Matematico e fisico italiano. Diplomatosi nel 1882 con E. Betti e U. Dini alla Scuola normale superiore di Pisa, l'anno successivo vinse il concorso per l'affidamento di una cattedra di Meccanica razionale all'università di Pisa. Fu in seguito docente a Torino (1892) e a Roma (1900), dove sostituì E. Beltrami alla cattedra di Fisica matematica. Senatore del Regno (dal 1905), nel 1926 venne nominato accademico pontificio. Fu altresì socio (1896) e presidente (1919-20) della Società dei XL, socio nazionale (1899-1935) e presidente (1923-26) dell'Accademia dei Lincei, oltre che presidente del Consiglio nazionale delle ricerche (1923-26). Durante la prima guerra mondiale si arruolò volontario svolgendo, in qualità di ufficiale del genio, importanti studi teorici nell'ambito dell'artiglieria aeronautica. Nel 1931, oppostosi alla richiesta di giuramento di fedeltà al regime fascista, fu costretto a dimettersi dall'insegnamento e a espatriare in Francia, spinto anche dalle nascenti persecuzioni antisemite. A Parigi continuò la sua attività di ricerca fino al 1939, anno del suo rientro in Italia. Importante teorico, elaborò metodi basilari di analisi di equazioni a derivate parziali della fisica matematica, della teoria dell'elasticità, delle equazioni integrali e integro-differenziali. Formulò il concetto generale di funzionale, ovvero di dipendenza di un numero dai valori infiniti assunti da una o più funzioni in un determinato campo, destinato a dare il via a un nuovo metodo di analisi (o calcolo) detto appunto funzionale (V.). V. fu anche uno dei primi matematici a interessarsi dei sistemi biologici mediante l'analisi delle condizioni di equilibrio e delle fluttuazioni stocastiche risultanti dall'associazione di specie biologiche diverse in un unico ambiente. Tra il 1952 e il 1962 l'Accademia dei Lincei ha curato la pubblicazione dell'opera omnia di V. raccolta nei cinque volumi denominati Opere matematiche (Ancona 1860 - Roma 1940).