Logaritmo.

(dal greco lógos: ragione, rapporto e arithmós: numero). Vocabolo coniato dallo scozzese John Napier (o Neper, 1550-1617) che pubblicò la prima tavola di l. nel 1614. Quasi contemporaneamente un altro studioso, lo svizzero Jobst Bürgi (1552-1632), ne pubblicò una a Praga (1620). A queste edizioni seguirono una nuova pubblicazione di Nepier contenente delle annotazioni di Briggs, una ad opera di Kepler (1624) e nel 1628 la prima tavola di l. decimali redatta da Briggs e Wlacq. Si definisce l. di un numero reale positivo x rispetto alla base a (reale, positiva e diversa da 1), l'esponente y che bisogna attribuire alla base a per ottenere il numero x; il l. di x nella base a si indica con log_a x. In questo senso, il calcolo del l. è l'operazione inversa dell'elevamento a potenza (in altro senso l'operazione inversa dell'elevamento a potenza è l'estrazione di radice). L'uso del l. è vantaggioso nel calcolo numerico di prodotti, quozienti, potenze e radici, appoggiandosi ai noti teoremi sui l. che, in formule, si esprimono nel seguente modo: per n intero relativo e x, x', x" reali positivi si ha:

log_a (x' x") = log_a x' + log_a x";
log_a (x':x") = log_a x' - log_a x";
log_a xⁿ = n log_a x;
log_a ⁿ√x = 1/n log_a x

Nelle questioni teoriche è utile prendere come base a il numero e = 2,718 ... e si hanno allora i l. naturali, o iperbolici, o neperiani; il log_e x si indica con log x ovvero ln x; nelle questioni pratiche, per facilitare i calcoli, si pone a = 10 (l. decimali, o di Briggs); il log₁₀x si indica con Log x, viene chiamata caratteristica di un l. decimale la parte intera del l., mantissa la parte decimale del l., che è data dalla differenza (sempre positiva) tra il l. e la caratteristica; per esempio: Log 20 = 1,30103, caratteristica 1, mantissa 30103; Log 0,2 = - 0,69897 = - 1 + 0,30103 o, come si usa scrivere: ,30103, caratteristica - 1, mantissa 30103. Nei due esempi è illustrata anche la proprietà generale per cui, spostando la virgola decimale del numero, non si altera la mantissa del l. decimale, ma solo la caratteristica. Per i calcoli con i l. si usano le tavole logaritmiche che, compilate usualmente nella base 10, riportano le mantisse, con un certo numero di cifre decimali, dei numeri naturali compresi tra 1 e 10.000; le usuali tavole, che riportano le mantisse con cinque cifre, prendono in esame i numeri con quattro cifre; il calcolo della caratteristica è immediato (il numero delle cifre intere, diminuito di un'unità, se x ≥ 1, il numero degli zeri precedenti le cifre significative, ivi compreso quello prima della virgola, preso negativamente, se x < 1; per esempio, Log 732,41 = 2, ...; Log 0,0014 = , ...). L'uso delle tavole richiede taluni accorgimenti particolari (per esempio l'interpolazione), e talune regole che di solito accompagnano le tavole stesse. Noto il l. di un numero in una base a, si calcola facilmente il l. dello stesso numero in un'altra base b mediante la formula log_b x = log_a x/log_a b; per esempio: log_a x = (1/M) Log x, con 1/M = 2,30258509. In moltissimi casi si costruiscono tavole di l. non dei numeri naturali, ma di altre successioni di numeri in modo da facilitare un particolare calcolo. Si hanno così per esempio le tavole logaritmico-trigonometriche, che riportano i l. delle funzioni circolari (seno, coseno, tangente, cotangente) degli angoli espressi generalmente in gradi e primi. Nelle tavole più usuali si perviene, per interpolazione, ai secondi. ║ L. di addizione e sottrazione: l. di certe espressioni, i quali permettono il calcolo rapido del l. della somma e della differenza di due numeri, calcolo che non si potrebbe eseguire disponendo solo delle ordinarie tavole logaritmiche, utili solo per calcolare prodotti e quozienti (o potenze e radici). Il calcolo dei l. di addizione e sottrazione è basato sulle formule seguenti: se a e b sono numeri positivi (e si supponga a > b) e se si pone x = b/a, valgono le formule: a + b = a (1+b/a) = a (1+x); a - b = a (1-b/a) = a: [1/(1-x)], dalle quali si deduce:

log (a+b) = log a + log (1+x);
log (a-b) = log a - log [1/(1-x)].

Con tali formule è immediato il calcolo di log (a+b) quando siano note le quantità log (1+x) e log [1/(1-x)]; le tavole dei l. di addizione e sottrazione forniscono appunto tali valori in funzione del valore y = log x. ║ L. nel campo complesso: dato il numero complesso z (diverso da zero), si definisce il l. naturale di z mediante la formula seguente: log z = log |z| + i (arg. z + 2kπ), nella quale |z| è il modulo e arg. z l'argomento del numero complesso z; k è un intero arbitrario. È quindi evidente che il l. del dato numero z assume infiniti valori. In altre parole, la funzione w = log z è, nel campo complesso, una funzione infinitivoca.