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Varietà.

La qualità di cose diverse fra loro o differenti solo in alcuni particolari aspetti: v. di opinioni. ║ La molteplicità di aspetti sotto i quali si presenta una stessa cosa: la v. del paesaggio. ║ Ogni singolo oggetto o individuo dotato di caratteristiche che lo differenzino da altri della stessa specie: una bella v. di rose. ║ In filatelia, francobollo che differisce dal tipo predisposto per la stampa, il colore, la forma, la dentellatura, ecc.; ha in genere elevato valore commerciale. • Biol. - Gruppo sistematico inferiore alla sottospecie; viene considerato da alcuni come corrispondente alle razze che si sono prodotte spontaneamente in natura. • Agr. - Entità comprese in una specie; è sinonimo di razza. • Mat. - Generalizzazione del concetto di curva e superficie a un ente geometrico a n dimensioni. Dato uno spazio topologico S, un aperto U di S e un omeomorfismo θ tra U e un aperto dello spazio reale n-dimensionale Rn, la coppia (U, θ) prende il nome di sistema di coordinate locali in U, poiché consente di associare a ogni punto P di U una n-pla di numeri reali (x1, ..., xn), le coordinate reali del punto corrispondente a P nell'omeomorfismo θ. Se (U', θ') è un altro sistema di coordinate locali nell'aperto U', ogni punto P appartenente all'intersezione dei due aperti, U ∩ U', avrà due diverse n-ple di coordinate, (x1, ..., xn) e (y1, ..., yn); in generale le yi sono legate alle xi da un cambiamento invertibile di coordinate, espresso tramite le equazioni yi = fi(x1, ..., xn). Uno spazio topologico S si dice dotato di una struttura di v. quando ammette una famiglia di sistemi di coordinate locali (Ui, θi) tale che gli aperti Ui costituiscono un ricoprimento di S e i cambiamenti di coordinate appartengono a una determinata classe di funzioni (almeno continue), che specifica il tipo di v. stessa. In particolare, se le funzioni fi che esprimono il cambiamento di coordinate sono continue, si parla di v. topologica; se sono funzioni analitiche, si parla di v. analitica. L'intero n prende il nome di dimensione della v. In genere, nella teoria delle v. si suppone che lo spazio topologico S sia uno spazio di Hausdorff; ulteriori proprietà (connessione, compattezza, ecc.) di cui goda S come spazio topologico divengono attributi della v. stessa (si parla, quindi, di v. connessa, compatta, ecc.). Nello studio delle v. assume particolare importanza il concetto di applicazione tra due v., e le relative classi di equivalenza, dette germi di funzioni. Precisamente, date due v. V e V' di classe Ci (cioè tali che i cambiamenti di coordinate siano espressi tramite funzioni differenziabili con continuità i volte), un'applicazione Φ da V su V' viene detta applicazione di classe Ci se per ogni coppia di punti corrispondenti P e P' le coordinate locali di P' sono funzioni di classe Ci delle coordinate locali di P; in particolare, si dimostra che tale proprietà non dipende dal tipo di coordinate locali scelte. Se l'applicazione Φ ammette anche un'inversa Φ-1 avente le stesse proprietà, essa prende il nome di isomorfismo di classe Ci, o diffeomorfismo; la relazione di isomorfismo tra v. di dimensione n e classe Ci è una relazione di equivalenza, le cui classi sono costituite dalle v. considerate. Uno dei problemi fondamentali della teoria delle v. è determinare tutte le classi di equivalenza distinte, ovvero classificare le v. rispetto alla relazione di isomorfismo sopra definita. ║ V. abeliana: v. algebrica di dimensione p, isomorfa, dal punto di vista topologico, a un toro complesso T. Lo studio delle v. abeliane corrisponde, dal punto di vista analitico, allo studio delle applicazioni meromorfe di p variabili complesse, con 2p periodi indipendenti. ║ V. algebrica: v. di dimensione n in cui gli omeomorfismi che definiscono i sistemi di coordinate locali sono espressi mediante polinomi; anche, v. costituita da tutti e solo i punti soddisfacenti un dato sistema di equazioni algebriche. Esempi elementari di v. algebriche sono: una curva algebrica piana; una superficie algebrica nello spazio tridimensionale; un'ipersuperficie algebrica di un iperspazio; ecc. Una v. algebrica si dice riducibile o spezzata se è data dall'unione di due o più v. algebriche non degeneri, mentre si dice irriducibile nel caso opposto; è possibile dimostrare che ogni v. algebrica è l'unione di un numero finito di v. algebriche irriducibili, che prendono il nome di componenti irriducibili della v. Data una v. algebrica V immersa in uno spazio proiettivo r-dimensionale Pr (costituita, cioè, da tutti e solo i punti di Pr le cui coordinate proiettive soddisfano un dato sistema di equazioni algebriche omogenee), si definisce dimensione di V il massimo intero d tale che ogni sottospazio proiettivo Pr-d abbia intersezione non vuota con V, mentre si definisce ordine di V il numero costante di punti di intersezione di V con Pr-d; un punto A di V si dice semplice o non singolare se il generico sottospazio Pr-d ha una sola intersezione con V in A, mentre si dice singolare nel caso contrario. Lo studio delle v. algebriche immerse in uno spazio proiettivo costituisce la geometria algebrica proiettiva; la geometria algebrica in senso proprio, invece, è costituita dallo studio delle v. algebriche e del loro comportamento rispetto alle trasformazioni birazionali, in particolare lo studio della classificazione delle v. algebriche rispetto alla relazione di isomorfismo birazionale. ║ V. analitica: v. differenziabile tale che in ogni suo punto i cambiamenti di coordinate locali siano espressi mediante funzioni