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MATEMATICA - I NUMERI REALI

Dopo aver visto i numeri razionali vediamo ora una nuova categoria di numeri: i numeri reali.
Come già anticipato, il numero √2 non è un numero intero né un numero razionale, cioè non può essere scritto nella forma di frazione m/n con m ed n numeri interi positivi, ma è un numero irrazionale, cioè un numero che ha un'infinità di cifre decimali dopo la virgola che non sono periodiche e del quale si può conoscere solo un valore approssimato. Per determinare approssimativamente il valore di √2 si può procedere come segue: √2 è sicuramente maggiore di 1 poiché 1² = 1 è minore di √2 in quanto 2² = 4; una prima stima ci dice quindi che il valore di √2 è compreso fra 1 e √2. Prendiamo quindi 1,5 come valore intermedio; dato che 1,5² = 2,25, il valore di √2 è minore di 1,5 ed è maggiore di 1,4 in quanto 1,4² = 1,94. √2 sarà quindi compreso fra 1,4 e 1,5, più vicino però a 1,4 che a 1,5 dato che 2 - 1,4² = 0,04 e 1,5² - 2 = 0,25. Prendiamo allora 1,41; si avrà 1,41² = 1,9881, che è leggermente più piccolo di 2 mentre 1,43² = 2,0449 è leggermente più grande di 2. Quindi √2 risulta compreso fra i valori 1,41 e 1,43, più vicino però a 1,41 dato che 2 - 1,41² = 0,0119 e 1,43² -2 = 0,0449.
Continuando questo procedimento i valori così calcolati si addensano sempre più vicino al valore √2 (vedi figura 1) e possiamo determinare il valore approssimato di √2 con tante cifre decimali quante ne vogliamo. Con 9 cifre decimali il risultato è: √2 = 1,414213562.
Fig. 1

Tutte le radici quadrate di numeri che non sono quadrati perfetti come 1, 4, 9, 16, 25, ecc. sono numeri non razionali cioè irrazionali. Anche le radici cubiche di numeri, che non sono cubi perfetti come 1, 8, 27, 64, 125, ecc., sono numeri irrazionali. In generale possiamo affermare il seguente principio: tutti i numeri ottenuti mediante l'operazione di estrazione di radice di ordine n di numeri non esprimibili come potenze di n sono numeri irrazionali.
Esistono altri numeri che non possono essere espressi come frazioni e che quindi non sono razionali e hanno un numero infinito non periodico di cifre decimali dopo la virgola e che, tuttavia, non possono essere ottenuti mediante l'operazione di estrazione di radice e, dunque, non sono neppure numeri irrazionali. Questi tipi di numeri prendono il nome di numeri trascendenti dei quali il più famoso è p. Questo numero trascendente deriva dal rapporto fra la lunghezza di una circonferenza e la lunghezza del suo diametro.
Con i moderni calcolatori sono state calcolate più di un milione di cifre decimali dopo la virgola; con 9 cifre decimali p vale 3,141592654.
Un'altro numero trascendente famoso è la base dei logaritmi naturali "e" che approssimato a 9 cifre decimali vale: e = 2,718281828.
Tutti i numeri interi relativi, i numeri razionali, irrazionali e trascendenti formano i numeri reali.
Possiamo ora affermare il seguente importante principio: i numeri reali possono essere rappresentati come punti di una retta, ovvero ad ogni numero reale corrisponde uno ed un solo punto della retta e ad ogni punto della retta corrisponde uno ed un solo numero reale.
La retta rappresentatrice dei numeri reali

Questa importante relazione esistente fra enti diversi (punti e numeri) prende il nome di corrispondenza biunivoca.
Le operazioni di somma e sottrazione, così come quelle di moltiplicazione e di divisione sono operazioni chiuse nei numeri reali. Questo vuol dire che il risultato della somma e della sottrazione di due o più numeri reali è ancora un numero reale; analogamente per la moltiplicazione e la divisione. L'operazione di estrazione di radice risulta chiusa nei numeri reali se i numeri sono positivi oppure se l'indice della radice è dispari. Infatti √-4 (l'indice della radice è 2 quindi pari) non esiste nei numeri reali in quanto il prodotto di due numeri positivi è positivo quindi non può dare -4. Ma anche il prodotto di due numeri negativi ha come risultato un numero positivo e quindi non può dare √-4 (per esempio -2 x -2 =+ 4). In conclusione possiamo dire che il valore di √-4 dovrebbe essere contemporaneamente non negativo e non positivo, ma un siffatto numero reale non esiste ad eccezione dello zero (ma 0 x 0 = 0 è diverso da -4) e quindi non esiste il valore -4. In generale non esistono i valori delle radici di indice pari dei numeri reali negativi.

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