dividendo per esso entrambi i membri, si ottiene l'equazione normale del p.: x cos xn + y cos yn + z cos zn = p, dove p rappresenta la distanza del p. dall'origine degli assi. Due p., di coefficienti a, b, c, d e a', b', c', d', sono paralleli se soddisfano la relazione a/a' = b/b' = c/c'; un p. è parallelo a una retta di parametri direttori l, m, n se soddisfa la relazione al + bm + cn = 0. La distanza di una punto P0 di coordinate (x0, y0, z0), da un p. di coefficienti a, b, c, d è data dalla formula:
Infine, la condizione di ortogonalità tra due p. è espressa dalla relazione aa' + bb' + cc' = 0, dove a, b, c e a', b', c' sono i coefficienti dei due p. ║ P. affine: insieme di elementi A, B, C, ..., detti punti del p. affine, nel quale siano assegnati opportuni sottoinsiemi, detti rette, che soddisfano le seguenti condizioni: 1) per due punti distinti passa una e una sola retta; 2) dati un punto A e una retta r non passante per esso, esiste una e una sola retta s passante per A e non avente punti in comune con r: tale retta viene detta non secante; 3) esistono almeno tre punti non allineati. Il p. ordinario costituisce un esempio di p. affine, quando si prescinda da ogni nozione di carattere metrico; l'attributo affine discende dal fatto che tutte le nozioni valide in tale p. (parallelismo tra rette, allineamento di punti, ecc.) si conservano per affinità. ║ P. asse di un segmento: in geometria euclidea, p. perpendicolare al segmento e passante per il suo punto medio. ║ P. euclideo: il p. ordinario della geometria euclidea, in cui sia assegnato il prodotto scalare fra vettori. È definito, tramite un opportuno numero di postulati, come uno spazio affine bidimensionale in cui sia stata introdotta una metrica euclidea. ║ P. proiettivo: insieme di elementi, detti punti, nel quale siano assegnati opportuni sottoinsiemi, detti rette, che soddisfano le seguenti condizioni: 1) per due punti distinti passa una e una sola retta; 2) due rette hanno in comune un punto; 3) esistono almeno tre punti non allineati; 4) ogni retta possiede almeno tre punti (Postulato di G. Fano). Un p. proiettivo è, ad esempio, l'ordinario p. della geometria elementare, a cui siano stati aggiunti i punti impropri e la retta impropria. Un modello di p. proiettivo è costituito da una superficie sferica, in cui siano identificati i punti diametralmente opposti; dal punto di vista topologico, come si osserva nel modello descritto, è una superficie chiusa, compatta e non orientabile. Inoltre, si dimostra che ogni p. affine può essere immerso in un p. proiettivo, e, viceversa, ogni p. proiettivo può essere proiettato in un affine, sopprimendo una retta e i punti situati su di essa. ║ P. proprio: p. dello spazio euclideo, contenente solo punti propri. ║ P. improprio o all'infinito: insieme dei punti impropri e delle rette improprie dello spazio ordinario. ║ P. lineare su un corpo: p. proiettivo, i cui punti hanno coordinate appartenenti a un corpo K arbitrario; costituisce una generalizzazione del p. proiettivo reale. Si dicono equivalenti tutte le terne di elementi che differiscono per un fattore non nullo, ad esempio le terne (x0, x1, x2) e (x0a, x1a, x2a), dove a è un elemento generico di K; ogni classe di equivalenza costituisce un punto. In particolare, il p. lineare così definito si dice destro, perché il fattore moltiplicativo per cui differiscono terne equivalenti compare a destra; in modo analogo, si definisce il p. lineare sinistro, mediante moltiplicazione a sinistra. Se il corpo è commutativo, ovvero se è un campo, le due definizioni date ovviamente coincidono. ║ P. reale: p. lineare sul campo dei numeri reali. Con accezione diversa, p. dello spazio euclideo, dotato di una terna cartesiana, definito da un'equazione a coefficienti reali. ║ P. complesso: p. lineare sul campo dei numeri complessi. Con diversa accezione, p. dello spazio euclideo, dotato di un sistema cartesiano, definito da una equazione a coefficienti non tutti reali. ║ P. di Argand-Gauss o p. della