MATEMATICA - GEOMETRIA ANALITICA

IL PIANO CARTESIANO

La geometria analitica, introdotta per la prima volta da Descartes (italianizzato in Cartesio) nella prima metà del XVII secolo, tratta lo studio di figure piane e solide utilizzando metodi algebrici, cioè risoluzione di equazioni, piuttosto che metodi geometrici, cioè strumenti come riga e compasso e l'uso delle proporzioni e di criteri di proporzionalità.
Dato che è relativamente semplice creare degli algoritmi, ovvero delle procedure standard e ripetitive, per eseguire le operazioni algebriche, l'applicazione dell'algebra alla geometria si rivela estremamente efficace e ha contribuito in maniera essenziale a un notevole sviluppo di entrambe le discipline.
L'idea fondamentale che sta alla base della geometria analitica è molto semplice e si fonda sulla rappresentazione dei numeri reali su una retta.
Se tutti i numeri reali hanno una rappresentazione sulla retta, allora prendiamo due rette perpendicolari che si intersecano entrambe nel punto zero (origine); se consideriamo la coppia ordinata di numeri (x, y), dove il primo numero x viene preso sulla retta orizzontale, chiamata anche asse delle X o asse delle ascisse, mentre in secondo numero y viene preso sulla retta verticale, chiamata anche asse delle Y o asse delle ordinate, allora "esiste una corrispondenza biunivoca fra i punti del piano formato dagli assi x e y e le coppie ordinate di numeri". In altre parole a ogni punto del piano corrisponde una e una sola coppia ordinata di numeri (ricordiamo che "ordinata" significa che la coppia (2, 5) è diversa dalla coppia (5, 2), come si può vedere in figura 1), mentre ad ogni coppia ordinata di numeri corrisponde uno e un solo punto del piano. Poiché l'insieme delle coppie ordinate altro non è che l'insieme prodotto cartesiano R X R, tutti i punti del piano possono essere visti come la rappresentazione di questo insieme prodotto cartesiano. Le coppie ordinate prendono il nome di "coordinate del punto"; il primo numero della coppia prende il nome di "coordinata x" e rappresenta la distanza del punto dall'asse Y, mentre il secondo numero prende il nome di "coordinata y" che rappresenta la distanza del punto dall'asse X (in figura per il punto A di coordinate 2, 4).
Gli assi X e Y dividono il piano in quattro quadranti: se le coordinate x e y sono entrambe positive il punto è nel primo quadrante; se la coordinata x è negativa mentre la coordinata y è positiva il punto è nel secondo quadrante; se le coordinate x e y sono entrambe negative il punto è nel terzo quadrante; se la coordinata x è positiva mentre la coordinata y è negativa il punto è nel quarto quadrante. Tutti i punti che hanno coordinate del tipo (0, y) sono punti che giacciono sull'asse X, mentre tutti i punti che hanno coordinate del tipo (x, 0) sono punti che giacciono sull'asse Y.
Fig. 1 Piano Cartesiano

DISTANZA FRA DUE PUNTI

In geometria per determinare la distanza fra due punti è necessario utilizzare un righello oppure utilizzare, per esempio, similitudini fra triangoli e determinare la lunghezza del segmento delimitato dai due punti in relazione a segmenti noti. Vediamo ora come è possibile determinare la distanza fra due punti in geometria analitica. Siano A e B due punti con la stessa coordinata x : A (3, 5) e B (3, 1). Come si vede dalla figura 2 la distanza fra i punti A e B è data dalla differenza fra la coordinata y di A e la coordinata y di B; 5 - 1 = 4 quindi AB = 4. Se i due punti hanno la stessa coordinata y la distanza fra i due punti è data dalla differenza delle coordinate x dei punti. Se prendiamo ora i punti C e D in figura la differenza fra le coordinate x è: -3 - 6 = -9 e quindi CD = -9.
Ma una lunghezza non può essere negativa, infatti un segmento ha sempre lunghezza positiva o nulla e quindi la differenza delle coordinate va presa sempre positiva ovvero si prende il "valore assoluto".
Il valore assoluto di un numero n si indica con xnx e vale n se n>0, -n se n0; il valore assoluto di 2 è 2 mentre il valore assoluto di -2 è ancora 2. Allora la distanza CD é:

