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Configurazioni: Numeri quadrati, rettangolari e primi

Divisibilità: Multipli e sottomultipli - Relazione d'ordine

Cerchiamo i Multipli e i Sottomultipli di un Numero: Criteri di Divisibilità

Equivalenza tra il rettangolo A e il quadrato B

Numeri primi. Crivello di Eratostene

Definizione di numero primo

La scomposizione in Fattori Primi

Scomposizione in fattori primi (Video)

Massimo Comun Divisore e Minimo Comune Multiplo

Definizione di multiplo

Definizione di Massimo Comun Divisore

Definizione di Minimo Comune Multiplo

Introduzione alla Matematica

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MATEMATICA - LA DIVISIBILITA'

CONFIGURAZIONI: NUMERI QUADRATI, RETTANGOLARI E PRIMI

basta che tu pensi agli scolari seduti ordinatamente in una fila di banchi, o a una colonna di soldati in marcia, o agli "omini" di un calcetto.

Queste disposizioni, in un certo senso "geometriche", che chiameremo "configurazioni", sono di molti tipi e, sin dall'antichità, sono servite a rappresentare simbolicamente il numero degli oggetti che vi intervengono.

Basta che tu pensi ai dadi o al gioco del domino.

A noi interessano soprattutto configurazioni "quadrate" e "rettangolari", per motivi che ti saranno subito chiari.

Cominciamo con il chiamare numeri quadrati e rettangolari numeri che si possono rappresentare con una configurazione di punti (vedi fig. 32) quadrata e, rispettivamente, rettangolare.

Fig. 32

Per esempio, come vedi, 9 e un numero quadrato, e 16 un numero rettangolare. Anzi, il 16 può essere rappresentato in tre modi diversi. Osservazioni di questo tipo, per te ovvie, sono state invece importantissime nell'antichità, quando, come abbiamo già visto, non si usava il valore posizionale delle cifre (arabe) per effettuare i calcoli. Nell'intuizione dei Greci, la moltiplicazione era strettamente collegata a configurazioni come queste. Cosi, il prodotto 2x8 era un numero "rettangolare" di lati 2 e 8. D'altra parte, 16 era anche un numero "quadrato" di lato 4. Questo modo geometrico-intuitivo di vedere i calcoli ha lasciato tracce sino ai nostri tempi, per esempio nell'uso corrente di chiamare "quadrato" la seconda potenza di un numero e "cubo" la terza. Ma torniamo ai numeri rettangolari e decidiamo che le file di punti non si debbano considerare configurazioni rettangolari (di lato 1), altrimenti tutti i numeri sarebbero rettangolari in modo banale. Cosi, invece, abbiamo diviso i numeri naturali in due parti: quelli che, in uno o più modi, si possono rappresentare con una configurazione rettangolare (eventualmente quadrata) e che abbiamo già chiamato numeri rettangolari, e quelli che invece non offrono mai questa possibilità, per esempio: 1, 3, 5, 11... Questi numeri li chiamiamo primi. In cosa consiste la differenza? Nel fatto che i numeri rettangolari si possono pensare (talvolta in più modi) come prodotto di altri numeri e che quindi si possono decomporre staccando le file (ricordi la definizione di prodotto a partire dalla somma?), mentre i numeri primi sono come dei "mattoni" indecomponibili.

In altre parole:

I numeri primi non hanno divisori a eccezione di se stessi e dell'unità.