variabile complessa: p. i cui punti sono in corrispondenza biunivoca con i numeri complessi. Ogni punto P, di coordinate (x, y), corrisponde al numero z = x + iy, e viceversa. Costituisce una rappresentazione geometrica dei complessi e delle loro proprietà; viene indicato, talvolta, con il termine p. sfera, poiché è possibile proiettarlo stereograficamente sulla superficie di una sfera a partire da un suo polo, ottenendo una corrispondenza biunivoca tra il p. dei complessi e la sfera, privata del polo (che corrisponde al punto all'infinito del p. di Argand-Gauss). ║ P. orientato: p. euclideo o affine in cui sia stata fissata una orientazione per gli angoli, ovvero un verso di percorrenza per una linea chiusa non intrecciata. ║ P. di simmetria: p. che divide una figura in due parti tali che l'una sia l'immagine speculare dell'altra. ║ P. bisettore: in geometria, p. che divide in due parti uguali un angolo diedro. È il luogo dei punti equidistanti dai due p. che formano il diedro. • Fin. - P. di ammortamento: prospetto che indica, a scadenza annuale, la situazione di un prestito; in particolare, riassume l'ammontare delle quote di ammortamento, degli interessi, della parte residua, ecc. A seconda della sua entità, il prestito può essere rimborsato seguendo diversi sistemi: restituzione dell'intero capitale e degli interessi maturati alla fine del periodo stabilito; oppure restituzione, a periodi convenuti, degli interessi maturati in quel periodo, e del capitale mutuato alla fine; tali modalità sono utilizzate per debiti relativamente piccoli, mentre per mutui di maggiore entità il p. di ammortamento prevede la restituzione, al termine di periodi parziali convenuti, di una certa somma, fissa o variabile secondo una legge predeterminata, da considerarsi come parziale restituzione del capitale e degli interessi maturati. Il calcolo del p. di ammortamento, in questo secondo caso, può essere realizzato seguendo numerosi sistemi. ║ P. di ammortamento francese o progressivo: la rata di ammortamento è costante, ed è costituita da un'aliquota considerata come restituzione parziale del prestito, somma che aumenta nel tempo, e da un'aliquota che rappresenta gli interessi della parte non ammortizzata, che, invece, diminuisce nel tempo, fino alla restituzione totale del capitale e degli interessi maturati al tasso prestabilito. ║ P. di ammortamento americano o a due tassi: alla fine di ogni periodo parziale, il debitore restituisce due aliquote: la prima, corrisposta direttamente al mutuante, è pari all'interesse annuale maturato dall'intero capitale, a un tasso t; la seconda, depositata presso un istituto, è pari a una quota fissa calcolata in modo che, tenendo conto degli interessi maturati da tali quote a un tasso i, al termine del periodo presso tale istituto si trovi depositato l'intero capitale. ║ P. di ammortamento italiano o uniforme: la rata non è costante nel tempo, ed è costituita da un'aliquota, fissa, considerata come restituzione parziale del capitale, e da un'aliquota, che diminuisce nel tempo, pari agli interessi della somma non ammortizzata. ║ P. di ammortamento tedesco o con interessi anticipati: è uguale al p. di ammortamento francese, con la differenza che gli interessi vengono restituiti all'inizio del periodo cui si riferiscono. • Econ. - P. economico: programmazione razionale dei mezzi già disponibili e di quelli previsti nel futuro, in modo da raggiungere gli obiettivi prefissati nel modo più economico possibile. ║ P. aziendale: programmazione dettagliata delle operazioni necessarie per realizzare gli obiettivi prefissati dall'azienda. In base al periodo di tempo cui si riferiscono, i p. aziendali si distinguono in p. a breve termine (meno di un anno), p. a medio termine (da uno a tre anni), p. di lungo periodo (da tre a cinque anni). In base alle finalità stabilite, si distinguono in p. mirati, studiati per azioni non ripetitive, e p. permanenti_, costituiti per programmare sequenze di azioni ripetitive, allo scopo di affrontare