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MATEMATICA - INSIEMI NUMERICI

INSIEMI NUMERICI

In tutto quello che abbiamo detto finora sono onnipresenti, anche se non li abbiamo esplicitati, due importanti concetti: il concetto di funzione e quello di struttura. Cercheremo ora di spiegarli, partendo dalla nozione di insieme.

Consideriamo i numeri pari compresi tra 0 e 10, estremi inclusi: essi sono 0, 2, 4, 6, 8, 10. Diciamo che, considerati rispetto alla proprietà che ci ha portati ad evidenziarli, essi formano un insieme. Indicheremo tale insieme scrivendo i nostri numeri tra due parentesi graffe e chiamandolo A: A = {0,2,4,6,8,10}. Vogliamo ora formare l'insieme dei numeri primi compresi tra 0 e 10; consideriamo dapprima i numeri da 0 a 10: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10; cerchiamo di individuare tra loro i numeri primi; possiamo adesso formare il nostro insieme B = {1,2,3,5,7}.

I numeri scritti tra le parentesi graffe sono detti elementi dell'insieme, e per indicare tale fatto usiamo il simbolo Î; abbiamo allora 3ÎB, che si legge «3 appartiene a B», «3 è elemento di B»; e anche 2ÎB, cioè «2 appartiene a B». Possiamo scrivere 3ÎA? Evidentemente no, perché se esaminiamo il modo in cui abbiamo formato A, vediamo che in A figurano solo numeri pari compresi tra 0 e 10, e 3 non è certo un numero pari; per indicare che un oggetto non appartiene a un insieme, usiamo il simbolo Ï e scriviamo, nel nostro caso, 3 Ï A. Chiediamoci: 20Î A? Il numero 20 e pari, ma è maggiore di 10, quindi 20 Ï A.

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Noi formiamo insiemi a partire da un insieme più grande, che contiene più elementi, per mezzo di una proprietà. E' quanto abbiamo fatto dicendo di voler formare l'insieme dei numeri pari compresi tra 0 e 10, estremi inclusi. In questo caso l'insieme più grande era, ad esempio, l'insieme di tutti i numeri naturali, che possiamo indicare con la lettera N; poi abbiamo isolato i numeri naturali tra 0 e 10, e di questi ci siamo chiesti quali sono quelli pari e ne abbiamo formato l'insieme, chiamandolo A. E' importante capire che A è stato formato in base ad una proprietà, in base, precisamente, all'«essere un numero pari compreso tra 0 e 10».

Formiamo, per esempio, questo insieme: tutti i numeri naturali divisibili per 5, pari, compresi tra 1 e 15. Chiamiamo questo insieme M. I suoi elementi devono godere delle quattro proprietà sopraddette e che ora elenchiamo in ordine: l) essere numeri naturali 2) essere divisibili per 5 3) essere pari 4) essere compresi tra 1 e 15. Partiamo, come richiede la prima proprietà, dall'insieme N dei numeri naturali; applichiamo a N la seconda proprietà, isolando quei numeri naturali che sono divisibili per 5: abbiamo così l'insieme che chiamiamo L, L = {5,10,15,20,...}, indicando con i puntini gli infiniti multipli di S; all'insieme L applichiamo ora la proprietà 3), isolando l'insieme di quegli elementi di L che sono pari e che chiamiamo I = {10,20,30,40,...} e che ha infiniti elementi. Applichiamo infine all'insieme I la proprietà 4), isolando l'insieme voluto M = {10}. Questo vuol dire che il nostro insieme ha un solo elemento, il numero 10, poiché esso è l'unico numero naturale, divisibile per 5, pari, compreso tra 1 e 15.

Per verificare la verità di questa affermazione chiediamoci: 20Î M? La risposta e no, perché 20 non soddisfa la proprietà 4), essendo maggiore di 15. In che rapporto stanno tra loro gli insiemi M, I, L, N? Vediamo che ogni elemento di M (il numero 10) è elemento di tutti gli altri insiemi; diciamo allora che l'insieme M è incluso in I, in L, in N, e indichiamo questo fatto scrivendo M Ì I, M Ì L, M Ì N.

Il segno di inclusione, indica il fatto che l'insieme scritto alla sua sinistra è un sottoinsieme dell'insieme scritto alla sua destra.

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Diciamo in generale:

Dati due insiemi A e B, scriviamo A Ì B soltanto se ogni elemento di A è anche un elemento di B.

Voi stessi potete facilmente verificare che, fra gli insiemi elencati in precedenza, valgono le seguenti inclusioni: M Ì I Ì L include N.

