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Quaternione.

Mat. - Particolare tipo di numeri che costituiscono una generalizzazione dei numeri complessi; introdotti da W.R. Hamilton, trovano numerose applicazioni in vari ambiti della matematica. Ciascun q. ha la forma a + bi + cj + dk, dove i simboli i, j, k prendono il nome di unità immaginarie e a, b, c, d, sono numeri reali. L'addizione è definita componente per componente, nel modo usuale, mentre il prodotto si basa sulle seguenti relazioni: i2= j2 = k2 = -1, ij = -ji = k, jk = -kj =i, ki = -ik = j. Introdotte tali operazioni, l'insieme dei q. costituisce un corpo non commutativo e un'algebra non commutativa sul campo dei reali. In ogni q. si distinguono una parte reale, Req = a e una parte immaginaria Imq = bi + cj + dk; se b = c = d = 0, il q. si riduce al numero reale a, e si chiama scalare; se a = 0, il q. si dice vettore. Si chiama q. coniugato di q il q. Req - Imq, ovvero a -bi-cj-dk; il prodotto di un q. con il suo coniugato è dato dalla quantità reale a2 + b2 + c2 + d2, che prende il nome di norma del q. Come per i numeri complessi, la norma del prodotto di due o più q. è il prodotto delle norme dei singoli fattori, e vale il principio di annullamento del prodotto; inoltre, il corpo dei q. costituisce un'algebra con divisione, nella quale, cioè, ogni equazione del tipo qx = q' o yq = q' ammette sempre soluzione, purché q sia non nullo. Il corpo dei q. ammette una rappresentazione matriciale; infatti, è possibile assegnare quattro matrici quadrate 1, I, J, K tali che abbiano la stessa tabella moltiplicativa delle quattro unità immaginarie, e definire in questo modo un corpo di matrici isomorfo a quello dei q. È stato dimostrato, inoltre, che esiste una sola rappresentazione con matrici di ordine 2, nessuna con matrici di ordine 3, mentre esistono più possibilità per matrici di ordine 4. Basandosi sulla nozione di distanza associata alla norma, è possibile dotare il corpo dei q. di una struttura topologica, rendendolo così un corpo topologico, dato che le operazioni risultano continue rispetto alla topologia introdotta; si dimostra che tale spazio è connesso e localmente compatto, il che garantisce la validità dei principali teoremi di analisi classica e la possibilità di sviluppare il calcolo infinitesimale su tale corpo. ║ Gruppo dei q.: gruppo non commutativo costituito da otto elementi, le quattro unità immaginarie e i loro inversi. È isomorfo al gruppo generato dalle due sostituzioni su otto elementi (1 2 3 4 5 6 7 8)→(2 3 4 1 6 7 8 5) e (1 2 3 4 5 6 7 8)→(5 8 7 6 3 2 1 4).