La qualità di cose diverse fra loro o
differenti solo in alcuni particolari aspetti:
v.
di opinioni.
║ La molteplicità di aspetti sotto i quali si presenta una stessa
cosa:
la v.
del paesaggio. ║ Ogni singolo oggetto o
individuo dotato di caratteristiche che lo differenzino da altri della stessa
specie:
una bella v.
di rose. ║ In filatelia, francobollo
che differisce dal tipo predisposto per la stampa, il colore, la forma, la
dentellatura, ecc.; ha in genere elevato valore commerciale. • Biol. -
Gruppo sistematico inferiore alla sottospecie; viene considerato da alcuni come
corrispondente alle razze che si sono prodotte spontaneamente in natura. •
Agr. - Entità comprese in una specie; è sinonimo di
razza.
• Mat. - Generalizzazione del concetto di curva e superficie a un ente
geometrico a
n dimensioni. Dato uno spazio topologico
S, un aperto
U di
S e un omeomorfismo
θ tra
U e un aperto
dello spazio reale
n-dimensionale
Rn, la coppia (
U,
θ) prende il nome di
sistema di coordinate locali in
U,
poiché consente di associare a ogni punto
P di
U una
n-pla di numeri reali (
x1,
...,
xn), le coordinate reali del punto corrispondente a
P
nell'omeomorfismo
θ. Se (
U',
θ') è un
altro sistema di coordinate locali nell'aperto
U', ogni punto
P
appartenente all'intersezione dei due aperti,
U ∩ U', avrà
due diverse
n-ple di coordinate, (
x1,
...,
xn) e (
y1,
...,
yn);
in generale le
yi sono legate alle
xi da un
cambiamento invertibile di coordinate, espresso tramite le equazioni
yi = fi(
x1,
...,
xn). Uno spazio topologico
S si dice dotato di una
struttura di
v. quando ammette una famiglia di sistemi di coordinate
locali (
Ui,
θi) tale che gli aperti
Ui costituiscono un ricoprimento di
S e i cambiamenti
di coordinate appartengono a una determinata classe di funzioni (almeno
continue), che specifica il tipo di
v. stessa. In particolare, se le
funzioni
fi che esprimono il cambiamento di coordinate sono
continue, si parla di
v.
topologica; se sono funzioni analitiche,
si parla di
v.
analitica. L'intero
n prende il nome di
dimensione della
v. In genere, nella teoria delle
v. si
suppone che lo spazio topologico
S sia uno spazio di Hausdorff; ulteriori
proprietà (connessione, compattezza, ecc.) di cui goda
S come
spazio topologico divengono attributi della
v.
stessa (si parla,
quindi, di
v.
connessa,
compatta, ecc.). Nello studio delle
v. assume particolare importanza il concetto di
applicazione tra due
v., e le relative classi di equivalenza, dette
germi di funzioni.
Precisamente, date due
v.
V e
V' di classe
Ci (cioè tali che i cambiamenti di coordinate siano
espressi tramite funzioni differenziabili con continuità
i volte),
un'applicazione
Φ da
V su
V' viene detta
applicazione di classe Ci se per ogni coppia di punti
corrispondenti
P e
P' le coordinate locali di
P' sono
funzioni di classe
Ci delle coordinate locali di
P; in
particolare, si dimostra che tale proprietà non dipende dal tipo di
coordinate locali scelte. Se l'applicazione
Φ ammette anche
un'inversa
Φ-1 avente le stesse proprietà, essa
prende il nome di
isomorfismo di classe Ci, o
diffeomorfismo; la relazione di isomorfismo tra
v. di dimensione
n e classe
Ci è una relazione di equivalenza, le
cui classi sono costituite dalle
v. considerate. Uno dei problemi
fondamentali della teoria delle
v. è determinare tutte le classi
di equivalenza distinte, ovvero classificare le
v. rispetto alla
relazione di isomorfismo sopra definita. ║
V.
abeliana:
v. algebrica di dimensione
p, isomorfa, dal punto di vista
topologico, a un toro complesso
T. Lo studio delle
v. abeliane
corrisponde, dal punto di vista analitico, allo studio delle applicazioni
meromorfe di
p variabili complesse, con
2p periodi indipendenti.
