Dizionario di matematica e geometria iniziale B.

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Ripasso di matematica

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Geometria Piana e Solida Informatica Media Ecdl

GEOMETRIA PIANA E SOLIDA

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BARICENTRO

In geometria, il baricentro (a volte chiamato centroide) di una figura X n-dimensionale in uno spazio euclideo n-dimensionale è l'intersezione di tutti gli iperpiani che dividono X in due parti di misura identica. In modo informale, possiamo dire che è la "media" di tutti i punti di X. Una figura concava può avere come baricentro un punto che non appartiene alla figura stessa; ad esempio il baricentro di una falce di luna si trova in un punto del suo asse di simmetria, ma fuori dalla falce stessa. Il baricentro di un triangolo è il punto di intersezione delle sue mediane, cioè dei segmenti che uniscono ciascun vertice con il punto medio del lato opposto. Per ogni triangolo il baricentro è suo punto interno e si può dimostrare che ciascuna delle tre mediane viene divisa dal baricentro in due parti in rapporto 2:1. Di regola, il baricentro di un triangolo non è il centro di qualche cerchio notevole collegato al triangolo, inscritto o circoscritto: questo accade nel caso particolare di un triangolo equilatero.

Triangolo equilatero
Passando alle tre dimensioni abbiamo situazioni analoghe per il baricentro dei tetraedri. Tale punto si può individuare come punto di incontro di due dei quattro segmenti che uniscono uno dei quattro vertici con il baricentro della faccia triangolare opposta: i quattro segmenti si incontrano tutti in un punto, il baricentro, il quale divide ciascuno di essi in due parti in rapporto 3:1.

BASE

In matematica, e più precisamente in algebra lineare, un insieme di vettori di uno spazio vettoriale è una base se questi vettori sono indipendenti e generano lo spazio vettoriale. La base è un concetto chiave dell'algebra lineare, essenzialmente per il motivo seguente: uno spazio vettoriale generalmente non ha una sola base, anzi solitamente ha una infinità di basi molto diverse fra loro; però queste hanno tutte la stessa cardinalità, sono formate cioè sempre dallo stesso numero di vettori. Questo numero, che dipende quindi solo da V, è la dimensione di V e ci permette di parlare di spazi di dimensione arbitrariamente alta, superando i limiti della nostra intuizione tridimensionale.

Definizione

Sia V uno spazio vettoriale su un campo K. Un insieme ordinato di vettori (v1, ..., vn) è una base per V se valgono entrambe queste proprietà:

I vettori v1, ..., vn sono linearmente indipendenti;

I vettori v1, ..., vn generano V, cioè V = Span(v1, ..., vn).

Proprietà

L'insieme B = (v1, ..., vn) è una base per V se e solo se ogni elemento v di V si può scrivere in un modo solo come combinazione lineare dei vettori v1, ..., vn.
Due basi B e B' di V hanno sempre la stessa cardinalità, detta dimensione di V. Tale cardinalità è pari al massimo numero di vettori indipendenti in V e al minimo numero di vettori necessari per generare V. Le due proprietà seguenti mostrano che, se conosciamo già la dimensione dello spazio, per verificare che un insieme del numero giusto di elementi sia una base basta dimostrare una sola delle due proprietà necessarie:

Un insieme B di n vettori in uno spazio V di dimensione n è una base se e solo se sono indipendenti.

Un insieme B di n vettori in uno spazio V di dimensione n è una base se e solo se generano V.

Esempi

I vettori (1,0) e (0,1) sono una base di R2, perché sono indipendenti e generano R2 (infatti ogni altro (a, b) si scrive come (a, b) = a(1,0) + b(0,1)).

In dimensione arbitraria, una base dello spazio vettoriale Rn è data dai vettori

e1 = (1, 0, 0, ..., 0), e2 = (0, 1, 0, ...,0), ..., en = (0, ..., 0, 1).

Questa base si chiama base canonica di Rn.

La base canonica di Cn, cioè lo spazio vettoriale delle n-uple di numeri complessi, è sempre

e1 = (1, 0, 0, ..., 0), e2 = (0, 1, 0, ...,0), ..., en = (0, ..., 0, 1).

È facile infatti scrivere un qualsiasi vettore di Cn come combinazione di questi. Ad esempio il vettore (i, 0, 0) si scrive come

i * (1 , 0 , 0) = (i , 0 , 0)

I vettori (3,1) e (-1,2) formano una base di R2, diversa da quella canonica: visto che sono 2 vettori in uno spazio che sappiamo già avere dimensione 2, grazie alla proprietà descritta sopra per dimostrare questo fatto ci basta notare che sono indipendenti. In geometria la parola base prende primariamente significato dal greco baínein, che vuol dire "appoggiarsi su", e indica che una figura è costruita su certi elementi o a partire da essi. Per esempio supponiamo di dover costruire, a partire da un segmento AB, un triangolo con certe proprietà, oppure, a partire da un cercio C, un cono soddisfacente a certe condizioni: la base di un triangolo o quella di un cono avrebbero funzione analoga, pur essendo di natura diversa.

Base
Il significato di base si riallaccia a volte a quello corrente di "parte inferiore" di un oggetto; in esso la parte più alta si chiama a volte vertice e l'altezza dell'oggetto è la distanza fra le due.