I numeri rettangolari, invece, si. Si può perciò porre il problema: in quante configurazioni si può rappresentare un dato numero, per esempio il 16? Esattamente nel numero dei modi in cui lo si può decomporre come prodotto di fattori: la risposta l'hai già vista in pratica nella figura 32. Alla fine del capitolo avrai lo strumento per dare una risposta teorica e sistematica a questo tipo di problemi. Chiudiamo invece questo paragrafo sulle configurazioni con una osservazione interessante che ti darà l'idea del tipo di problemi che tratta questa strana "aritmetica geometrica", con numeri "triangolari", "pentagonali" o addirittura "piramidali". Con un po' di riflessione qualche problema potresti portelo anche tu...: non per niente questo è uno dei campi più utilizzati per i cosiddetti "divertimenti matematici"! Non solo: ti farà rincontrare un concetto ben noto in una luce nuova. Prova difatti a costruire i numeri quadrati uno dopo l'altro, a partire dal punto (che abbiamo deciso di non considerare tale), con l'aggiunta di un opportuno spigolo. Osserva che questa costruzione potrebbe anche esprimersi come in figura 34.

Fig. 34

Che cosa sono gli spigoli, allora. La differenza tra due quadrati successivi. E quanti sono i punti dei vari spigoli? Tra il quadrato di 4 punti e il punto avremo come differenza lo spigolo di 3 punti, tra il quadrato di 9 punti e il quadrato di 4 avremo lo spigolo di 5 punti, e così via. Ma già avrai capito che in questo modo otterremo tutti i numeri dispari e solo essi: ogni numero dispari è infatti la differenza tra due quadrati successivi. Anzi, potremo utilizzare questo fatto per costruire una tabella che ci permetta di scrivere, senza fare moltiplicazioni, i numeri quadrati uno di seguito all'altro.

DIVISIBILITA': MULTIPLI E SOTTOMULTIPLI - RELAZIONI D'ORDINE

La proprietà simmetrica di una relazione che chiameremo "R" ci dice infatti: se x"R"y, allora anche y"R"x. Il che è falso in tutti gli esempi fatti. Ma per la nostra relazione si può dire di più; vale infatti una proprietà in certo qual modo opposta, che si chiama appunto antisimmetrica: può succedere che sia x"R"y e contemporaneamente y"R"x sempre e solo nel caso in cui sia x = y. Verifichiamola: effettivamente, per ogni numero naturale n, si ha nx1 = n, come sappiamo, cioè n è multiplo di se stesso: quindi, dati due numeri naturali n e m, se diciamo che n è multiplo di m e m è multiplo di n, ciò può solo significare che n = m. Altrimenti una delle due affermazioni sarebbe falsa. Tutto ciò non ha sempre senso nei nostri esempi, perché ovviamente Bettega non è giocatore di se stesso e certamente Luca non è figlio di se stesso. Tutt'al più, il discorso può funzionare per la relazione allievo - maestro: un autodidatta è, in un certo senso, allievo e maestro di se stesso. Ma l'esempio più interessante è la relazione d'ordine che già conosciamo sui numeri naturali: x >= y. Ricordiamo che il simbolo >= significa maggiore o (anche) uguale: quindi la relazione 2>=2 è vera in quanto 2 = 2, mentre 2 >= 3 è falsa. Anche in questo caso vale la proprietà antisimmetrica: vale x >= y e contemporaneamente y >= x soltanto se x = y. Ti chiederai se questa analogia non si possa spingere più oltre: la risposta è sì, e vale la pena di fare una piccola digressione sulle altre proprietà della relazione d'ordine >=. Abbiamo appena osservato che vale x >= x, qualunque sia il numero x. Questa è la proprietà riflessiva. La terza proprietà si chiama transitiva e dice che, per esempio, se 5 è maggiore di 3 e 3 è maggiore di 2, allora 5 è maggiore di 2. Il nome della proprietà indica proprio questo passaggio, questa "propagazione", questa "transizione," della relazione da 5 a 2 "attraverso" 3. La cosa ti può sembrare ovvia, ma pensa per un momento di avere un numero non conosciuto, che sai però essere >=18 (per esempio l'età di una persona maggiorenne): la proprietà ti garantisce che esso sarà maggiore di qualunque numero = 18 (e quindi questa persona avrà più di, per esempio, 12 anni). Le relazioni di figlio o di allievo invece non godono di questa proprietà: se Luca è figlio di Giovanna e Giovanna è figlia di Franco, Luca non è figlio, bensì, come ben sai, nipote di Franco. Riscriviamo la proprietà: se x >= y e y >= z, sarà anche x >= z. Ora, questa proprietà vale anche per la nostra relazione "essere multiplo": per esempio se 12 è multiplo di 3 e 24 è multiplo di 12, allora anche 24 è multiplo di 3. Possiamo verificarlo in generale: "b è multiplo di a" significa che esiste un numero n tale che axn = b; "c'è multiplo di b" significa che esiste un numero m tale che bxm = c. Quindi, c = bxm = axnxm.

