Dizionario di matematica e geometria iniziale E.

Dizionario di matematica e geometria iniziale E.

E

ECCESSO

In matematica, le condizioni non sono sempre le stesse: quando un numero inesprimibile, o la sua espressione troppo "pesante" per l'uso che se ne vuole fare, si condotti a prendere un valore approssimato, tenendo conto del contesto del problema. La sola avvertenza generale che possiamo dare che l'eccesso o il difetto debbono essere inrelazione con il grado di precisione che si pu chiedere in base ai dati, e che questo deve essere precisato come ordine di grandezza.

ELEMENTO

In matematica, un elemento di un insieme uno degli oggetti che formano quell'insieme. Per esempio, l'insieme e un insieme di due elementi, o un Paio, purch a, b designino due oggetti distinti. L'insieme C delle cifre arabe con le quali scriviamo abitualmente i numeri

e

un insieme di dieci elementi. L'insieme edei numeri naturali ha un "numero infinito" di elementi, cio un numero cardinale infinito. Invece di dire che l'oggetto designato con a elemento dell'insieme designato con I, si dice pi semplicemente che "a un elemento di I", e si scrive

e

Si dice pure che "a appartiene a I". L'appartenenza e la non apparteneneza indicano le relazioni fra un oggetto qualsiasi e un insieme dato: quando questi sono specificati, si hanno affermazioni che possono risultare vere o false:

  • e, vera; e, falsa: affermazione di appartenenza;
  • e, vera; e, falsa: affermazioni di non appartenenza.
Se il termine a destra di e o di e non un insieme, la scrittura non ha senso, e quindi non si pu dire se vera o falsa:

e

sono scritture prive di senso. Un elemento di un insieme pu essere a sua volta un insieme. Se P(I) un insieme delle parti dell'insieme I (cio dei sottoinsiemi di I), dire che A un elemento di P(I) come dire che A un insieme incluso in I. Si ha l'equivalenza

e

ELEVARE

In algebra, la parola elevare compare soprattutto nell'espressione "elevare al quadrato" e in quelle simili. Si pu elevare un numero designato con a a qualsiasi potenza, per esempio, e. Per a = 10, la seconda potenza un numero molto grande, di 101 cifre. Si pu anche elevare un numero a una potenza minore di 1: per esempio e circa 2,24, e in questo caso l'elevamento a potenza ha "rimpicciolito" il numero di partenza (naturalmente, qui si tratta di qualcosa di pi complicato dell'elevamento a potenza con esponente intero). In geometria, si eleva (o si "innalza") una perpendicolare a una retta quando, da un punto di questa, si manda una retta che sia perpendicolare a quella data.

e

ENUNCIATO

Espressione di un teorema o di un problema. Per sua natura, di un enunciato si pu dire se "vero" o "falso": quindi un enunciato pu avere due valori di verit. Due enunciati si possono collegare mediante una congiunzione: partendo da A e B si costruisce un nuovo enunciato e. In logica interessano le congiunzioni tali che anche il nuovo enunciato abbia un preciso valore di verit, dipendente dai valori di A e B: e si dice allora un connettivo.

EQUAZIONE

In matematica, un'equazione una uguaglianza tra due espressioni contenenti una o pi variabili incognite. Si parla di equazione identica o identit nel caso in cui l'uguaglianza verificata per qualunque valore ammissibile per le variabili. Si ha invece un'equazione in senso proprio quando l'uguaglianza vera solo per determinati valori attribuiti alle incognite. Un insieme di valori che rende vera un'equazione chiamato soluzione. Risolvere un'equazione significa esplicitare l'insieme di tutte le soluzioni dell'equazione. Un'equazione che non ammette soluzioni detta impossibile; se le soluzioni sono invece infinite si dice indeterminata. Durante la risoluzione, molto importante tenere presente il dominio delle variabili incognite: per esempio un'equazione come e non ammette soluzioni se e ha come dominio l'insieme dei numeri razionali, mentre ammette due soluzioni nei numeri reali, ossia le soluzioni in esono due e pari ae. Analogamente, l'equazione e non possiede soluzioni reali ma risolvibile se e varia tra i numeri complessi.
Tipicamente in un'equazione compaiono, oltre alle incognite, dei valori costanti, indicati con le lettere e mentre alle variabili incognite sono convenzionalmente attribuite le ultime lettere dell'alfabetoe. Le soluzioni di un'equazione vengono indicate esplicitando le incognite delle espressioni che contengano le costanti ed eventuali parametri arbitrari. Un'equazione si dice espressa in forma canonica se al secondo membro compare soltanto il termine noto (spostando al primo membro i termini con le variabili dell'equazione e relativi coefficienti). Le formule per la soluzione delle equazioni sono date a partire da equazioni in forma canonica. Nel calcolo occorre ricondurre l'equazione alla forma canonica prima di calcolare la soluzione.