CD = x -3 - 6 x = x -9 x = 9.
Si deve notare che:
DC = x 6 - (-3) x = x 6 + 3 x = x 9 x = 9

come è ovvio che sia poiché CD e DC sono lo stesso segmento.
Fig. 2

Per determinare la distanza fra due punti A (1, 1) e B (3, 5) non aventi né la stessa ascissa né la stessa ordinata, facendo riferimento alla figura 3, si nota che il triangolo ABC è rettangolo, di cui il segmento AB è l'ipotenusa e i segmenti AC e BC i cateti. Applicando il teorema di Pitagora, tenendo conto che

AC = 2 e BC = 4 otteniamo:
AB = √(2²+ 4²) = √(4 + 16) = √20.
Fig. 3

Nel caso generale di distanza fra i punti A (a, b) e B (c, d) (vedi figura 4) dove a, b, c, d sono le coordinate dei punti, applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo ABC otteniamo:
AB = √[( a - c )²+ ( c - d )²].
Fig. 4

LA RETTA

Se indichiamo con x la generica ascissa di un punto e con y la generica ordinata di un punto che cosa significa l'equazione y = x quando x assume tutti i valori reali?
Se diamo alla coordinata x il valore 1 otteniamo y = 1, quindi abbiamo il punto A di coordinate (1, 1); se diamo a x il valore -2 otteniamo y = -2 e quindi il punto B di coordinate (-2, -2). Se diamo alla coordinata x tutti i valori possibili otteniamo in definitiva un insieme di punti che rappresentano una retta (vedi figura 5) la cui equazione è y = x.

Analogamente l'equazione y = 2x rappresenta una retta la cui "pendenza" è però maggiore della retta y = x. L'equazione di una generica retta passante per l'origine degli assi cartesiani (il punto di coordinate 0, 0) è: y = mx
Fig. 5

dove m prende il nome di "coefficiente angolare della retta". Il coefficiente angolare m di una retta rappresenta la pendenza della retta ovvero l'angolo formato dalla retta con l'asse x; se prendiamo due punti qualsiasi A (a, b) e B (c, d) della retta il suo coefficiente angolare è dato da:

                               d -b
                          m = ---------
                                c -a

In una retta parallela all'asse x tutti i suoi punti hanno sempre la stessa coordinata y, quindi l'equazione di una retta parallela all'asse x è: y = h

dove h è una costante. Analogamente in una retta parallela all'asse delle y tutti i suoi punti hanno sempre la stessa coordinata x e quindi l'equazione di una retta parallela all'asse delle y è:

x = k
dove k è una costante.

Se il coefficiente angolare m è maggiore di 0 allora l'angolo che la retta forma con l'asse x è compreso fra 0 e 90 gradi, estremi esclusi; se il coefficiente angolare è minore di 0 allora l'angolo formato dalla retta con l'asse x è compreso fra 90 e 180 gradi, estremi sempre esclusi. Se m = 0 la retta è parallela all'asse delle x, cioè forma un angolo di 0 gradi con l'asse x, mentre se m è infinito la retta è parallela all'asse delle y, ovvero forma un angolo di 90 gradi con l'asse y. In figura 6 sono rappresentati i quattro casi.
Fig. 6

Una retta che non passa per l'origine e che non è parallela agli assi cartesiani ha un'equazione generale del tipo:

y = mx + q

dove m è il coefficiente angolare e q prende il nome di "segmento staccato". In figura 7 è rappresentato il significato geometrico del segmento staccato: il segmento staccato e la coordinata y del punto di intersezione fra la retta e l'asse y.
Fig. 7
Un'equazione di una retta espressa in questa forma si dice che è espressa in "forma esplicita"; una retta può essere espressa in "forma implicita" cioè nella forma:

ax by + c = 0

Per passare dalla forma implicita alla forma esplicita si usano le relazioni:

m = -a/b
e
q = -c/b

Dato che il coefficiente angolare indica l'inclinazione di una retta allora "rette che hanno lo stesso coefficiente angolare sono parallele". Infatti, come si vede dalla figura 8, le due rette