BINARIA, NUMERAZIONE

Sistema di numerazione a base due, in cui bastano due cifre 1 e 0, per scrivere tutti i numeri. Ecco una tabella che confronta le rappresentazioni binarie, esadecimali e decimali di alcuni numeri

 

binario esadecimale decimale
0000 = 0 = 0
0001 = 1 = 1
0010 = 2 = 2
0011 = 3 = 3
0100 = 4 = 4
0101 = 5 = 5
0110 = 6 = 6
0111 = 7 = 7
1000 = 8 = 8
1001 = 9 = 9
1010 = A = 10
1011 = B = 11
1100 = C = 12
1101 = D = 13
1110 = E = 14
1111 = F = 15
 

È usata in informatica per la rappresentazione interna dei numeri, grazie alla semplicità di realizzare fisicamente un elemento con due stati anziché un numero superiore, ma anche per la corrispondenza con i valori logici vero e falso. È considerato tra le più grandi invenzioni del matematico tedesco G. Leibniz; purtroppo però essa cadde nel vuoto e solo nel 1847 verrà riscoperta, grazie al matematico inglese G. Boole, che aprirà l'orizzonte alle grandi scuole di logica matematica del '900 e soprattutto alla nascita del calcolatore elettronico. La formula per convertire un numero da binario a decimale (dove con d si indica la cifra di posizione n all'interno del numero, partendo da 0) è

d(n - 1)2(n - 1) + ... + d020 = N

Ad esempio 10012 = 1 * 23 + 0 * 22 + 0 * 21 + 1 * 20 = 910

BINOMIO

Un binomio è un'espressione algebrica nella quale figurano due termini, due monomi non simili, collegati da un segno di addizione o di sottrazione.

Per esempio, sono binomi

a+b, a-bc,Binomi, 2x-+ 3.

I binomi- sono dunque i polinomi del tipo più semplice dopo i monomi (che sono anch'essi dei polinomi particolari). I binomi intervengono in molte identità notevoli. utili peri calcoli algebrici.

Calcoli con i binomi

Formule delle potenze di-un-binomio (Newton)

Un binomio può essere moltiplicato per se stesso indefinitamente; si ottengono così le sue potenze successive, delle quali diamo qui qualche esempio:

Binomi Potenza
La formula che dà la potenza n-esima, che qui non scriviamo; si chiama anche "binomio di Newton". I coefficienti dei polinomi potenza si possono scrivere in uno schema, che prende il nome di "triangolo di Tartaglia" o -"di Pascal":

Coefficiente Somma
Si osserva che il primo e l'ultimo coefficiente sono 1 e ogni numero è la somma dei due numeri più vicini della fila superiore. Questa regola permette di trovare-subito i coefficienti delle potenze successive.

Prodotto di una somma per una differenza

CalcoliamoProprietà distributiva; applicando la proprietà distributiva e successivamente la commutativa:

Fattorizzazione di Binomi

Fattorizzazione di binomi

Quando si deve fattorizzare un'espressione algebrica, un binomio è la più piccola "unità" che si può trovare. In effetti, un binomio nel quale compaiono coefficienti numerici si può scrivere in infiniti modi:

Coefficienti numerici

La scelta fra tutte queste può essere suggerita dal contesto; di regola, la più semplice (quando i coefficienti sono interi) è quella che mette in evidenza un binomio i cui coefficienti sono primi fra loro. In questo caso sarebbe Binomi coefficienti numerici.

BIQUADRATICO

Un'equazione biquadratica è un'equazione di quarto grado nella quale l'incognita figura solo alla seconda e alla quarta potenza, cioè come "quadrato" e "quadrato di quadrato"; essa è dunque della forma:

Equazioni

Sostituendo X a Equazione biquadratica, la sua risoluzione si riconduce a quella di un'equazione di secondo grado.

BISETTRICE

La bisettrice di un angolo è quella semiretta che parte dal vertice dell'angolo e lo divide in due angoli esattamente congruenti. La bisettrice di un angolo è asse di simmetria dell'angolo.

Proprietà delle bisettrici

Dato un angolo, i punti sulla bisettrice hanno uguale distanza dalle due semirette che lo formano.

Bisettrici di due angoli adiacenti

Dati due angoli adiacenti, e quindi supplementari si dimostra facilmente che le bisettrici:

dei due angoli sono perpendicolari, poiché l'angolo da esse individuato è formato dalla metà degli angoli dati.

Bisettrice

Le bisettrici di due angoli adiacenti sono perpendicolari.

Bisettrici di due angoli opposti al vertice

Se due angoli sono opposti al vertice; le loro bisettrici sono una il prolungamento dell'altra. Esse sono, infatti, entrambe perpendicolari alla semiretta OT, dunque il loro angolo è piatto.

Angoli e Bisettrici

Bisettrici di un triangolo

Il concetto di bisettrice si applica in particolare al triangolo, dove indica il segmento di bisettrice che divide un angolo in due parti uguali e si ferma sul lato opposto. Quindi, se Angoli e Bisettrici è l'angolo più piccolo ricavato con la bisettrice e Bisettrici l'angolo considerato all'inizio, possiamo scrivere:

Triangoli e Bisettrici o se si preferisce Triangoli e tre Bisettrici

In un triangolo, le tre bisettrici si incontrano in un punto, chiamato incentro. Esso è uno dei punti notevoli di un triangolo e non può mai cadere all'esterno del triangolo stesso né sul suo perimetro. Inoltre, per la proprietà di cui sopra, si ha che l'incentro è il punto del triangolo equidistante dai tre lati. Dall'incentro si può poi costruire il cerchio inscritto del dato triangolo. Considerando un triangolo ABC e la bisettrice dell'angolo BÂC che incontra il lato BC in M sussiste la seguente proporzione:

AB:AC = BM:MC,

che deriva direttamente dal teorema di Talete.

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