in quanto 70! > 10100. Quando n è molto grande in genere non serve conoscere il valore preciso di n! e può essere sufficiente stimarlo con una opportuna accuratezza. Per questo scopo in genere si usa la approssimazione di Stirling data da:![]() FATTORIZZAZIONEFattorizzare un numero n (il termine più corretto sarebbe "ridurre in fattori") significa trovare un insieme di numeri![]() ![]() Numeri primi e fattorizzazioneInnanzitutto bisogna tenere presente che un qualunque numero naturale ha infinite fattorizzazioni: lo si può infatti moltiplicare quante volte si vuole per 1. In pratica, però, non si considerano i fattori 1 nella fattorizzazione: è questa tra l'altro la ragione per cui si preferisce affermare che 1 non è un numero primo, anche se soddisferebbe la definizione "è divisibile solamente per se stesso e per 1".La maggior parte dei numeri ha comunque svariate fattorizzazioni possibili: ad esempio, ![]() ![]() ![]() FIGURAUna figura in un dato spazio, è una certa configurazione di punti presente in quello spazio, è un ente ideale. Essa si può rappresentare in modo più o meno soddisfacente con un disegno che è un supporto per il ragionamento e l'immaginazione.FINITOIn matematica, un insieme è detto finito se e solo se esiste una biiezione fra l'insieme e un insieme della forma {1, 2, ..., n} dove n è un numero naturale. Equivalentemente, un insieme è finito se la sua cardinalità, cioè il numero dei suoi elementi, è un numero naturale. Ad esempio l'insieme degli interi fra -15 e 3 è finito, dal momento che ha 17 elementi. L'insieme di tutti i numeri primi non è finito. Gli insiemi non finiti sono detti infiniti.FORMAIn geometria forma ha un significato essenzialmente spaziale.Ci si può chiedere se due figure hanno o no la stessa forma: in questo caso “forma” può essere inteso con due significati diversi.
FRAZIONENell'uso comune, una frazione è una parte di un'unità. Da questo significato generale deriva quello usato in matematica, dove una frazione è una rappresentazione di una quantità numerica in forma di divisione fra numeri interi.Se a,b denotano due numeri interi ![]() ![]() Una frazione è ua delle espressioni possibili per un numero razionale. Se questo è, per esempio, rappresentato dal quoziente ![]() Il dividendo, 3, si chiama numeratore: esso dà il numero di unità frazionarie. Il divisore, 7, si chiama denominatore: esso dice il nome dell'unità frazionaria e come è stata ottenuta, diviendo l'unità in 7 parti uguali. La barra che separa il numeratore dal denominatore si chiama “linea di frazione”: essa è di solito orizzontale, ma spesso, per ragioni tipografiche obliqua. Frazione unitariaSi chiamano frazioni unitarie le frazioni come 1 mezzo, 1 terzo, 1 quarto, 1 quinto, ecc., spesso dette unità razionali. Per indicare il denominatore di una frazione si usano l'aggettivo ordinale terzo, quarto, quinto, ecc., salvo che nel caso del denominatore 2.FUNZIONEIn matematica, una funzione è una relazione tra due insiemi A e B, che ad ogni elemento di A fa corrispondere uno e un solo elemento di B. Il primo insieme della relazione è detto dominio, il secondo codominio.Se una funzione pone un elemento "x" del dominio in corrispondenza con un elemento "y" del codominio, si dice che x è l'argomento della funzione, oppure la variabile indipendente, mentre e "y" il valore della funzione, oppure la variabile dipendente. EsempiI più semplici esempi di funzione sono quelli per cui sia il dominio che il codominio sono numeri. Per esempio, se a ogni numero associo il doppio di tale numero, ho una funzione.Tuttavia, si parla di funzione anche quando il dominio o il codominio o entrambi non sono insiemi di numeri. Per esempio, se a ogni triangolo del piano associo il cerchio inscritto in tale triangolo, ho pure una funzione, in quanto per ogni triangolo esiste uno e un solo cerchio inscritto. Inoltre spesso si parla di funzioni con più argomenti, o con più valori, per esempio la funzione che alle coordinate x, y, z di un punto nello spazio fa corrispondere temperatura T e pressione P dell'aria. In tal caso, la funzione ha in realtà sempre un solo argomento, che è la terna (x, y, z), e ha sempre un solo valore, che è la coppia (T, P). DefinizioneDati gli insiemi X e Y, si chiama funzione da X in Y un sottoinsieme f del prodotto cartesiano![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Il fatto che f è una funzione da X in Y che associa a x l'elemento f(x) si può esprimere con la scrittura: ![]() L'insieme X (da cui la funzione f "prende" i valori) è il dominio della funzione f, mentre l'insieme Y (in cui si trovano i valori "restituiti" dalla funzione f) è il codominio della funzione f. Operazioni sulle funzioniDate due funzioni f: X → Y e g: Y → Z si può definire la loro composizione: questa è definita applicando prima f ad x e quindi applicando g al risultato f(x).Questa nuova funzione viene denotata con ![]() ![]() FUNZIONE LINEAREQuando si introduce il calcolo infinitesimale e quando si trattano le funzioni polinomiali, in genere si chiama funzione lineare una funzione di una variabile reale x a valori reali della formaf(x) = m x + c con m e c costanti reali. Queste funzioni vengono visualizzate nel piano cartesiano riferito a due assi ortogonali come rette di equazione y = m x + c ; la costante m viene detta pendenza o gradiente, mentre c è chiamata intercetta con l'asse delle y. In effetti la retta interseca l'asse Oy nel punto (0,c); la retta inoltre interseca l'asse Ox nel punto (-c / m), come si ricava imponendo y = 0 e risolvendo la equazione 0 = m x + c; quando però m = 0 la retta è orizzontale e si può dire che incontra l'asse Ox solo all'infinito. Esempi
GeneralizzazioniLa definizione precedente può estendersi a funzioni di due o più variabili reali o complesse. Ad esempio per funzione lineare di due variabili reali x e y a valori reali si intende una funzione della formaf(x,y) = m x + n y + c ; essa nello spazio tridimensionale riferito ad una terna cartesiana ortogonale viene visualizzata come piano che interseca l'asse verticale Oz nel punto (0, 0, c), l'asse Ox in (-c/m, 0, 0), o all'infinito se m = 0, e l'asse Oy in (0, -c/n, 0), o all'infinito se n = 0. Relazione con la definizione di applicazione lineareDato che in considerazioni generali il termine funzione viene considerato sinonimo di applicazione e di trasformazione, le precedenti definizioni sono in disaccordo con la definizione di applicazione lineare, ovvero di trasformazione lineare, che viene data in generale e in particolare in algebra. In generale per applicazione lineare si intende una funzione che soddisfa le seguenti 2 proprietà:
![]() In questa definizione x, y, x1 e x2 sono elementi arbitrari di uno spazio vettoriale su un campo K o anche elementi arbitrari di un modulo (struttura) su un anello commutativo R, mentre a, a1 e a2 sono elementi arbitrari di K ovvero di R; la funzione f a sua volta ha come codominio uno spazio vettoriale oppure un modulo. A questa definizione possono adattarsi anche le funzioni viste in precedenza, in quanto hanno come dominio e come codominio degli spazi vettoriali come ![]() Ora per la funzione considerata inizialmente ![]() ![]() e questi sono uguali solo se c = 0. Dunque il termine funzione lineare viene usato con due significati diversi. Per la prima nozione qui introdotta sarebbe preferibile il termine funzione affine, ma l'abitudine alla definizione più comune è molto radicata.
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