y = 2x - 1 e
y = 2x + 3

sono parallele avendo lo stesso coefficiente angolare. Poiché il segmento staccato q può assumere qualsiasi valore ne segue che esistono infinite rette parallele a una retta data. L'insieme di queste rette prende il nome di "fascio improprio di rette". Due rette sono perpendicolari se il prodotto dei coefficienti angolari delle rette è uguale a -1 cioè se mm' = -1.
La retta di equazione y = -1/2x è perpendicolare alle rette di equazione y = 2x -1 e y = 2x + 3 infatti -1/2 x 2 = -1 (vedi figura 8).
Fig. 8

Il 1° postulato di Euclide afferma che "per due punti passa una e una sola retta", quindi le coordinate di due punti sono sufficienti per determinare l'equazione della retta passante per i punti in questione. Se il punto A ha coordinate A (a, b) e il punto B ha coordinate B (c, d) l'equazione della retta passante per i due punti è:

                       y - b     d - b
                      ------- = -------
                       x - a     c - a

Per esempio: siano A (2, 2) e B (-1, 1) due punti del piano, determinare la retta passante per A e B. Applicando la formula vista precedentemente abbiamo che:
a = 2,
b = 2,
c = -1,
d = 1 quindi:

              y - 2     1 - 2                y - 2    -1
              ------ = -------    cioè     ------- = ---
              x - 2     -1 -2                x - 2    -3

quindi
y - 2 = 1/3 ( x - 2 )
y = 1/3 x - 2/3 + 2 e dunque
y = 1/3 x + 4/3 che è l'equazione della retta cercata.

Due rette non parallele si intersecano in un punto; per determinare le coordinate del punto di intersezione si deve risolvere il sistema formato dalle equazioni delle due rette. Per esempio le rette di equazione y = 3x - 1 e y = - x + 1 si intersecano nel punto P di coordinate P (1/2, 1/2); infatti x = 1/2 e y = 1/2 sono, come si può facilmente verificare, le soluzioni del sistema formato dalle equazioni delle due rette.
Punto di intersezione fra due rette

LA CIRCONFERENZA

Una circonferenza è "il luogo dei punti", cioè l'insieme dei punti tali che sono "equidistanti da un punto fisso detto centro della circonferenza" e tale distanza è detta "raggio della circonferenza". Il punto P di coordinate generiche x e y appartiene alla circonferenza con centro nel punto C di coordinate (p, q) e raggio r>0 (figura 10) se la distanza fra il punto C e il punto P è uguale ad r, cioè se

√[(x - p)²+ (y - q)²] = r

Elevando al quadrato ambo i membri otteniamo:

(x - p)²+ (y - q)²= r²

che è l'equazione della circonferenza con centro nel punto C (p, q) e raggio r. Svolgendo i quadrati e portando tutti i termini a primo membro otteniamo, dopo semplici calcoli, l'equazione generale della circonferenza in "forma canonica" (dal greco kánon = modello):

x² + y² + ax + by + c = 0

dove a, b, c sono numeri reali e sono legati alle coordinate del centro C e alla lunghezza del raggio r dalle relazioni:

- coordinate del centro C (-a/2, -b/2)

- lunghezza del raggio r = √[(a/2)² + (b/2)² - c]

Poiché la lunghezza del raggio di una circonferenza deve essere un numero reale positivo segue che il radicando, cioè l'espressione che sta sotto il segno di radice nella relazione che dà il raggio, deve essere positivo ovvero:

(a/2)² + (b/2)² - c > 0

e quindi

(a/2)² + (b/2)² > c

Se (a/2)² + (b/2)² = c la circonferenza degenera in un punto, cioè il suo raggio vale 0, mentre se (a/2)² + (b/2)² c allora la circonferenza non esiste nel campo reale e si chiama "circonferenza immaginaria" che non può essere rappresentata nel piano cartesiano usuale.
Fig. 10