in modo coerente situazioni simili; infine, in base alla portata, i p. si distinguono in strategici, finalizzati alla realizzazione degli obiettivi principali dell'azienda, tattici, per l'ottimizzazione di attività a breve termine, e operativi, riguardanti la definizione standard delle modalità di lavoro. • Stat. - P. o programma degli esperimenti: studio preliminare teso a delimitare i dati e le tecniche di rilevazione per ovviare agli inconvenienti di catalogazioni eccessive o insufficienti, o di raccolte di dati mal distribuiti in relazione agli scopi prefissi. Si tratta di uno studio recente, nato dalla necessità di coordinare il metodo di ricerca sperimentale con quello statistico, dato che in molte ricerche i risultati vengono elaborati con tecniche statistiche. ║ P. di rilevazione: impostazione di una rilevazione statistica in cui si stabiliscono, in base al fenomeno da analizzare, il metodo teorico, la tecnica concreta da seguire, i limiti imposti all'indagine. • Costr. - P. di costruzione: disegno costruttivo dello scafo di una nave rappresentato su tre proiezioni ortogonali. ║ P. di sollecitazione: p. nel quale si considerano giacenti le forze che sollecitano un corpo a flessione. ║ P. quotato: planimetria di una zona di terreno con l'indicazione dei punti caratteristici e delle corrispondenti quote altimetriche rispetto a un livello di riferimento prefissato. Una rappresentazione grafica di un p. quotato può essere ottenuta unendo tutti i punti aventi la stessa quota, cioè evidenziando le curve di livello. • Fis. - P. di polarizzazione: per un fascio di luce polarizzata rettilineamente, è il p. definito dalla direzione di propagazione della luce e dalla normale alla direzione lungo la quale avvengono le vibrazioni luminose. ║ P. inclinato: macchina semplice, destinata a facilitare il sollevamento di pesi, costituita da una superficie piana inclinata sul p. orizzontale. Indicando con α l'angolo di inclinazione, la condizione necessaria per equilibrare un corpo di peso p posto sul p. inclinato con una forza F parallela al p. stesso, in assenza di attrito, è F = p senα; se la forza F, invece, è orizzontale, la condizione di equilibrio diventa F = p tangα. Come si osserva, nel primo caso la macchina è sempre vantaggiosa; nel secondo caso, invece, la macchina può essere vantaggiosa, svantaggiosa o indifferente a seconda dell'inclinazione del p. • Aer. - Nelle costruzioni aeronautiche, il termine p. è usato per indicare determinati elementi strutturali di un velivolo: p. alare, p. frontale, p. di simmetria. ║ P. di coda: locuzione indicante l'insieme delle superfici posteriori che servono per la stabilità e il comando di un aeromobile (dirigibile, aliante, aeroplano, idrovolante, anche elicotteri); è costituito da ali di piccole dimensioni, aventi in genere la parte anteriore fissa e la posteriore mobile per il comando. ║ Con riferimento all'effettuazione di un volo, si chiama p. di volo l'insieme di indicazioni e norme relative all'entità e alla distribuzione a bordo del carico utile, dei passeggeri, del combustibile. • Astron. - P. di collimazione: negli strumenti di osservazioni meridiane, è il p. contenente la direzione dell'asse di collimazione, passante per il centro dell'obiettivo e dell'oculare e perpendicolare all'asse di rotazione dello strumento. ║ P. fondamentale: il p. contenente il circolo massimo alla base di riferimento di un determinato sistema di coordinate sferiche celesti. ║ P. invariabile: in meccanica celeste, il p. che passa per il baricentro del sistema solare ed è perpendicolare al momento risultante delle quantità di moto del sistema. • Mecc. - P. di paragone: piattaforma rettangolare, di ghisa, montata su basamento in muratura o zoccolo di legno. È usato per il tracciamento dei pezzi, prima e durante la lavorazione, e per l'eventuale controllo a lavorazione ultimata. • Cin. - Distanza del soggetto di un'immagine dall'obiettivo o dall'osservatore. ║ Primo p.: soggetto ripreso in modo da essere presentato