Mat. - Particolare tipo di numeri che costituiscono una generalizzazione dei
numeri complessi; introdotti da W.R. Hamilton, trovano numerose applicazioni in
vari ambiti della matematica. Ciascun
q. ha la forma
a +
bi
+
cj +
dk, dove i simboli
i, j, k prendono il nome di
unità immaginarie e
a, b, c, d, sono numeri reali.
L'addizione è definita componente per componente, nel modo usuale, mentre
il prodotto si basa sulle seguenti relazioni:
i2= j2 =
k2 = -1,
ij = -ji = k,
jk = -kj =i,
ki = -ik =
j. Introdotte tali operazioni, l'insieme dei
q. costituisce un corpo
non commutativo e un'algebra non commutativa sul campo dei reali. In ogni
q. si distinguono una
parte reale, Re
q = a e una
parte
immaginaria Im
q = bi + cj + dk;
se
b =
c =
d = 0, il
q. si riduce al numero reale
a, e si chiama
scalare; se
a = 0, il
q. si dice
vettore. Si chiama
q.
coniugato di
q il
q. Re
q - Im
q, ovvero
a
-bi-cj-dk; il prodotto di un
q. con il suo coniugato è dato
dalla quantità reale
a2 + b2 + c2 +
d2, che prende il nome di
norma del
q. Come per i
numeri complessi, la norma del prodotto di due o più
q. è
il prodotto delle norme
dei singoli fattori, e vale il principio di
annullamento del prodotto; inoltre, il corpo dei
q. costituisce
un'algebra con divisione, nella quale, cioè, ogni equazione del tipo
qx = q' o
yq = q' ammette sempre soluzione, purché
q
sia non nullo. Il corpo dei
q. ammette una rappresentazione matriciale;
infatti, è possibile assegnare quattro matrici quadrate 1,
I, J, K
tali che abbiano la stessa tabella moltiplicativa delle quattro unità
immaginarie, e definire in questo modo un corpo di matrici isomorfo a quello dei
q. È stato dimostrato, inoltre, che esiste una sola
rappresentazione con matrici di ordine 2, nessuna con matrici di ordine 3,
mentre esistono più possibilità per matrici di ordine 4. Basandosi
sulla nozione di distanza associata alla norma, è possibile dotare il
corpo dei
q. di una struttura topologica, rendendolo così un
corpo topologico, dato che le operazioni risultano continue rispetto alla
topologia introdotta; si dimostra che tale spazio è connesso e localmente
compatto, il che garantisce la validità dei principali teoremi di analisi
classica e la possibilità di sviluppare il calcolo infinitesimale su tale
corpo. ║
Gruppo dei q.: gruppo non commutativo costituito da otto
elementi, le quattro unità immaginarie e i loro inversi. È
isomorfo al gruppo generato dalle due sostituzioni su otto elementi (1 2 3 4 5 6
7 8)→(2 3 4 1 6 7 8 5) e (1 2 3 4 5 6 7 8)→(5 8 7 6 3 2 1 4).