analitiche. Le v. analitiche così definite sono anche dette v. analitiche reali, poiché i sistemi di coordinate locali sono definiti mediante omeomorfismi sullo spazio reale n-dimensionale Rn; allo stesso modo, sostituendo a Rn lo spazio n-dimensionale complesso Cn e a funzioni analitiche reali funzioni analitiche complesse, è possibile definire una v. analitica complessa. In particolare, ogni v. analitica complessa a n dimensioni complesse può essere interpretata come v. analitica reale a 2n dimensioni reali; così, un piano proiettivo complesso può essere considerato come una v. analitica complessa a 2 dimensioni, o come una v. analitica reale a 4 dimensioni. La nozione di v. analitica complessa trova notevoli applicazioni nello studio di numerose questioni di fisica matematica. ║ V. astratta: v. considerata in senso astratto, come classe di equivalenza. ║ V. differenziabile: v. dotata in ogni punto di un sistema di coordinate locali tali che i cambiamenti di coordinate siano espressi mediante funzioni differenziabili di classe Ci. Una v. differenziabile è un tipo particolare di v. topologica; si dimostra, tuttavia, che esistono v. topologiche su cui non è possibile costruire alcuna struttura differenziabile; inoltre, è possibile che due diverse v. differenziabili siano isomorfe come v. topologiche, ma non lo siano in quanto v. differenziabili. Data una v. differenziabile V e un suo punto x, è possibile introdurre uno spazio tangente Tx alla v. nel punto x, mediante la nozione di derivata direzionale in x delle funzioni definite sulla v.; di conseguenza, è possibile introdurre e studiare su una v. differenziabile campi di vettori, campi di tensori, forme differenziali esterne e loro integrali, che permettono di stabilire legami tra proprietà topologiche e algebriche della v. Una funzione differenziabile F tra due v. viene detta immersione se il differenziale di F è un'applicazione lineare iniettiva, mentre viene detta imbedding se è un'immersione con omeomorfismo sull'immagine; si dimostra che ogni v. differenziabile di dimensione n può essere immersa in R2n e può essere imbedded in R2n+1. ║ V. fibrata: generalizzazione del concetto di prodotto tra v. differenziabili, noto anche con il nome di spazio fibrato o fibrato. A ogni v. differenziabile di classe Ci e dimensione n può essere associato uno spazio fibrato, detto fibrato tangente: esso è costituito dall'insieme di tutti gli spazi tangenti alla v., che può essere dotato di una struttura di v. differenziabile di classe Ci-1 e dimensione 2n. ║ V. gruppale o v. di gruppo: v. dotata di una struttura algebrica di gruppo e di una struttura topologica, collegate tra loro in modo opportuno. ║ V. irriducibile: v. che non può essere considerata come l'unione di due o più v. della stessa specie, entrambe distinte da essa. ║ V. lineare: v. algebrica irriducibile che può essere posta in corrispondenza birazionale senza eccezioni con uno spazio proiettivo della stessa dimensione. ║ V. lorentziana: v. differenziabile connessa e di Hausdorff, sulla quale sia possibile definire una metrica g non degenere con segnatura lorentziana, riconducibile alla forma diagonale iperbolica usuale (1, 1, ... 1; -1). Un esempio fondamentale è dato dallo spazio-tempo della relatività ristretta. ║ V. di moduli: in geometria algebrica, v. i cui punti sono a loro volta costituiti da v. algebriche di dimensione assegnata, appartenenti a una famiglia opportuna. ║ V. orientabile: v. connessa sulla quale è possibile introdurre un'opportuna orientazione, cui si perviene generalizzando il concetto di orientazione di una superficie. ║ V. prodotto: date due v. V e V', insieme delle coppie ordinate degli elementi di V e di V', dotato della struttura di v. costruita in modo opportuno a partire dalle strutture esistenti su V e V'. ║ V. razionale: v. algebrica irriducibile che può essere posta in corrispondenza unirazonale con uno spazio proiettivo. Ogni v. razionale, pertanto, ammette una rappresentazione parametrica mediante funzioni razionali. Se la corrispondenza è generalmente invertibile in modo razionale, la v. viene detta birazionale. ║ V. riducibile: v. che può essere vista come unione di due o più v. dello stesso tipo, distinte da essa. ║ V. riemanniana: v. differenziabile di classe Ci dotata di una metrica riemanniana. Data una v. differenziabile V di classe Ci, è possibile costruire su di essa una metrica riemanniana assegnando in ogni suo punto una forma differenziale quadratica definita positiva, esprimibile, in coordinate locali, nella forma

ds2 = Σi,j gi,jdxidxj

dove i coefficienti gi,j della metrica soddisfano la condizione gi,j = gj,i e sono funzioni di classe Ci-1. La conoscenza della forma quadratica che definisce la metrica consente lo sviluppo della geometria riemanniana sulla v.; in particolare, è possibile trattare questioni metriche analoghe a quelle dello spazio euclideo ordinario (distanze, angoli, aree, ecc.), definire linee di minima distanza (geodetiche), studiare proprietà di curvatura, ecc. La nozione di v. riemanniana e la corrispondente geometria sono lo strumento matematico alla base della relatività generale einsteniana. ║ V. topologica: v. dotata, in generale, della sola struttura topologica, che costituisce la struttura minima per l'introduzione del concetto di v. Una v. topologica viene detta triangolabile quando è possibile stabilire un omeomorfismo, detto a sua volta triangolazione, tra la v. stessa e un complesso simpliciale; si dimostra che ogni v. topologica di dimensione inferiore a 4 è triangolabile, e che ogni v. differenziabile è sempre triangolabile.