Prodotto.

Ciò che deriva dall'attività naturale o umana in generale. ║ Per estens. - Il risultato di qualsiasi operazione mentale, psichica, fisica, ecc. • Econ. - Ogni bene o servizio alla cui formazione si giunga attraverso lo svolgimento di un'attività produttiva. ║ P. interno lordo (PIL): V. PIL. ║ P. interno netto (PIN): V. PIL. ║ P. nazionale lordo (PNL): V. PIL. • Mat. - Il risultato di diversi tipi di operazioni che, in qualche modo, possano essere assimilate alla moltiplicazione ordinaria. Quasi tutti i p. godono della proprietà associativa (eccezione importante è il p. vettoriale); molti di essi godono anche della proprietà commutativa (ad esempio il p. scalare e quello topologico), alcuni della anticommutativa o alternante (come il p. vettoriale) e altri, infine, non sono né commutativi, né alternanti (come il p. di matrici). ║ Proprietà di annullamento del p.: proprietà in base alla quale il p. risulta nullo se e solo se è nullo almeno uno dei fattori. Questa proprietà implica la legge di semplificazione del p., altrimenti non valida: se ab = ac, allora b = c, con a, b, c non nulli. ║ P. di convoluzione: date due funzioni f(x), g(x), si chiama p. di convoluzione di f e g la funzione:


La nozione di convoluzione è fondamentale in tutta l'analisi armonica, e trova applicazione, ad esempio, nelle trasformate di Laplace e di Fourier. ║ P. diretto esterno di due gruppi: dati due gruppi G, G', si chiama p. diretto esterno di G, G' il gruppo G x G' i cui elementi sono le coppie ordinate (g, g'), dove g, g' appartengono ai corrispondenti gruppi, e in cui il p. gruppale è definito dalla relazione (g₁, g'₁) (g₂, g'₂) = (g₁g₂, g'₁g'₂). ║ P. diretto interno di due sottogruppi: dati due sottogruppi H, K di un gruppo G, si dice che G è p. diretto interno di H e K se ogni elemento di G si può scrivere in uno e un solo modo come p. di un elemento h di H e di un elemento k di K, e se hk = kh per ogni scelta di h in H e di k in K. In questo caso, inoltre, il gruppo G è isomorfo al p. diretto esterno dei due sottogruppi, considerati come gruppi a sé. ║ P. di ideali: dati due ideali H, K di un anello A, si dice p. di H e K l'ideale costituito dagli elementi di A del tipo h₁k₁+....+ h_nk_n, al variare di n, numero naturale, e di h₁,..., h_n, k₁,..., k_n in H, K. ║ P. infinito: data una successione di numeri reali o complessi a₁,..., a_n, si chiama p. infinito l'espressione


Si dice che il p. infinito converge a P se il limite del p. (1 + a₁)...(1 + a_n) per n tendente a + ∞ è P; in particolare, se P = 0 si dice che il p. diverge a zero. ║ P. integrale: date due funzioni f(x), g(x) soddisfacenti opportune condizioni, si definisce p. integrale di f(x)e g(x) relativo all'intervallo I = (a, b) l'espressione



║ P. logico: nella teoria degli insiemi, sinonimo di intersezione (V.). ║ P. operatorio: dati tre insiemi E, F, G e due mappe f, g tali che g è definita in E a valori in F, f è definita in F a valori in G, e il dominio di f contiene il codominio di g, si chiama p. operatorio di f, g la mappa h da E a valori in G definita dalla relazione h(x) = f[g(x)]. ║ P. di due sottoinsiemi di un gruppo: dati due sottoinsiemi A, B di un gruppo G, si chiama p. di A e B il sottoinsieme AB costituito dagli elementi di G del tipo g = ab, al variare di a in A e di b in B. Tale p. gode della proprietà associativa, mentre gode di quella commutativa solo se il gruppo G è commutativo. ║ P. topologico: dati due spazi topologici X, Y, si chiama p. topologico di X e Y lo spazio costituito dal p. cartesiano X x Y dotato della topologia p. Tale topologia viene costruita definendo come insiemi aperti tutti i p. cartesiani U x V, dove U è un aperto di X e V è un aperto di Y, e, oltre a questi, tutti gli insiemi ottenibili da essi mediante unioni qualsiasi. L'ordinario piano euclideo è, ad esempio, p. topologico di due rette. • Fis. - P. d'inerzia: dato un sistema di n punti materiali P_i di massa m_i, e fissati due piani σ, π, si definisce p. d'inerzia la quantità



dove h_i, k_i indicano le distanze dei punti P_i dai piani prefissati. In generale, per un sistema continuo C avente densità μ si definisce p. d'inerzia la quantità


dove h, k rappresentano le distanze dell'elemento di volume infinitesimo dC dai piani prefissati. Nel caso in cui il sistema sia contenuto in un piano, si definiscono i p. d'inerzia relativi a rette del piano, considerando le distanze delle masse da tali rette. Anche per i p. d'inerzia valgono i teoremi di trasposizione e di rotazione validi per i momenti di inerzia, che descrivono le variazioni dei p. di inerzia rispetto a rette parallele e a rette concorrenti.