Mat. - Solido geometrico delimitato da un numero finito di poligoni, disposti in modo tale che ciascun lato sia in comune a due e a due soli poligoni. I poligoni sono chiamati facce, i loro lati spigoli e i vertici sono detti vertici dei p.; a ogni spigolo corrisponde un diedro, mentre a ogni vertice corrisponde un angoloide. Un p. si dice convesso se le facce sono disposte in modo tale che il piano di appartenenza di ciascuna faccia lasci il p. in uno solo dei due semispazi individuati dal piano; in caso contrario il p. si dice concavo. ║ P. archimedei: p. semiregolari aventi per facce poligoni regolari, non necessariamente uguali fra loro, e tutti gli angoloidi uguali. Ciascun p. archimedeo è inscrivibile in una sfera, ammettendo quindi un centro, ed è mutato in sé da un opportuno gruppo di rotazioni. ║ P. duali: sono due p. tali che ad ogni faccia del primo corrisponde un angoloide dell'altro in modo che ai lati e ai vertici della faccia corrispondono, rispettivamente, gli spigoli e gli angoli dell'angoloide. Sono duali il cubo e l'ottaedro. ║ P. euleriani: p. che soddisfano la relazione di Eulero, f + v = s + 2, dove f, v, s indicano, rispettivamente, il numero delle facce, dei vertici e degli spigoli. Tutti i p. convessi sono euleriani. ║ P. intrecciati: p. in cui due facce possono avere punti in comune, anche al di fuori dell'eventuale spigolo. ║ P. regolari: p. convessi nei quali le facce sono poligoni regolari uguali e gli angoloidi e i diedri sono tutti uguali fra loro. Esistono solo cinque tipi di p. regolari: il tetraedro, l'esaedro o cubo, l'ottaedro, il dodecaedro e l'icosaedro. La costruzione dei p. regolari si deve soprattutto a Pitagora e alla sua scuola; Euclide ne diede una esposizione sistematica, continuata da Archimede e da Pappo; per il significato che si attribuiva loro nell'antichità, essi venivano indicati anche come figure cosmiche. Ogni p. regolare ammette una circonferenza inscritta, una circoscritta e una tangente agli spigoli, tutte aventi lo stesso centro, che è anche centro di simmetria del p. ║ P. semiregolari: p. convessi aventi alcuni dei caratteri propri dei p. regolari. Si distinguono in due gruppi: il primo è formato dai p. archimedei, il secondo è costituito dai p. dotati di facce tutte uguali ma non regolari e angoloidi non tutti uguali, ma regolari. ║ P. stellati: p. non convessi che si ottengono dai p. convessi, ampliandone le facce fino ad incontrarne altre opportune dello stesso p.
Modelli di poliedri vacui