all'osservatore in risalto rispetto alle parti restanti dell'inquadratura, per rispondere a esigenze descrittive, artistiche, estetiche, ecc. ║ P. americano: tipo di inquadratura tra la figura intera e la mezza figura: comprende, cioè, una figura umana tagliata all'altezza delle ginocchia. ║ P. medio: inquadratura comprendente una mezza figura. ║ Primissimo p.: inquadratura comprendente solo il volto di una persona, o alcuni particolari di esso. ║ P. sequenza: inquadratura formante da sola un'intera sequenza; viene realizzata con il contemporaneo movimento degli attori e delle cineprese, senza stacchi. ║ P. scenico: ripiano del palcoscenico su cui si muovono gli attori. • Mil. - P. di battaglia: strategia secondo cui si intende condurre un'operazione bellica. • Ord. scol. - P. di studi: programmazione delle operazioni che caratterizzano un processo di insegnamento e apprendimento. Nella scuola convenzionale, il p. di studi è istituzionalizzato per ogni ordine e grado di istruzione; esso indica le materie di insegnamento (distinte in obbligatorie e facoltative, in comuni e di indirizzo, e in fondamentali e complementari), le ore di insegnamento per ogni disciplina e il tipo di prove previste per la verifica dell'apprendimento. La maggior parte degli ordinamenti scolastici prevede p. di studio nazionali, la cui attuazione è affidata ai collegi dei singoli istituti; non mancano, tuttavia, ordinamenti ad ampio decentramento scolastico, in cui i p. di studio vengono definiti in sede locale. • Urban. - P. regolatore: strumento fondamentale per l'attuazione dei provvedimenti urbanistici. Investe unità territoriali e amministrative di diversa estensione; il suo scopo è adeguare l'organismo urbanistico alle necessità attuali e prevedere l'evoluzione dei bisogni della collettività in tutti i campi. Il p. regolatore sintetizza i vari provvedimenti riguardanti la suddivisione e la destinazione delle aree, lo sfruttamento delle stesse sotto l'aspetto dell'edilizia, dell'industria e della stessa attività agricola, la dislocazione e l'ampiezza degli impianti di pubblica utilità, la sistemazione di strade e piazze, l'organizzazione dei servizi di pubblico trasporto, le varie previdenze di carattere igienico. Affinché il p. sia efficace, deve considerare tutti i fattori umani, naturali, ambientali, economici presenti e prevedibili per il futuro; pertanto, la sua stesura è preceduta dallo studio del carattere sociale della popolazione, dall'analisi dell'ambiente architettonico e, naturalmente, dal bilancio preventivo economico. In sostanza, il p. può essere considerato un progetto i cui fini sono quelli di dare a un quartiere, a una città, a un territorio più o meno vasto (fino a raggiungere le proporzioni di una Nazione), una buona e ordinata disposizione e una fisionomia che tengano conto anche del futuro. Fino a quando la scienza urbanistica non ebbe raggiunto il suo pieno sviluppo, il p. consisteva in una semplice pianta riguardante i problemi della viabilità, o l'igiene sociale, o l'estetica delle architetture; era, quindi, derivato dallo studio di un solo e determinato settore e, per lo più, limitato a un quartiere o a più quartieri di una città. I primi p. veri e propri apparvero soltanto al principio del XX sec., quando l'urbanistica si affermò come una delle discipline più importanti delle scuole di architettura. Oggi la formulazione e la realizzazione di un p. avvengono durante tre fasi distinte: nella prima viene svolto un lavoro di indagine, nella seconda si procede ai calcoli di previsione, nella terza si arriva alla strutturazione e alla progettazione. ║ Lavoro di indagine: comprende la ricerca storica, destinata allo studio dell'evoluzione urbanistica riguardante la zona per la quale deve essere progettato il p.; la ricerca geografica, rivolta all'osservazione dei terreni geologici, in rapporto al loro sfruttamento per la costruzione eventuale di strade o di insediamenti urbani; l'esame dei corsi d'acqua, in vista di un possibile sfruttamento