Equazione lineare

Sono dette equazioni lineari o equazioni di primo grado le equazioni algebriche di primo grado; quelle ad una incognita sono riconducibili (tramite le usuali regole dell'algebra elementare) alla forma:

ax + b = 0

con dove a e b sono numeri reali o complessi e e.

Portando b a secondo membro e dividendo per a si ottiene:

e

Un'equazione di primo grado ad una incognita ammette dunque una e una sola soluzione, pari a e.

Esempio. Si trovi il valore della variabile e tale che valga l'espressione: e

La soluzione semplice:

 e

Se a = 0, non si pu pi parlare di equazione di primo grado, ma:

  • se enessun valore di x pu verificare l'equazione, e l'insieme delle soluzioni vuoto;
  • se b = 0, ogni valore di x verifica l'equazione che si riduce a un'identit: l'insieme delle soluzioni I.
In geometria analitica, un'equazione lineare a due incognite (scritta in genere nella forma y = mx + q oppure ax + by + c = 0) rappresenta una retta nel piano cartesiano. Nello spazio a tre dimensioni, un'equazione in tre incognite della forma ax + by + cz + d = 0 rappresenta un piano. In generale, nello spazio euclideo n-dimensionale, l'insieme delle soluzioni di un'equazione lineare in n incognite rappresenta uno spazio ad n e 1 dimensioni.

Definizione di equazione di primo grado

Equazione quadratica

Si definiscono equazioni quadratiche le equazioni polinomiali di secondo grado in una incognita, cio quelle riconducibili alla forma:

e

con e.

Le equazioni di secondo grado possono ammettere due, una o nessuna soluzione reale, mentre le soluzioni complesse sono in ogni caso 2 (eventualmente coincidenti). Sono particolarmente semplici nella risoluzione le equazioni incomplete, ossia quelle in cui il secondo e/o il terzo coefficiente sono nulli.

Equazioni quadratiche incomplete

Equazione spuria

Si dice equazione quadratica spuria un'equazione quadratica che manca del termine noto, ossia avente la forma:

e

Un'equazione di questo tipo si risolve facilmente tramite scomposizione:

e

Per la legge di annullamento del prodotto quest'equazione equivalente alle due:

e

E in definitiva le sue soluzioni sono e

Equazione pura

Si dice equazione quadratica pura un'equazione polinomiale di secondo grado che manca del termine di primo grado, cio che della forma:

e

Portando c a secondo membro e dividendo per a si ottiene:

e

Se e, l'equazione non ammette soluzioni reali (ma due soluzioni immaginarie); viceversa, se e, l'equazione risolta da:

e

Osserviamo che nel caso banale in cui anche c = 0, allora l'equazione ammette come unica soluzione x = 0.

Equazioni complete

Un'equazione polinomiale di secondo grado viene detta equazione quadratica completa quando tutti i suoi coefficienti sono diversi da 0. Essa viene risolta con il cosiddetto metodo del completamento del quadrato, perch si modifica l'equazione fino ad ottenere al suo primo membro il quadrato di un binomio nella forma e. Anzitutto portiamo c al secondo membro:

e

Moltiplichiamo per 4a entrambi i membri, ottenendo:

e

Notiamo che e: dunque per fare in modo che al primo membro si abbia un quadrato di binomio, aggiungiamo ead ambo i membri:

e

ovvero:

e

Il secondo membro di quest'equazione detto discriminante e in genere viene indicato con la lettera greca e (Delta). Se e evidentemente non ci sono soluzioni reali. In caso contrario possiamo scrivere:

e

che con semplici passaggi possiamo riscrivere come:

e

Quest'ultima nota come formula risolutiva delle equazioni quadratiche.

Calcolo delle soluzioni

Alla luce della dimostrazione precedente, chiaro che, nella risoluzione di un'equazione quadratica, anzitutto necessario calcolare il discriminantee. Si distinguono tre casi:
  • See, vi sono due soluzioni distinte:
e
  • See, la formula risolutiva diventa:
e

Pertanto la soluzione unica o, come spesso si dice, le due radici sono coincidenti (o ancora vi una radice doppia);e.

  • Se e, infine, abbiamo gi osservato che l'equazione non ha soluzioni reali.