Cioè c'è multiplo di a. Poiché hai già visto che ogni numero è multiplo di se stesso (e ora sai che questo significa proprietà riflessiva!), sei ora in grado di capire quanto stretta sia l'analogia tra le due relazioni: "essere multiplo" e ">=" (e, naturalmente, tra le inverse "essere divisore" e "="). Entrambe sono relazioni d'ordine; valgono cioè per esse le proprietà riflessiva, antisimmetrica e transitiva. Sono moltissimi gli esempi di relazioni d'ordine che tu stesso puoi dare: l'ordine di arrivo di una corsa motociclistica o la graduatoria di una qualunque altra gara sportiva, come il lancio del peso, del disco, il salto in alto. C'è tuttavia una differenza tra questi esempi e la stessa relazione di >= "da una parte e la nostra relazione "essere multiplo" dall'altra: i primi sono esempi di relazioni d'ordine totale, come hai già visto per la relazione >=, cioè: dati due elementi a e b qualunque, è sempre a >= b o a = b (Nei nostri esempi, x arriva prima di y al traguardo o viceversa). Per la relazione "essere multiplo" invece può capitare che due numeri siano inconfrontabili, cioè, nel nostro caso, non si può dire se un numero è o no multiplo di un altro: ad esempio, se prendi 5 e 12, non è né 5 multiplo di 12, né 12 multiplo di 5. Una relazione d 'ordine di questo tipo si dice parziale. La situazione è analoga a quella che si può creare in uno stadio durante una riunione di atletica leggera: se si hanno due premiazioni simultanee, per esempio per il peso e per il disco, si ha un ordine totale all'interno delle due specialità, ma come si fa a confrontare due atleti di specialità diversa per stabilire quale è il primo? Quindi, non potremo ordinare i numeri naturali tutti in un'unica catena, analoga a quella dell'ordine naturale, con il multiplo a destra e a sinistra il divisore, ma potremo costruire delle catene parziali.

CERCHIAMO I MULTIPLI E I SOTTOMULTIPLI DI UN NUMERO: CRITERI DI DIVISIBILITA'

I numeri così ottenuti non solo sono tutti multipli di 6, il che è banale: essi sono tutti i multipli di 6.

Infatti, se m è un qualunque multiplo di 6, esisterà un numero naturale n tale che m = nx6.

Quindi m, prima o poi, lo incontrerai nella tua tabella.

Sei così giunto a un risultato importante: i multipli di 6, anzi, i multipli di un generico numero a, sono infiniti: tanti quanti sono i numeri naturali.

L'esempio più immediato di questa situazione e quello dei numeri pari: essi sono, come ben sai, i multipli di due.

Proprio da questo esempio, ricordando cosa sono i numeri dispari (cioè quelli che divisi per due danno resto uguale a 1) e che i numeri naturali si ripartiscono tra pari e dispari, possiamo partire per fare una considerazione più generale.

Sai già cosa è una relazione e conosci alcune delle proprietà che una relazione può avere.

Hai visto in dettaglio cosa caratterizza, in particolare, una relazione d'ordine.

Pensa quindi a una relazione che, come quest'ultima, sia riflessiva e transitiva, ma che, invece della proprietà antisimmetrica, gode della proprietà simmetrica alla quale abbiamo già accennato nel paragrafo precedente.