║
V.
algebrica:
v. di dimensione
n in cui gli
omeomorfismi che definiscono i sistemi di coordinate locali sono espressi
mediante polinomi; anche,
v. costituita da tutti e solo i punti
soddisfacenti un dato sistema di equazioni algebriche. Esempi elementari di
v. algebriche sono: una curva algebrica piana; una superficie algebrica
nello spazio tridimensionale; un'ipersuperficie algebrica di un iperspazio; ecc.
Una
v.
algebrica si dice
riducibile o
spezzata se
è data dall'unione di due o più
v. algebriche non degeneri,
mentre si dice
irriducibile nel caso opposto; è possibile
dimostrare che ogni
v. algebrica è l'unione di un numero finito di
v. algebriche irriducibili, che prendono il nome di
componenti
irriducibili della v.
Data una
v.
algebrica
V
immersa in uno spazio proiettivo
r-dimensionale
Pr
(costituita, cioè, da tutti e solo i punti di
Pr le cui
coordinate proiettive soddisfano un dato sistema di equazioni algebriche
omogenee), si definisce
dimensione di
V il massimo intero
d
tale che ogni sottospazio proiettivo
Pr-d abbia intersezione
non vuota con
V, mentre si definisce
ordine di
V il numero
costante di punti di intersezione di
V con
Pr-d; un
punto
A di
V si dice
semplice o
non singolare se il
generico sottospazio
Pr-d ha una sola intersezione con
V in
A, mentre si dice
singolare nel caso contrario. Lo
studio delle
v. algebriche immerse in uno spazio proiettivo costituisce
la
geometria algebrica proiettiva; la
geometria algebrica in senso
proprio, invece, è costituita dallo studio delle
v.
algebriche e del loro comportamento rispetto alle trasformazioni
birazionali, in particolare lo studio della classificazione delle
v.
algebriche rispetto alla relazione di isomorfismo birazionale. ║
V.
analitica:
v. differenziabile tale che in ogni suo punto
i cambiamenti di coordinate locali siano espressi mediante funzioni analitiche.
Le
v. analitiche così definite sono anche dette
v.
analitiche reali, poiché i sistemi di coordinate locali sono definiti
mediante omeomorfismi sullo spazio reale
n-dimensionale
Rn; allo stesso modo, sostituendo a
Rn lo
spazio
n-dimensionale complesso
Cn e a funzioni
analitiche reali funzioni analitiche complesse, è possibile definire una
v.
analitica complessa. In particolare, ogni
v. analitica
complessa a
n dimensioni complesse può essere interpretata come
v. analitica reale a
2n dimensioni reali; così, un piano
proiettivo complesso può essere considerato come una
v. analitica
complessa a 2 dimensioni, o come una
v. analitica reale a 4 dimensioni.
La nozione di
v. analitica complessa trova notevoli applicazioni nello
studio di numerose questioni di fisica matematica. ║
V.
astratta:
v. considerata in senso astratto, come classe di
equivalenza. ║
V.
differenziabile:
v. dotata in ogni
punto di un sistema di coordinate locali tali che i cambiamenti di coordinate
siano espressi mediante funzioni differenziabili di classe
Ci.
Una
v. differenziabile è un tipo particolare di
v.
topologica; si dimostra, tuttavia, che esistono
v. topologiche su cui non
è possibile costruire alcuna struttura differenziabile; inoltre, è
possibile che due diverse
v.
differenziabili siano isomorfe come
v. topologiche, ma non lo siano in quanto
v. differenziabili. Data
una
v. differenziabile
V e un suo punto
x, è
possibile introdurre uno
spazio tangente Tx alla
v. nel
punto
x, mediante la nozione di
derivata direzionale in
x
delle funzioni definite sulla
v.; di conseguenza, è possibile
introdurre e studiare su una
v. differenziabile
campi di vettori,
campi di tensori,
forme differenziali esterne e loro
integrali, che permettono di stabilire legami tra proprietà
topologiche e algebriche della
v. Una funzione differenziabile
F
tra due
v. viene detta
immersione se il differenziale di
F
è un'applicazione lineare iniettiva, mentre viene detta
imbedding
se è un'immersione con omeomorfismo sull'immagine; si dimostra che ogni
v.