Forma ridotta della formula risolutiva

Nel caso in cui il coefficiente del termine di primo grado sia un numero pari oppure un'espressione algebrica in cui si possa mettere in evidenza il fattore 2, possibile semplificare la formula risolutiva con la posizionee. In questo caso, infatti:

e

Dimostriamo che si tratta di una soluzione all'equazione di secondo grado sostituendo la soluzione nell'equazione inziale e ottenendo un'identit.

e

e

2ab2 − 4a2c − 2ab2 + 4a2c = 0.

L'identit verificata.

Regola dei segni

Laregola dei segni o regola di Cartesio consente di determinare il segno delle radici di un'equazione completa con discriminante positivo. Consideriamo, nell'ordine, i segni di a, b, c. Possiamo assumere che sia a > 0, a meno di moltiplicare entrambi i termini per -1. Ci sono 4 possibili combinazioni:

a
b
c
+
+
+
+
+
-
+
-
+
+
-
-

  1. Primo caso:e. Ricordando che e, segue che il loro prodotto positivo e la loro somma negativa, per cui entrambe le soluzioni sono negative.
  2. Secondo caso: e. Allora il prodotto delle radici negativo (che implica che sono discordi) e la somma negativa (che implica che la soluzione negativa in valore assoluto maggiore di quella positiva).
  3. Terzo caso: e. Allora il prodotto delle radici negativo (che implica di nuovo che sono discordi) ma la somma positiva (dunque la soluzione positiva maggiore in valore assoluto).
  4. Quarto caso: e. Allora il prodotto delle radici positivo come pure la loro somma, implicando che entrambe le radici sono positive.
Chiamando permanenza ogni successione di due segni uguali e variazione ogni successione di segni contrari, possiamo riassumere i risultati precedenti affermando che ad ogni permanenza corrisponde una soluzione negativa e ad ogni variazione una soluzione positiva; quando le radici sono discordi, in valore assoluto maggiore quella positiva se la variazione precede la permanenza; quella negativa se la permanenza precede la variazione.

EQUIANGOLO, EQUIANGOLARE

Due poligoni sono equiangoliquando sono riferiti vertice a vertice e gli angoli omologhi sono isometrici. Due triangoli equiangoli sono simili. Un poligono equiangolare quandoi suoi angoli hanno tutti la medesima ampiezza. Un triangolo equiangolare anche equilatero.

EQUIDISTANTE

In matematica vuol dire "a uguale distanza da ...".

Insieme dei punti di un piano equidistanti

  1. Da un punto dato O: la circonferenza di centro O, di raggio uguale alla distanza data.
  2. Da due punti dati A, B: l'asse del segmento AB.
  3. Da uan retta data r: formato da due rette parallele a r.
  4. Da due rette date:
  • Se si incontrano, formato dalle due bisettrici b, b' degli angoli da esse determinati;
  • Se sono parallele, la retta mediana della striscia compresa fra le due rette.

e

EQUILATERO

Triangolo equilatero

Un triangolo equilatero un triangolo con tutti i lati congruenti ovvero il poligono regolare con tre lati. Gli angoli sono tutti uguali e pari a 60. I triangoli equilateri sono particolari triangoli isosceli. Tutti i triangoli isosceli sono simili tra di loro: per caratterizzare metricamente un triangolo equilatero, ovvero per caratterizzare la classe dei triangoli equilateri nel piano ottenibili gli uni dagli altri mediante traslazioni e rotazioni, serve e basta un parametro estensivo; tipicamente si usa la lunghezza dei suoi lati.

Formule

Indicando con L il lato del triangolo si ha:
  • Altezza h : e
  • Perimetro P : e
  • Area A : e
  • Apotema a : e

EQUIPOLLENZA

Una classe di equipollenza un insieme di infiniti segmenti orientati equipollenti ad un assegnato segmento orientato. Due segmenti orientati si dicono equipollenti (o equivalenti) se hanno stessa lunghezza (o modulo), stessa direzione e stesso verso.

EQUIPOTENZA, EQUIPOTENTE

Due insiemi si dicono equipotenti quando si possono far corrispondere i loro elementi uno a uno, cio quando esiste fra di essi una biiezione. Essi hanno allora lo stesso numero cardinale.

e

ESAGONO

In geometria, un esagono un poligono con sei spigoli e sei vertici. Gli angoli interni di un esagono regolare (in cui tutti i lati e tutti gli angoli sono uguali) sono tutti di 120. L'area di un esagono regolare con i lati di lunghezza a data da:

e

Il perimetro di un esagono di lato a , naturalmente, uguale a 6a; il diametro della circonferenza circoscritta 2a, mentre quello della circonferenza iscritta e. Un esagono regolare ha come lunghezza del lato il raggio della circonferenza circoscritta; gli angoli al centro corrispondenti agli archi individuati da due vertici consecutivi misurano 60.