con centrali idroelettriche o per la viabilità; lo studio delle condizioni meteorologiche e climatiche della zona. L'indagine geografica si estende anche alle varie attività industriali e agricole della zona; molto importante è, inoltre, la ricerca sociologica, interessata allo studio dell'uomo e dell'ambiente in cui esso vive, all'andamento demografico, alle condizioni offerte dai centri di lavoro, alle modificazioni e trasformazioni alle quali è soggetta la società. La ricerca statistica si occupa di quanto riguarda le statistiche sulla popolazione (esistenza, dislocazione, movimenti pendolari e migratori, ecc.). Nella fase iniziale, infine, rivestono grande importanza gli studi relativi alle comunicazioni (viabilità, traffico e sue correnti), mettendo essi in evidenza i mezzi idonei a renderle più fluide, più adeguate al numero di abitanti, prevedendo anche gli sfoghi futuri in considerazione di un aumento della popolazione. ║ Calcoli di previsione: ci si basa sulle ricerche effettuate per fare il calcolo previsionale delle necessità attuali e di quelle future. Tutto il materiale relativo al p. è raccolto in tabelle, diagrammi, planimetrie, formule, ecc., attraverso i quali si può avere una visione complessiva e contemporanea dei vari elementi. Da tali dati, per via analitica e grafica si deducono le leggi delle variazioni dei vari fenomeni che costituiscono la vita di un quartiere o di una città, che vengono quindi proiettate nel futuro con un grado di approssimazione, in genere più che soddisfacente. ║ Strutturazione e progettazione: in Italia esiste un p. regolatore generale (non ancora attuato) che riguarda il coordinamento della viabilità (ferrovie, strade, linee aeree, marittime, lacustri, fluviali), esamina i centri polari dell'espansione industriale, rurale e di quella turistica, suggerisce linee di base per lo sviluppo edilizio, per l'igiene, ecc. con le relative norme che riguardano l'intera Nazione. Il p. generale prevede la stesura di diversi tipi di p., con differenti finalità e riguardanti territori più o meno vasti. I p. territoriali di coordinamento, elaborati dalla regione, hanno lo scopo di fissare le direttive generiche, mettendo in evidenza i principali problemi e dando un indirizzo alle iniziative di maggior importanza; il comune il cui territorio sia compreso, tutto o in parte, in un p. territoriale, deve uniformare a questo il proprio p. regolatore. I p. regolatori comunali si distinguono in generali e particolareggiati; i primi si estendono all'intero territorio comunale, e devono indicare la rete delle principali vie di comunicazione, la divisione in zone del territorio, le aree destinate ad uso pubblico, le aree da riservare a impianti di interesse generale. I secondi, invece, si occupano dei vari problemi inerenti a una determinata area del suolo comunale: la delimitazione delle aree pubbliche, la volumetria degli edifici, la viabilità e l'ampiezza delle strade e delle piazze. A differenza degli altri p., per i quali non è indispensabile, essi devono essere corredati anche da un p. economico-finanziario. Hanno una validità di soli 10 anni, trascorsi i quali devono essere sostituiti da altri; gli altri tipi di p., invece, hanno validità illimitata. Il p. regolatore generale intercomunale riguarda due o più comuni, e la sua compilazione è disposta dalla regione quando sia riconosciuta l'opportunità di coordinare gli interventi riguardanti l'assetto urbanistico dei comuni stessi. I programmi di fabbricazione, dei quali usufruiscono i piccoli comuni che non posseggono un p. vero e proprio, hanno lo scopo di regolare e indirizzare l'edificazione nelle varie zone del proprio territorio. I p. paesistici, di norma comunali o regionali, sono destinati alla difesa delle bellezze naturali di una certa zona. Altro tipo di p., infine, è il cosiddetto p. di ricostruzione che, in genere, fa parte di un p. particolareggiato, e riguarda l'assetto e la ricostruzione di abitati distrutti o danneggiati da guerre o da cataclismi.