differenziabile di dimensione
n può essere
immersa in
R2n e può essere
imbedded in
R2n+1. ║
V.
fibrata: generalizzazione del
concetto di prodotto tra
v. differenziabili, noto anche con il nome di
spazio fibrato o
fibrato. A ogni
v. differenziabile di
classe
Ci e dimensione
n può essere associato
uno spazio fibrato, detto
fibrato tangente: esso è costituito
dall'insieme di tutti gli spazi tangenti alla
v., che può essere
dotato di una struttura di
v. differenziabile di classe
Ci-1 e dimensione
2n. ║
V.
gruppale
o
v.
di gruppo:
v. dotata di una struttura algebrica di
gruppo e di una struttura topologica, collegate tra loro in modo opportuno.
║
V.
irriducibile:
v. che non può essere
considerata come l'unione di due o più
v. della stessa specie,
entrambe distinte da essa. ║
V.
lineare:
v. algebrica
irriducibile che può essere posta in corrispondenza birazionale senza
eccezioni con uno spazio proiettivo della stessa dimensione. ║
V.
lorentziana:
v. differenziabile connessa e di Hausdorff,
sulla quale sia possibile definire una metrica
g non degenere con
segnatura lorentziana, riconducibile alla forma diagonale iperbolica usuale (1,
1, ... 1; -1). Un esempio fondamentale è dato dallo spazio-tempo della
relatività ristretta. ║
V.
di moduli: in geometria
algebrica,
v. i cui punti sono a loro volta costituiti da
v.
algebriche di dimensione assegnata, appartenenti a una famiglia opportuna.
║
V.
orientabile:
v. connessa sulla quale è
possibile introdurre un'opportuna orientazione, cui si perviene generalizzando
il concetto di orientazione di una superficie. ║
V.
prodotto: date due
v.
V e
V', insieme delle coppie
ordinate degli elementi di
V e di
V', dotato della struttura di
v. costruita in modo opportuno a partire dalle strutture esistenti su
V e
V'. ║
V.
razionale:
v.
algebrica irriducibile che può essere posta in corrispondenza
unirazonale con uno spazio proiettivo. Ogni
v. razionale, pertanto,
ammette una rappresentazione parametrica mediante funzioni razionali. Se la
corrispondenza è generalmente invertibile in modo razionale, la
v.
viene detta
birazionale. ║
V.
riducibile:
v.
che può essere vista come unione di due o più
v. dello
stesso tipo, distinte da essa. ║
V.
riemanniana:
v.
differenziabile di classe
Ci dotata di una metrica
riemanniana. Data una
v. differenziabile
V di classe
Ci, è possibile costruire su di essa una
metrica
riemanniana assegnando in ogni suo punto una forma differenziale quadratica
definita positiva, esprimibile, in coordinate locali, nella forma
ds2 = Σi,j
gi,jdxidxj
dove i coefficienti
gi,j
della metrica soddisfano la condizione
gi,j
= gj,i e sono funzioni di classe
Ci-1. La conoscenza della forma quadratica che definisce la
metrica consente lo sviluppo della
geometria riemanniana sulla
v.;
in particolare, è possibile trattare questioni metriche analoghe a quelle
dello spazio euclideo ordinario (distanze, angoli, aree, ecc.), definire linee
di minima distanza (
geodetiche), studiare proprietà di curvatura,
ecc. La nozione di
v. riemanniana e la corrispondente geometria sono lo
strumento matematico alla base della relatività generale einsteniana.
║
V.
topologica:
v.
dotata, in generale, della
sola struttura topologica, che costituisce la struttura minima per
l'introduzione del concetto di
v. Una
v. topologica viene detta
triangolabile quando è possibile stabilire un omeomorfismo, detto
a sua volta
triangolazione, tra la
v. stessa e un complesso
simpliciale; si dimostra che ogni
v. topologica di dimensione inferiore a
4 è triangolabile, e che ogni
v. differenziabile è sempre
triangolabile.