ESPONENTE

Esponente il numero che si scrive in alto a destra di un altro, e che esprime la potenza alla quale questo va elevato. Nella scrittura e, il primo 5, scritto in grande, un coefficiente, il secondo, in piccolo, un esponente.

ESPRESSIONE

In matematica, un' espressione combina numeri, operatori, e/o variabili. Le espressioni possono essere valutate a valori, e si pu dire che rappresentano quei valori. La determinazione del valore di un'espressione dipende dalla definizione degli operatori matematici e del sistema di valori che forma il suo contesto. Le espressioni possono avere "variabili libere" che non sono definite nell'espressione, ma si ricavano dal contesto. Due espressioni si dicono equivalenti se, valutate, determinano lo stesso valore. Un'espressione numerica l'indicazione "compatta" di una sequenza di operazioni eseguite su numeri. In un'espressione letterale compaiono anche delle lettere.

ESTERNO

Angoli esterni

e

Angoli esterni di un poligono, nell'esempio indicato nella figura, sono

e

L'ampiezza di un angolo esterno di un triangolo la somma delle ampiezze deglia angoli del triangolo non adiacenti.

e

Fissiamo l'attenzione su un angolo del triangolo e sull'angolo esterno adiacente: la loro somma di 180: perci l'enunciato confermato.

ESTREMO

In matematica, "estremo" ha diversi significati:
  1. Estremo di un segmento: uno dei due punti che lo limitano. "Gli etremi di un segmento sono punti".
  2. Estremo di un intervallo: uno dei due numeri che lo limitano. L'intervallo chiuso ee l'intervallo aperto ehanno per stremi e.
  3. Gli estremi del dominio di definizione di una funzione sono quelli degli intervalli nei quali la funzione definita.

EUCLIDE, TEOREMI DI

Primo Teorema di Euclide

"In un triangolo rettangolo il cateto medio proporzionale tra la sua proiezione sull'ipotenusa e l'ipotenusa stessa".

Lo stesso teorema si pu esprimere geometricamente come segue:

"In un triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto equivalente al rettangolo che ha per dimensioni la sua proiezione sull'ipotenusa e l'ipotenusa stessa"

e

Il quadrato Q equivalente, ossia ha la stessa area, del rettangolo R

In formula si ha AB2 = BC ∙ BH

Dimostrazione

e

Prima dimostriamo che il triangolo ABC uguale al triangolo EBT. Facendo riferimento alla figura, i due triangoli hanno AB=BE, l'angolo ABC uguale all'angolo TBE (perch complementari dello stesso angolo ABT). Per il criterio di congruenza dei triangoli rettangoli i due triangoli sono uguali.

Se ne deduce che BC = BT.

Il quadrato Q e il parallelogrammo P hanno la stessa base AB e la stessa altezza AD, che la distanza tra le rette parallele AB e EL, quindi Q e P sono equivalenti. Il parallelogrammo P e il rettangolo R hanno le basi BT e BM uguali e l'altezza BH in comune, perch distanza tra le rette parallele TM e LK. Per la propriet transitiva dell'equivalenza si ha che Q equivalente a R.

Primo teorema di Euclide

Secondo Teorema di Euclide

"In un triangolo rettangolo l'altezza relativa all'ipotenusa media proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa". Il secondo teorema pu anche essere espresso come:

"in un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull'altezza relativa all'ipotenusa equivalente al rettangolo che ha per dimensioni le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa".

e

Nel disegno Q1 equivalente a R

In formula AH2 = BH ∙ HC

e

Descrizione della figura

Il triangolo ABC rettangolo in A.

Q1 il quadrato costruito sull'altezza AH relativa all'ipotenusa.

Q2 il quadrato costruito sulla proiezione BH del cateto AB.

Q3 il quadrato costruito sul cateto AB.

Il rettangolo BHKM ha come lati la proiezione BH del cateto AB sull'ipotenusa e BM = BC. Il rettangolo R ha come lati le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa. LM = BM - BL = BC - BH = HC

Dimostrazione

Per il primo teorema di Euclide applicato al triangolo rettangolo ABC

Q3 equivalente a Q2 + R

Per il teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo ABH

Q3 equivalente a Q2+Q1

Per la propriet transitiva dell'equivalenza si ottiene

Q2+Q1 equivalente a Q2+R

Se ne conclude che

Q1 equivalente a R

Secondo teorema di Euclide

b ... continua a leggere ... n

 

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