Diremo che tale relazione è una relazione di equivalenza.

Come sarà fatta la relazione di equivalenza? Puoi trovare degli esempi? Vediamone alcuni insieme.

Il primo, il più noto, è l' uguaglianza o identità: uguagliare tre numeri, tre figure geometriche, tre oggetti qualunque. Verifichiamo le tre proprietà nel caso numerico.

Vale la riflessiva: a = a; vale la simmetrica: se a = b allora b = a (e viceversa); vale la transitiva: se a = b e b = c, allora a = c. Avrai notato che qui le tre proprietà valgono in modo semplicistico: infatti abbiamo sempre a che fare con un unico numero: a.

Vi sono moltissimi esempi, invece, nei quali questa verifica non è così banale. Possiamo, per esempio, considerare equivalenti i poligoni di uguale area o i solidi di uguale volume.

In questo caso le proprietà simmetrica e transitiva hanno un significato più complesso: la prima ci dice che il rettangolo A e il quadrato B sono tra loro equivalenti (vedi schema), e la seconda che possiamo costruire, a partire per esempio dal rettangolo A, tutto un insieme di figure tra loro equivalenti, costituenti una classe di equivalenza.

Equivalenza tra il rettangolo A e il quadrato B

Tale relazione divide l'insieme dei numeri naturali in due classi di equivalenza: i multipli di n e i non multipli.

Entrambe le classi sono formate da infiniti elementi: l'abbiamo già visto per la classe dei multipli e puoi verificarlo per quella dei non multipli pensando che i numeri che, divisi per n, danno resto 1, vi appartengono tutti, e che da soli già sono tanti quanti i multipli e, quindi, infiniti. Infatti, a ogni multiplo di n, per esempio 5xn, puoi far corrispondere un numero di questo tipo semplicemente aggiungendo 1, cioè 5 n+1. Così a 6xn corrisponde 6xn+1, a 100xn corrisponde 100xn+1, e così via per ogni multiplo. E' quindi molto facile costruire i multipli di un numero: diverso è il discorso per i divisori. Anche per i divisori di un numero n si ha che l'insieme dei numeri naturali si divide in due classi: i divisori di n e i non divisori, rispetto alla relazione di equivalenza "essere divisori comuni di n". Le due classi però saranno molto diverse in quanto a numero di elementi: infatti, sai già che i divisori di un qualsiasi numero naturale n sono in numero finito, mentre l'altra classe è data da tutti gli altri numeri naturali ed è pertanto infinita. Inoltre non è così immediato determinare i divisori di n, senza effettuare alcuna divisione.

In uno dei prossimi paragrafi impareremo un metodo generale per la soluzione di questo problema, ma già sin d'ora conviene effettuare alcune semplici constatazioni che ci forniranno delle regole per riconoscere a prima vista i multipli di particolari numeri (2 e 4, 3 e 9, 5 e 25, 10 e multipli 10).

Questo ci permetterà pertanto, dato un numero n, di risponder sì o no a domande del tipo: 3 appartiene alla classe dei divisori di n? Il che, in altre parole, si può anche esprimere così: n è divisibile per 3? I criteri che adesso ti mostreremo si chiamano appunto criteri di divisibilità.

a) Criterio di divisibilità per 10 e 100. Sai bene che numeri come 20, 60, 80 sono multipli di 10: infatti, 20 = 2x10, 60 =6x10, 80 = 8x10. In generale si può affermare: un numero divisibile per 10 deve iniziare con uno zero. Analogamente, pensando a un numero come 300, 500, 600, avrai: un numero visibile per 100 deve terminare con due zeri.

b) Criterio di divisibilità per 2 e per 4. Puoi in generale affermare che: un numero è pari divisibile per 2) se la sua ultima cifra è pari (o zero); un numero è divisibile per 4 se le due ultime cifre a destra formano un multiplo di 4.