Una simile «catena di inclusioni» l'abbiamo trattata nelle pagine precedenti, quando siamo passati via via dai numeri naturali agli altri tipi di numeri. Se indichiamo con Z l'insieme dei numeri interi relativi e con Q l'insieme dei numeri razionali relativi, abbiamo N Ì Z Ì Q.

Infatti ogni numero naturale è un numero intero relativo (in particolare, è positivo); ma ogni numero intero è anche un numero razionale (è una frazione con denominatore 1). Tutta la situazione può essere schematizzata nella figura 60, dove le frecce con la coda arrotondata indicano le inclusioni.

Fig. 60

Insiemi

NOTA. Ci siamo limitati a considerare solo particolari insiemi, gli insiemi numerici, i cui elementi cioè sono numeri. Ma dobbiamo tenere presente che il concetto di insieme è più generale, potendosi formare insiemi i cui elementi sono di natura qualunque.

Un'operazione molto importante tra due insiemi è la formazione del prodotto cartesiano, che indicheremo col segno X per distinguerlo dal prodotto aritmetico prima definito. La differenza consiste nel fatto che il prodotto cartesiano serve ad accoppiare due elementi, ognuno preso in un insieme diverso, per formare un nuovo insieme i cui elementi siano appunto queste coppie di elementi. Per capirci, consideriamo i due insiemi: A = {0,1,2} B = {5,6}; facciamo il loro prodotto cartesiano A X B = accoppiando ogni elemento di A con ogni elemento di B; avremo allora A X B = {[0,5], [0,6], [1,5], [1,6], [2,5], [2,6]}.

Un singolo elemento di A X B, come si può ben vedere, è costituito da una coppia di elementi, il primo appartenente all'insieme A, il secondo all'insieme B; per questo motivo un elemento di A x B si chiama coppia ordinata, poiché è importante l'ordine delle componenti della coppia. E'infatti molto diverso scrivere [0,5] o (5,0]: la prima coppia appartiene al nostro insieme A X B, la seconda no. Da questa osservazione ci è suggerita la conclusione: il prodotto cartesiano tra due insiemi non è commutativo, cioè A X B ¹ B X A.

Passiamo ora a quella che forse è la nozione più importante in matematica, quella di funzione.

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FUNZIONI

Conosciamo già cosa vuol dire «mettere in corrispondenza» un insieme di oggetti con un altro. Una corrispondenza avviene sempre in virtù di un legame, una legge che ci dice in che modo a un oggetto ne va accoppiato un altro. Consideriamo i due insiemi: P = {1,2,3} e Q = {1,4,9}. Vediamo subito da quale legame sono legati: gli elementi di Q sono quadrati perfetti degli elementi di P; il legame che unisce P e Q è la relazione «formare il quadrato di». Possiamo indicare questa corrispondenza con una freccia PQ, che agisce così sugli elementi di P:

         1 → 1
         2 → 4
         3 → 9

Immaginiamo ora di partire dall'insieme Q e di muoverci nell'insieme dei numeri relativi. A quale insieme possiamo legare Q, stavolta in base alla relazione «estrarre la radice quadrata di»? Abbiamo che ad 1 corrispondono 1,-1; a 4 corrispondono 2,-2; a 9 corrispondono 3,-3. Abbiamo così stabilito due corrispondenze: una che chiamiamo e, va da P a Q, e corrisponde all'operazione di elevare al quadrato; l'altra, che chiamiamo r, va da Q all'insieme X = { 1,-1,2,-2,3,-3 }, e corrisponde all'operazione di estrarre la radice quadrata.

Una corrispondenza f da un insieme A verso un insieme B (f:A → B) viene detta da A verso B soltanto se a ogni elemento di A corrisponde un solo elemento di B.

Torniamo all'esempio precedente e chiediamoci se e è una funzione. La risposta e sì, perché ogni elemento di P va a finire in un solo elemento di Q. La corrispondenza r è una funzione? No, perché a un elemento di Q corrispondono due elementi di X, due numeri interi opposti.

NOTA. L'insieme da cui parte la funzione si chiama dominio della funzione; l'insieme d'arrivo si chiama condominio. Facciamo un esempio concreto per illustrare il concetto di funzione: prendiamo un aereo con i suoi passeggeri, ogni passeggero va solo, anche se più passeggeri prendono lo stesso aereo; la corrispondenza che associa a ogni passeggero l'aereo su cui viaggia è una funzione. Ma la corrispondenza inversa non è più una funzione: infatti un aereo è associato a più di un passeggero, poiché ne trasporta più di uno.