Una circonferenza che ha il centro nell'origine degli assi coordinati nell'equazione ha a = 0 e b = 0 (circonferenza 1 in figura 11) mentre una circonferenza che passa per l'origine ha sempre c = 0 nella sua equazione (circonferenza 2 in figura 11); se il centro della circonferenza giace sull'asse delle y, allora nella sua equazione il termine a è nullo (circonferenza 2 in figura 11), mentre se il centro giace sull'asse delle X allora è nullo il termine b (circonferenza 3 in figura 11).
Fig. 11

Poiché nell'equazione canonica della circonferenza ci sono tre quantità indeterminate, cioè a, b e c, ne segue che per determinare univocamente l'equazione di una circonferenza sono necessarie tre condizioni: si conoscono tre punti della circonferenza oppure si conoscono le coordinate del centro (due condizioni) e un punto della circonferenza oppure si conosce il raggio (due condizioni) e un punto della circonferenza. Se, per esempio, sono dati tre punti A (1, 1), B (2, 5) e C (3, 0) per determinare l'equazione della circonferenza (se esiste) passante per i tre punti dati si sostituiscono le coordinate dei punti al posto delle x e y nell'equazione generale della circonferenza x² + y² + ax + by + c = 0:

passaggio per il punto A (1, 1) si ottiene 1 + 1 + a + b + c = 0

passaggio per il punto B (2, 5) si ottiene 4 + 25 + 2a + 5b + c = 0

passaggio per il punto C (3, 0) si ottiene 9 + 3a + c = 0

risolvendo il sistema formato da queste tre equazioni nelle tre incognite a, b e c si ottiene:

a = -55/9; b = -47/9; c = -26/9

e l'equazione della circonferenza è:

x² + y² -55/9 x -47/9 y -26/9 = 0

il cui centro ha coordinate:

O (55/18, 47/18) (il centro è stato indicato con la lettera O per non confonderlo col punto C)

e il raggio è lungo:

r = √3085/162 cioè circa 4, 36.

Data una circonferenza e una retta possono verificarsi una e una sola delle seguenti tre situazioni (figura 12):
1. la retta non interseca mai la circonferenza
2. la retta interseca la circonferenza in due punti distinti A e B
3. la retta interseca la circonferenza in due punti coincidenti T, ovvero la retta è tangente alla circonferenza nel punto T.
Fig. 12

Per determinare i punti di intersezione (se esistono) si procede nel seguente modo: si mette a sistema l'equazione della circonferenza e l'equazione della retta, che nel caso generale è:

x² + y² + ax + by + c = 0
y = mx + q

Risolvendo il sistema per sostituzione otteniamo:

x² + (mx + q)² + ax + b(mx + q) + c = 0

sviluppando il quadrato del binomio e facendo i prodotti abbiamo

x² + m²x² + q² + 2mqx + ax + mbx +bq +c = 0

e raccogliendo i termini comuni si ottiene:

(1 + m²)x² + (2mq + mb +a)x + q² + bq + c = 0

che è una equazione di 2° grado algebrica nell'incognita x. Come è noto, data un'equazione di 2° grado in una incognita le soluzioni possono essere:
1. due soluzioni reali distinte, se il discriminante dell'equazione è positivo
2. due soluzioni reali coincidenti se il discriminante dell'equazione è nullo
3. nessuna soluzione reale se il discriminante dell'equazione è negativo.
Il primo caso sarà quello di una retta che interseca la circonferenza in due punti A e B distinti; il secondo caso invece è quello in cui la retta è tangente alla circonferenza, ovvero la interseca in due punti coincidenti; il terzo caso invece è quello in cui la retta non interseca mai la circonferenza.
Risolvendo l'equazione si avranno le coordinate x dei punti che sostituite nell'equazione della retta daranno le coordinate y.