c) Criterio di divisibilità per 5 e 25. Osserva i multipli di 5, ad esempio 10, 15, 20, 25, e, in particolare, quelli di 25, ad esempio 50, 75, 100, 125, 150,175. Potrai allora esprimere il seguente criterio: un numero è divisibile per 5 se la sua ultima cifra è 5 o 0; un numero è divisibile per 25 se termina con 25, 50, 75 o due zeri.

d) Criterio di divisibilità per 3 e per 9. Questo criterio è un po' diverso dai precedenti, perché non si limita a considerare le ultime cifre di un numero. Intanto sappiamo che 6 e 9 sono multipli di 3. Osserviamo ora i seguenti altri multipli: 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45,... 69, 72, 75, 78,... Puoi verificare che: un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è un multiplo di 3; un numero è divisibile per 9 se la somma delle sue cifre è un multiplo di 9. Questo criterio è interessante perché ti potrà capitare di applicarlo in più "tappe". Prendi, ad esempio, 88.794. La somma delle cifre è 36 e tu potresti non sapere (non ricordare) che 36 è un multiplo di 3. Ma la somma delle cifre 36 è 9, che è un multiplo di 3 ben noto, quindi 36 è un multiplo di 3; puoi concludere che 88.794 è divisibile per 3.

NUMERI PRIMI. CRIVELLO DI ERATOSTENE

Questo discorso vale a maggior ragione per tutti gli altri primi maggiori di 10 e minori di 100. Il procedimento così descritto si chiama crivello di Eratostene (che era un matematico greco). Il termine "crivello" è sinonimo di "setaccio" e suggerisce l'idea che, in questo modo, si setacciano i numeri, lasciando passare i decomponibili e "trattenendo" tra le maglie soltanto i numeri primi. Chiudiamo questo paragrafo con alcune considerazioni generali sui numeri primi. Come avrai intuito, essi sono, in un certo senso, "capricciosi", non hanno una legge distributiva ben definita all'interno dei numeri naturali. Puoi osservare, tuttavia, che la loro densità decresce mano a mano che si considerano numeri sempre più grandi: puoi farlo consultando le tavole. Ad esempio, tra 1 e 10 ce ne sono quattro (2, 3, 5, 7), mentre tra 4.920 e 4.930 non ce n'è neppure uno. Non pensare però che finiscano con l'estinguersi: si può dimostrare (noi non lo faremo) che anche i numeri primi sono infiniti.

Definizione di numero primo

LA SCOMPOSIZIONE IN FATTORI PRIMI

Ad esempio: 120 = 2x2x2x3x5 = 2x(2x2x3x5) = 2x60 = 3x(2x2x2x5) = 3x40 = 5x(2x2x2x3) = 5x24.

E ancora: 120 = (2x3)x(5x2x2) = 6x20 e così via.

Vediamo ora di scegliere una "strada" tra le possibili, che, tenendo conto di quanto abbiamo visto insieme, ci conduca alla scomposizione in fattori primi di un qualsiasi numero. Si tratta in sostanza di usare come divisori di prova solo i numeri primi, in ordine crescente, effettuando le corrispondenti divisioni. Così, se il numero è pari, lo si divide per 2, eventualmente più volte, fino ad arrivare a un quoziente dispari. Se esso è divisibile per 3, lo si divide (eventualmente più volte) sino ad arrivare a un quoziente non multiplo di 3. Si passa poi al 5, al 7 e così via.

