dL = F x dr = X dx + Y dy + Z dz
dove X, Y, Z sono le componenti della forza F in un sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxyz. Si dice che F ammette il p. U se la forma differenziale a secondo membro è il differenziale totale di una funzione del posto U(x, y, z); in tal caso, la forza è posizionale, e può essere ricavata dal p. U mediante la relazione differenziale F = grad U. Condizione necessaria e sufficiente affinché un campo di forze ammetta p. è che esso sia irrotazionale, cioè rotF = 0; se la regione in cui il campo è definito è semplicemente connessa, il p. è una funzione monodroma, in caso contrario è una funzione polidroma. Nel primo caso, il più comune in meccanica, il lavoro compiuto dalla forza lungo un qualsiasi cammino chiuso è nullo, mentre il lavoro compiuto lungo un cammino aperto dipende solo dalla posizione iniziale P1 e da quella finale P2, ed è pari alla differenza di p. tra queste posizioni: L = U2 - U1. Per quanto detto, un corpo puntiforme posto sotto l'azione di un campo derivante da un p. acquista, per questo stesso fatto, un'energia, ovvero una capacità di compiere un lavoro; poiché il lavoro compiuto è pari alla variazione di p. tra le posizioni finale e iniziale, è naturale definire come energia p. di un corpo in posizione P il p. stesso, cambiato di segno, relativo alla posizione P. Per come è stata definita, l'energia p. non varia lungo un percorso chiuso: questo fatto si esprime dicendo che il campo di forze è conservativo. Osserviamo infine che, essendo definito tramite un'espressione differenziale, in termini finiti il p. non è univocamente determinato, ma contiene una costante additiva che corrisponde al p., arbitrariamente fissato, di un punto scelto a sua volta ad arbitrio (p. di riferimento). ║ P. logaritmico: funzione U(x, y) definita in un campo bidimensionale S, limitata e continua con le sue derivate prime in S (bordo compreso), dotata di derivate seconde che soddisfano in S l'equazione di Laplace Δ2U = 0. In particolare, fissato un punto P0 esterno alla regione data, e detta r la distanza di P0 dal generico punto di S, la funzione U = log (1/r) + cost. soddisfa a tutte le condizioni dette. ║ P. quadrivettore o quadripotenziale: quadrivettore ottenuto associando al p. elettromagnetico vettore il p. elettromagnetico scalare, come componente temporale. ║ P. ritardato: p. dell'interazione tra due oggetti posti a distanza finita, nella cui espressione analitica compare la dipendenza non dal tempo attuale, ma dal tempo ritardato (t - r/v), essendo r la distanza tra i due oggetti e v la velocità, supposta finita, con cui si propaga l'azione. P. di questo genere hanno un ruolo fondamentale nell'elettromagnetismo, quando si tiene conto del fatto che l'azione elettrica promanante da una carica impiega un tempo finito, non infinitesimo, per percorrere una data distanza e produrre il suo effetto su una seconda carica. ║ P. scalare: p. costituito da una funzione scalare del posto. ║ P. vettore: dato un campo vettoriale v rotazionale (rotv ≠ 0) e solenoidale (divv = 0), è il vettore w definito dalla relazione v = rotw. Tale p. gode di proprietà analoghe a quelle dell'ordinario p. scalare, e trova applicazione soprattutto in idrodinamica e nell'elettromagnetismo. ║ P. tensore: funzione a struttura tensoriale, avente un ruolo analogo a quello dell'ordinario prodotto scalare. ║ P. elettrico: in un punto P di un campo elettrostatico, è la funzione:
V(P) =
in cui E è l'intensità del campo, A è un punto prefissato (punto di riferimento) in cui si assume un determinato valore per il p. (p. di riferimento), e l'integrale di linea è valutato lungo un qualsiasi percorso da P ad A, poiché il campo è conservativo. Generalmente, se tutte le cariche sono al finito si assume come riferimento l'infinito, ossia si suppone che A sia a una distanza tale che il campo non è più sensibile e il p. è nullo; in altri casi si pone il riferimento in un punto qualsiasi di un conduttore dotato di capacità sufficientemente grande, considerato a p. nullo (è quanto si fa, in numerosi problemi, assumendo come riferimento la Terra o altri conduttori collegati al suolo). Dato il p., l'intensità di campo elettrico può essere ricavata mediante la relazione E = - grad V; in particolare, moltiplicando entrambi i membri per un versore, si ottiene che il campo elettrico è nullo dove V è costante, ovvero le linee di campo sono normali alle superfici equipotenziali. È possibile, inoltre, calcolare il p. senza far riferimento all'intensità del campo elettrico, a partire solo dalla configurazione delle cariche libere e di polarizzazione; nel caso in cui tutte le cariche siano in una regione limitata e si assuma riferimento all'infinito, il p. elettrico è dato dall'espressione:
V(P) =
dove q sono le cariche puntiformi concentrate, γ, σ e ρ sono, rispettivamente, le densità lineare, superficiale e di volume della carica eventualmente presenti su linee, superfici e volumi compresi nella regione di spazio considerata, e ⊂0 è la costante dielettrica del vuoto. Il legame tra cariche e p. può essere riformulato in modo diverso, applicando il teorema di Gauss in forma differenziale; con le stesse notazioni di prima, si ottiene la relazione Δ2V = - ρ /
0, nota come equazione di Poisson. Osserviamo
inoltre che entrambe le relazioni scritte consentono di determinare il p.
