Pi.

Nome della consonante P e del segno che la rappresenta. ║ Nome della sedicesima lettera dell'alfabeto greco (π) corrispondente al p latino. Nella numerazione greca, un p. minuscolo con apice in alto a destra (π') indica il numero 80, con apice in basso a sinistra (,π) il numero 80.000. Secondo l'uso dei grammatici alessandrini, un pi greco maiuscolo indica il sedicesimo libro dell'Iliade, un pi greco minuscolo il sedicesimo dell'Odissea. • Mat. - Il pi greco maiuscolo indica, eventualmente accompagnato con indici, un prodotto; così, per esempio,



indica l'espressione a₁a₂ ...a₂n; mentre π_ia_i indica il prodotto infinito a₁a₂ ... a_n... ║ Il pi greco minuscolo viene spesso utilizzato per indicare un piano, in particolare il quadro nei metodi della prospettiva e della proiezione centrale. È, inoltre, il simbolo del numero che esprime il rapporto tra la lunghezza di una circonferenza e il relativo diametro o, equivalentemente, il rapporto tra la misura dell'area di un cerchio e il quadrato del suo raggio; interviene in numerose formule geometriche riguardanti il perimetro, l'area e il volume di figure circolari e solidi non poliedrici, in numerose relazioni matematiche e in relazioni fondamentali per la trigonometria e l'analisi complessa, quali la relazione di Eulero, e^iπ+ 1 = 0, e la formula di J. Stirling per il calcolo di log(n!). Tale numero è reale, irrazionale (cioè, decimale, illimitato e non periodico) e trascendente, ovvero non è radice di alcuna equazione algebrica a coefficienti interi; il suo valore, troncato, è 3,14159265358979323846... Shanks, nel 1873, ha calcolato ben 707 cifre decimali di π; in pratica, tuttavia, viene utilizzato con il numero di cifre decimali necessario per l'approssimazione richiesta dal problema. La dimostrazione della irrazionalità di π è dovuta a J.H. Lambert, mentre F. Lindemann ne provò, nel 1882, la trascendenza. Il primo valore approssimato ottenuto con procedimenti matematici, fu calcolato probabilmente da Archimede (22/7< π <223/71) con il metodo dei perimetri. Tale metodo si basa sull'approssimazione della circonferenza di raggio R mediante poligoni regolari convessi inscritti e circoscritti, con numero di lati crescente: si dimostra che i poligoni così costruiti costituiscono due classi contigue, con elemento di separazione dato da 2πR. In modo analogo, un valore approssimato di π può essere ottenuto considerando non più i perimetri, ma le aree dei poligoni inscritti e circoscritti al cerchio (metodo delle aree); le classi contigue così ottenute ammettono, come elemento separatore, R²π. Un terzo metodo, detto metodo degli isoperimetri, si basa sul calcolo dei raggi e degli apotemi dei poligoni regolari di perimetro fissato: tali classi di grandezze sono contigue e il loro elemento di separazione è 1/π. Infine, ricordiamo i metodi basati sull'uso di algoritmi infiniti; questi si fondano sugli sviluppi in serie o in prodotti infiniti di, π opportunamente troncati in base alla loro rapidità di convergenza. Tra questi ricordiamo, per il suo interesse storico, la valutazione di π mediante il prodotto infinito:



scoperto da J. Wallis nel 1655. Lo sviluppo in serie più importante è quello dell'arcotangente, arctg x = x - x³/3 + x⁵/5 - x⁷/7 ..., dal quale, per x = 1 si ottiene la relazione π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ...; quest'ultima uguaglianza fu scoperta già da L. Eulero, al quale si devono numerosi altri sviluppi in serie. A causa della lentezza con cui la serie appena descritta converge, per il calcolo effettivo di π si preferisce utilizzare l'identità π/4 = 4arctg 1/5 - arctg 1/239, utilizzando lo sviluppo in serie dell'arcotangente.