Allo stesso modo se consideriamo l'insieme dei fiumi italiani e l'insieme dei mari che bagnano l'Italia, osserviamo che la corrispondenza Fiumi -→ Mari è una funzione, poiché a ogni fiume è associato un solo mare, il mare in cui sfocia. Invece la corrispondenza Mari -→ Fiumi non è una funzione, poiché a ogni mare corrispondono più fiumi che sfociano in esso.

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Dominio di una funzione può essere un insieme qualunque, purché ogni elemento di tale insieme venga trasportato in un solo elemento del condominio.

Soffermiamoci sul caso in cui il dominio di una funzione è il prodotto cartesiano di due insiemi. Consideriamo il seguente esempio concreto (vedi figura 62).

Fig. 62

Insiemi

Indichiamo con la lettera A l'insieme dei nomi comuni di persona {Franco, Marta, Giulia} e con B l'insieme di cognomi {Rossi, Bianchi}.

Sappiamo che, escludendo i casi di omonimia (cioè di persone che hanno lo stesso nome e cognome), ogni nome e cognome individuano una sola persona. Facciamo il prodotto cartesiano di questi due insiemi, il che vuol dire accoppiare in tutti i modi possibili ciascun nome con ciascun cognome. Abbiamo A X B = {[Franco, Rossi], [Marta, Rossi], [Giulia, Rossi, Franco, Bianchi], [Marta, Bianchi], [Giulia, Bianchi]}. Consideriamo poi un insieme P di individui, maschi e femmine, e una funzione che a ogni coppia di A X B associa una persona ben determinata, una persona che ha quel nome e quel cognome, f: A X B → P. Nell'insieme P possono esserci anche altri individui, di cui però non conosciamo nome e cognome, e che quindi non sono raggiunti dalla nostra funzione; ma ciò non importa, poiché la f è sempre una funzione, assegnando a ogni elemento del dominio un solo elemento (anche se non tutti) del codominio.

Noi abbiamo avuto a che fare spessissimo con funzioni che a ogni coppia di elementi associano un solo elemento. Tutte le nostre operazioni sono funzioni di questo tipo. Passiamone in rassegna qualcuna. Quando dicevamo che l'addizione tra due numeri naturali fa passare a un altro numero naturale e scrivevamo [a,b] +→ a+b, intendevamo sottolineare che l'operazione + può essere vista come una funzione il cui dominio è l'insieme N X N, il prodotto cartesiano dell'insieme dei numeri naturali con se stesso, e il cui codominio è l'insieme N di tutti i numeri naturali. Il fatto che il codominio sia ancora N, rende esplicita la proprietà dei numeri naturali di essere chiusi rispetto alla somma.

Passando alla sottrazione, vediamo che anch'essa può essere considerata come una funzione -: N X N -→ Z, dove Z è l'insieme dei numeri interi relativi. Il codominio non può essere N, poiché sappiamo che N non è chiuso rispetto alla sottrazione. N è invece chiuso rispetto al prodotto, che può essere rappresentato come la funzione N X N x→ N; mentre non è chiuso rispetto alla divisione, che può essere vista come una funzione N X N :→ Q. Il fatto che Q sia chiuso rispetto a tutte le quattro operazioni aritmetiche considerate, può essere simboleggiato in questo modo:

Q X Q +→Q, Q X Q x→ Q, Q X Q -→ Q, Q X Q :→ Q.

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STRUTTURE

Se osserviamo bene N e quanto abbiamo fatto con quest'insieme, scopriamo che non ci siamo soltanto soffermati sul suo essere un insieme, l'insieme di tutti i numeri naturali. Anzi quest'aspetto è stato molto secondario nel nostro studio. Non ci siamo infatti preoccupati di sapere che cos'è un numero naturale, che cos'è un elemento di N, ma abbiamo piuttosto portato tutta la nostra attenzione sul fatto che tra gli elementi di N si possono definire delle operazioni. Non abbiamo considerato solo l'insieme N, ma soprattutto le operazioni definite su di esso. Possiamo esplicitare questo fatto dicendo che N è una struttura, come pure Z e Q.

Per struttura si intende un insieme numerico su cui si possono eseguire delle operazioni che danno per risultato elementi di quell'insieme.

Per sottolineare il fatto che non consideriamo solo l'insieme, ma soprattutto le operazioni su di esso definite, indichiamo una struttura scrivendo la coppia [N,+], [N,x]. Invece [N,-] non è una struttura, perché-N non è chiuso rispetto alla sottrazione. Invece [Z,+,x,-] è una struttura, come pure [Q,+,-,x,:]. Le strutture sono importantissime in matematica. Noi però non andremo oltre. Altri esempi di funzioni, sia nelle loro applicazioni concrete sia nel loro aspetto geometrico, verranno trattate in geometria.

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