e, tramite l'operatore gradiente, l'intensità di campo elettrico, in modo
molto più agevole che non tramite il calcolo diretto, a partire dalla
distribuzione delle cariche. Poiché il p. in un punto di un campo
elettrico può essere definito anche come l'energia p. che compete
alla carica puntiforme unitaria positiva posta in quel punto, esso si presenta,
dimensionalmente, come rapporto tra energia e carica elettrica; la sua
unità di misura, quindi, è il volt (pari a joule/coulomb) nel SI,
lo statvolt (erg/franklin) nel sistema CGSes, l'abvolt
(erg/abcoulomb) nel sistema CGSem. Come già precisato, il
p. descritto è valido in condizioni stazionarie, condizioni valide
non solo in elettrostatica, ma anche in tutti i casi in cui, pur essendoci
cariche in moto, la densità di carica resta ovunque costante; in questi
casi, tuttavia, l'intensità del campo elettrico è dotata di rotore
non nullo, e il campo è dato dalla sovrapposizione di un campo
Es conservativo, detto per comodità elettrostatico, e
di un campo elettromotore F, non conservativo. Il p. mantiene
validità, quindi, se riferito soltanto al campo Es,
mentre l'integrale di linea di F fornisce la forza elettromotrice
f eventualmente presente; in definitiva, si ottiene la relazione
VP - VA + f = Ri, dove R è la
resistenza eventuale del tratto PA considerato. ║ P. di
contatto: p. al quale si porta, per effetto Volta, un conduttore
posto a contatto con un altro, assunto a p. nullo. ║ P.
coulombiano: p. del campo elettrostatico, centrale, conservativo,
generato da una carica puntiforme. ║ P. di diffusione: differenza
di p. che si stabilisce in corrispondenza della superficie di contatto di
due soluzioni a concentrazione diversa dello stesso elettrolita. ║ P.
elettrochimico: in un sistema elettrochimico costituito da due semicelle,
è il valore del p. di un elettrodo misurato rispetto a un
elettrodo di riferimento. In situazione di reversibilità, il p.
elettrochimico è correlato alla variazione di entalpia libera
ΔG delle reazioni di semicella: ΔG = + nEF per la
semireazione di ossidazione, ΔG = - nEF per la semireazione di
riduzione, dove n, E, F sono, rispettivamente, il numero di elettroni
scambiati nel processo elementare, il p. standard e la costante di
Faraday. Il p. di un elettrodo attraversato da una corrente di
ossidazione o di riduzione può subire alterazioni a causa della comparsa
di un p. di polarizzazione, dovuto a resistenze di natura chimica e
meccanica; l'effettiva resistenza di polarizzazione che si genera nell'elettrodo
può essere approssimata ad una costante fino ad un valore limite della
corrente, oltre il quale la resistenza cresce fino a che si instaura una nuova
reazione elettrodica. ║ P. misto: p. elettrochimico di un
elettrodo immerso in una soluzione in cui avvengono contemporaneamente
più processi ossidoriduttivi. ║ P. elettrocinetico:
differenza di p. che si instaura fra particella e solvente, durante il
movimento di particelle colloidali sotto l'azione di un campo elettrico esterno;
tale differenza è dovuta alla separazione che insorge tra strato diffuso
di Gouy e strato compatto di Helmholtz durante il moto delle particelle. ║
P. di estrazione: per un metallo o un semiconduttore, rapporto tra il
lavoro necessario per l'estrazione elettronica e la carica dell'elettrone.