Puoi visualizzare la cosa con l'esempio sottostante:

 8712 ¦  2
 4356 ¦  2
 2178 ¦  2
 1089 ¦  2 = 504,4
 1089 ¦  3
  363 ¦  3
  121 ¦  3 = 40,3
  121 ¦  5 = 24,2
  121 ¦  7 = 17,2
  121 ¦ 11
   11 ¦ 11 = 1

Noterai che a destra della riga abbiamo i fattori primi e a sinistra i quozienti, che il procedimento termina quando il quoziente è uguale a 1 e che inoltre, nell'indicare la decomposizione, abbiamo associato le varie potenze dei fattori primi. Facciamo anzi, a questo proposito, un'interessante osservazione. Ti è chiaro che il numero (finito) di divisori di un certo numero è in qualche modo collegato alla scomposizione in fattori primi, perché dipende dal numero delle possibili decomposizioni. Ti forniremo ora una regola, che verificherai tu stesso con numerosi esempi, per determinare quanti sono i divisori di un qualunque numero naturale k: basta decomporre k in fattori primi, prendere gli esponenti delle potenze dei numeri primi che vi compaiono aumentati di un'unità e moltiplicarli tra loro.

Esempio: 56 = 2³ x 7¹. Quindi il numero dei divisori è: (3+1)x(1+1) = 4x2 = 8.

Scomposizione in fattori primi

MASSIMO COMUN DIVISORE E MINIMO COMUNE MULTIPLO

1) Supponi che tra le terze classi di una scuola media si vogliano organizzare gare di atletica a squadre, con punteggio. Non è tanto importante, quindi, il numero di elementi di ogni squadra (anche se è bene sia il massimo possibile), quanto il fatto che ciascuna squadra sia formata per intero da allievi della stessa classe, affinché la vittoria sia chiaramente attribuibile alla classe cui appartiene la squadra migliore. Supponendo che le classi siano tre e conoscendo, ovviamente, il numero degli allievi per classe (per esempio: III A 28, III B 32, III C 24), si tratta di determinare quante saranno le squadre e di quanti elementi deve essere composta ogni squadra.

2) Supponi che un'automobile sportiva viaggi a una velocità doppia rispetto a un'utilitaria (la prima raggiunge i 200 km all'ora, la seconda i 100). Entrambe devono percorrere lo stesso circuito circolare. Dopo due giri la vettura sportiva ha doppiato l'utilitaria. Il primo tipo di problema si risolve con il M.C.D., il secondo con il m.c.m., la cui importanza ti sarà ulteriormente chiarita nel prossimo capitolo, quando dovrai effettuare somme di frazioni. Vediamo di chiarire e di esemplificare i due concetti. Sai già che ogni numero ha un insieme finito di divisori, e sai anche determinarli scomponendolo. Questo insieme avrà dunque un massimo. Se ora hai più numeri, puoi cercarne i divisori comuni (ricordi le osservazioni fatte alla fine del II paragrafo?). Anche l'insieme dei divisori comuni è finito e avrà quindi un massimo: esso si chiamerà massimo comun divisore (M.C.D.). Ricordati però che potrà anche capitare che l'unico divisore comune, e quindi il M.C.D., sia 1: in questo caso diremo che i numeri sono primi tra loro. Attenzione a non far confusione con il concetto di numero primo: 4 e 9, per esempio, sono primi tra loro: i divisori di 4 sono infatti 1 e 2, mentre i divisori di 9 sono 1 e 3. Tuttavia 4 e 9, presi separatamente, non sono primi. Riassumendo:

Dati due o più numeri, esiste sempre il loro M.C.D. Esso é 1 se (e solo se) i numeri sono primi fra loro.

E' possibile, dati due o più numeri, fornire una regola per la determinazione del loro M.C.D.? Certamente: basta scomporre in fattori primi ognuno dei numeri assegnati, prendere da ogni fattorizzazione i fattori comuni a tutti i numeri (quindi con il minimo esponente) e moltiplicarli tra loro.

Chiariamo le cose con un esempio:

dati i numeri 144 e 180, troviamo il loro M.C.D. Ora, 144 = 2⁴ x 3² e 180 = 2² x 3² x 5.

Nota che 5 non è un divisore comune:

non compare nella fattorizzazione di 144, quindi non lo divide;

viceversa 2⁴ non compare (vi compare invece 2² ) nella fattorizzazione di 180.