LA PARABOLA

Una parabola è "il luogo dei punti equidistanti da un punto fisso detto fuoco e una retta fissa detta direttrice". Con riferimento alla figura 13 il punto P appartiene alla parabola se, e solo se, la distanza PF, dove F è il fuoco della parabola, è uguale alla distanza PH dove H è la proiezione di P sulla direttrice.
Fig. 13
La parabola è una curva simmetrica rispetto a una retta che prende il nome di "asse" e, contrariamente alla circonferenza e all'ellisse, non è una curva chiusa; i suoi rami si estendono all'infinito. L'equazione canonica della parabola è:

y = ax² + bx + c

se a è positivo allora la concavità della parabola è rivolta verso l'alto, mentre se a è negativo la concavità è rivolta verso il basso. Nel caso di una parabola con concavità rivolta verso l'alto, il punto di minimo, ovvero il punto della parabola che ha coordinata x più piccola prende il nome di "vertice" della parabola; nel caso che la concavità della parabola sia rivolta verso il basso, il vertice è il punto di massimo, ovvero il punto che ha coordinata x massima, della parabola.
Parabole con concavità verso l'alto e verso il basso
Variazione dell'apertura della parabola al variare di a

Dall'equazione canonica della parabola è possibile determinare le coordinate del vertice:
la coordinata x del vertice è -b/2a
la coordinata y del vertice è (4ac - b²)/4a.
Per quanto riguarda il fuoco della parabola abbiamo:
la coordinata x del fuoco è -b/2a (la stessa del vertice poiché il fuoco e il vertice stanno sull'asse che è una retta parallela all'asse Y)
la coordinata y del fuoco è (1 + 4ac - b²)/4a
l'equazione dell'asse è x = -b/2a mentre
l'equazione della direttrice è y = (-1 + 4ac - b²)/4a

Data una parabola e una retta possono avvenire i seguenti casi (vedi figura 16):
1. la retta non interseca mai la parabola
2. la retta interseca la parabola in due punti distinti A e B
3. la retta interseca la parabola in due punti coincidenti T, ovvero la retta è tangente alla parabola in T
4. la retta interseca la parabola in un punto P; allora la retta è parallela all'asse delle Y cioè parallela all'asse della parabola.
Fig. 16

Analogamente per quanto fatto nel caso della circonferenza, per trovare i punti di intersezione si deve mettere a sistema l'equazione della parabola con l'equazione della retta e studiare il discriminante dell'equazione algebrica di secondo grado risultante

y= ax² + bx + c
y = mx + q

risolvendo il sistema per sostituzione otteniamo:

ax² + bx + c -mx - q = 0

e raccogliendo i termini comuni abbiamo:

ax² + (b-m)x +c -q = 0

Se il discriminante di questa equazione algebrica è positivo allora la retta è secante alla parabola in due punti distinti; se il discriminante è negativo la retta non interseca la parabola, mentre se il discriminante è nullo la retta è tangente alla parabola. Se la retta è parallela all'asse delle y, cioè parallela all'asse della parabola, l'equazione della retta è:

x = k

e quindi messa a sistema con l'equazione della parabola

y = ax² + bx + c

e sostituendo k al posto di x si ottiene:

y = ak² + bk + c

che è la coordinata y del punto di intersezione (la coordinata x del punto di intersezione e chiaramente k). Per determinare univocamente l'equazione di una parabola sono necessari tre punti non allineati, altrimenti la parabola degenera in una retta; un punto e le coordinate del vertice; le coordinate del fuoco e le coordinate del vertice; le coordinate del fuoco e l'equazione della direttrice.
La parabola è una curva molto importante per la fisica in quanto la traiettoria seguita da un proiettile sparato con una inclinazione rispetto al suolo diversa da 90° è una parabola.

L'ELLISSE

L'ellisse è "il luogo dei punti la cui somma delle distanze da due punti dati detti fuochi è costante". Con riferimento alla figura 17 il punto P appartiene all'ellisse se, e solo se, la distanza di del punto P dal fuoco F1 più la distanza del punto P dal fuoco F2 è costante cioè: PF1 PF2 = k
Fig. 17 L'ellisse

Se il punto P che appartiene all'ellisse ha coordinate generiche x e y allora si può ricavare l'equazione dell'ellisse in forma canonica, nel caso che i due fuochi giacciano sull'asse X oppure sull'asse Y, essa è:

                            x²     y²
                           ---- + ---- = 1
                            a²     b²

dove a è la misura del semiasse dell'ellisse che giace sull'asse X, cioè 2a = AB, mentre b è la misura del semiasse dell'ellisse che giace sull'asse Y; 2b = CD.
Poiché a e b sono misure di segmenti allora sia a che b devono essere positivi e se a è maggiore di b allora l'ellisse ha l'asse maggiore, chiamato anche asse focale perché su di esso giacciono i fuochi, sull'asse delle x, mentre se a è minore di b allora l'asse maggiore giace sull'asse delle y. Se a = b l'ellisse diventa una circonferenza con centro nell'origine e raggio r = a = b. Una circonferenza infatti può essere considerata come un'ellisse con i fuochi coincidenti. In figura 18 abbiamo due ellissi nelle quali una ha CO = OD = a e AO = OB = b e quindi ab e l'ellisse è orientata in direzione verticale; nell'altra abbiamo AO = OB' = a e C'O = OD' = b dunque a>b e l'ellisse è orientata in direzione orizzontale.
Fig. 18
Ellissi la cui distanza fra i fuochi diminuisce fino ad annullarsi

Le coordinate dei fuochi sono date dalle seguenti relazioni:
per a>b (quindi i fuochi sono sull'asse X) F1 ha coordinate (-c, 0) e F2 ha coordinate (c, 0) dove c = √[a² - b²]
per ab (quindi i fuochi sono sull'asse Y) F1 ha coordinate (0, -c) e F2 ha coordinate (0, c) dove c = √[b² - a²]
Data un'ellisse e una retta, analogamente a quanto succede per la circonferenza, la retta, in relazione al valore del discriminante - positivo, negativo o nullo - del sistema retta-ellisse, può avere due punti distinti di intersezione, due punti coincidenti di intersezione oppure nessun punto di intersezione. Per determinare univocamente l'equazione di una ellisse è necessario conoscere un punto dell'ellisse e un suo fuoco. L'ellisse è una curva molto importante nella fisica e soprattutto nell'astronomia infatti, come ha dimostrato Johannes Keplero nel 1609, le orbite di tutti i pianeti intorno al Sole sono ellissi in cui il sole occupa uno dei fuochi. Poiché i due fuochi non coincidono, altrimenti sarebbe una circonferenza e non un'ellisse, la Terra per esempio avrà una posizione di massimo avvicinamento al Sole (afelio) e una posizione di massimo allontanamento (perielio).

L'IPERBOLE

L'iperbole viene definita come "il luogo dei punti la cui differenza fra le distanze da due punti dati detti fuochi è costante". Con riferimento alla figura 20, i punti che appartengono all'iperbole sono tutti quei punti per i quali:

x PF1 - PF2 x = k

dove k è una costante.L'iperbole è formata da due rami; se l'asse focale è l'asse delle X allora l'equazione canonica dell'iperbole è:

                           x²    y²
                          --- - ---- = 1
                           a²    b²

e le coordinate dei fuochi sono F1(-c, 0) e F2 (c, 0) dove c = √(a² + b²). L'iperbole ha due asintoti le cui equazioni sono:

y = b/a x e y = -b/a x

Fig. 20
Un asintoto a una curva è una retta verso cui la curva si avvicina sempre di più senza mai intersecarla. Prendiamo per esempio la curva di equazione:

                              1
                         y = ---
                              x

(la curva è una iperbole equilatera ottenuta facendo ruotare di 45° l'asse focale).
Se diamo alla x valori sempre più grandi, ovvero se ci spostiamo verso destra lungo l'asse delle X (vedi figura 21), il valore della coordinata y diventa sempre più vicino a zero ma non diventerà "mai" zero per quanto grande diventi il valore di x. Si pensi infatti di dare alla x i valori 1.000, 100.000, 1.000.000, 1.000.000.000, ecc. Otterremo valori di y corrispondenti pari a un millesimo, un centomillesimo, un milionesimo, un miliardesimo, ecc., sempre più piccoli ma mai 0. La retta y = 0 allora è un asintoto della curva.
Fig. 21

Se nell'equazione canonica dell'iperbole abbiamo che " a " è uguale a " b " allora le equazioni dei due asintoti diventano:

y = x e y = - x

cioè i due asintoti sono perpendicolari fra di loro poiché il prodotto dei coefficienti angolari è - 1; in questo caso l'iperbole prende il nome di iperbole equilatera.
Iperbole equilatera.

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