║ P. di ionizzazione: in un processo di ionizzazione, rapporto tra
l'energia richiesta dal processo e la carica dell'elettrone. ║ P. di
ossidoriduzione: in una coppia redox, p. di equilibrio che insorge
tra una soluzione contenente la forma ossidata e la forma ridotta, che, a sua
volta, può essere costituita da un metallo o dalla stessa specie in
soluzione con numero di ossidazione più basso. ║ P.
magnetostatico: come nel caso elettrostatico, anche un campo magnetostatico,
cioè generato da magneti in quiete o da circuiti elettrici percorsi da
correnti continue, può essere fatto derivare da un p., addirittura
in due modi diversi. Nel primo caso si definisce p. magnetostatico
scalare la funzione:U (P) =
dove A è un punto di riferimento in cui sia stato fissato ad arbitrio il valore del p., i è l'intensità della corrente circolante nel generico circuito e n è l'ordine di concatenamento tra questo circuito e il cammino di integrazione; si noti che, a causa della non conservatività del campo H, occorre specificare il cammino l percorso da P ad A. Il vettore del campo H, si ottiene mediante l'operatore gradiente: H = - grad U, come in elettrostatica. Nel secondo caso, invece, si definisce p. magnetostatico vettore il p. vettore solenoidale del campo B, ovvero il vettore A che soddisfa le due relazioni B = rotA e divA = 0. Mentre il p. scalare sopra definito non ha un significato fisico immediato da un punto di vista energetico, l'integrale del p. vettore lungo un circuito C, moltiplicato per l'intensità della corrente circolante nel circuito stesso, fornisce l'energia potenziale di C. ║ P. chimico: nei sistemi termodinamici chiusi non omogenei o in sistemi aperti, il primo principio della termodinamica, la cui espressione differenziale, nel caso di sistemi omogenei chiusi, è data da dU = TdS - dL (con U energia interna, T temperatura termodinamica, S entropia e L lavoro), va integrata con altri termini che tengano conto delle variazioni di energia interna dovute ad alterazioni delle quantità delle diverse fasi o componenti del sistema. Si chiama, pertanto, p. chimico di una fase o di una componente del sistema ogni variabile intensiva μi, associata alla variazione del numero di moli ni di tale fase o componente, che compare nella espressione differenziale del primo principio della termodinamica:
dU = TdS - pdV +
i μi dni dove, per semplicità, si è posto dL = pdV. Poiché l'energia interna è una funzione di stato, dU è un differenziale esatto, pertanto il p. chimico μi non è altro che la derivata parziale dell'energia interna rispetto alla variabile ni:
(i =
1,...,k)Ognuna di queste relazioni può essere assunta come definizione equivalente di p. chimico di ogni componente del sistema. ║ P. termodinamico: in sistemi termodinamici complessi, l'energia interna è, in generale, funzione di un certo numero di grandezze estensive ξi, U = U(ξ1, ..., ξm); detta ζi la corrispondente variabile intensiva, secondo la relazione differenziale dU =
i
ζi dξi, si chiama p. termodinamico ogni
funzione F (ξ1, ..., ζj, ...,
ξm) = U - ζj ξj, ottenuta
sostituendo, nell'espressione dell'energia interna, una variabile estensiva con
la variabile intensiva ad essa associata. I p. termodinamici più
comuni sono dati dalle funzioni seguenti: energia interna, U; energia
libera di Helmholtz, F = U - T S; entalpia, H = U + pV; energia
libera di Gibbs, G = U - T S + p V, dove T, S, p, V sono,
rispettivamente, la temperatura termodinamica, l'entropia, la pressione e il
volume del sistema. ║ P. elettromagnetici: si chiamano p.
elettromagnetici due grandezze, una scalare e l'altra vettoriale, che
generalizzano il concetto di p. elettrico e magnetico dal caso statico al
caso non stazionario. Essi sono definiti dalle seguenti relazioni, che si
ottengono a partire dalle equazioni di Maxwell: rotA = B
E +
= -
gradVdivA = -
dove B è il campo di induzione magnetica, E è l'intensità di campo elettrico e v è la velocità di propagazione delle perturbazioni elettromagnetiche nel mezzo in esame. Si osservi che, in condizioni statiche, V si riduce al p. elettrico e A al p. magnetostatico vettore.