Chiaro che un divisore comune dovrà comparire in entrambe le fattorizzazioni, essere cioè prodotto di alcuni fattori primi comuni e con il minimo esponente: se poi vogliamo il massimo dei divisori, basterà prendere il prodotto di tutti i fattori comuni. Avremo così:

M.C.D. (144,180) = 2² x 3² = 36.

Siamo ora in grado di risolvere il problema 1. Chiaramente le squadre saranno composte da un numero di elementi che dovrà essere divisore del numero di allievi di ogni classe, per come è posto il problema. Sarà dunque un divisore comune di 28, 32 e 24. Si voleva che fosse il massimo possibile: sarà dunque il M.C.D. (28, 32, 24). Ma 28 = 2² x 7, 32 = 2² x 2³ , 24 = 2³ x 3. Avrai quindi: M.C.D. (28, 32, 24) = 2² = 4, che è quindi il numero di elementi che compongono una squadra.

Le squadre saranno (28+32+24):4 = 84:4 = 21.

Veniamo ora al m.c.m. Assegnato un certo insieme di numeri, sai già che la classe dei multipli di ciascuno di essi è formata da infiniti elementi. Anche i multipli comuni (che esistono sicuramente: basta moltiplicare tutti i numeri assegnati tra loro e il risultato sarà naturalmente multiplo di ciascuno di essi!) saranno infiniti: se k è un multiplo comune, anche 2k, 3k, ecc. lo saranno. Non ha quindi senso cercare il massimo; ora vedrai invece una regola per determinare il minimo, cioè il minimo comune multiplo (m.c.m.).

Dovrai ancora scomporre in fattori primi i numeri assegnati e prendere da ogni fattorizzazione tutti i fattori (anche quelli non comuni), stavolta con il massimo esponente.

Ancora una volta, facciamo un esempio.

Dati 16 e 20, dobbiamo trovare il loro m.c.m.

Esso sarà un multiplo comune:

vedremo che conterrà nella sua fattorizzazione tutti i fattori di entrambi i numeri, con il massimo esponente.

Infatti 16 = 2⁴ , 20 = 2² x 5:

ogni multiplo comune dovrà contenere 2⁴ (altrimenti non sarà multiplo di 16) e 5 (altrimenti non sarà multiplo di 20).

Sarà sicuramente multiplo comune il numero 320 = 16x20 = 2⁴ x 2² x 5; esso non è però il minimo dei multipli comuni: la presenza di 2⁴ sarebbe stata sufficiente per garantire la divisibilità sia per 16, sia per 20.

In effetti, seguendo la regola, basterà dire:

m.c.m. (16,20) = 2⁴ x 5 = 80.

Ora puoi risolvere il seguente problema.

Supponi che in una gara automobilistica un pilota, che chiameremo A, impieghi in media 24 minuti per percorrere il circuito, mentre il pilota B ne impiega 28.

A doppierà prima o poi B, ma ci si può chiedere:

dopo quanto tempo lo doppierà davanti alle tribune?

0, in altri termini:

avendo un diverso numero di giri alle spalle, quando i due piloti si ritroveranno insieme al punto di partenza?

Per come è formulato il problema (ci si chiede quando la situazione si verificherà la prima volta), è richiesto proprio il m.c.m. (24,28) = 2(esp.3)x3x7 = 168.

Dunque, 168 minuti, cioè 2 ore e 48 minuti:

questa è la risposta esatta.

Inoltre puoi osservare che A avrà effettuato 7 giri, B solo 6.

Provando ora a riflettere su questi due esempi, potrai facilmente individuare ciò che contraddistingue i problemi del primo tipo da quelli del secondo, e quindi riuscirai a riconoscerli e anche a inventarne di nuovi. Del resto, come ti abbiamo già accennato, sei proprio sul punto di affrontare la più importante e significativa applicazione del m.c.m., quella relativa al calcolo con le frazioni.

Definizione di multiplo

Definizione di Massimo Comun Divisore

Definizione di Minimo Comune Multiplo

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