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UGUAGLIANZA

Il concetto di uguaglianza matematica consiste nella formalizzazione rigorosa di quello che comunemente si intende per uguaglianza anche al di fuori del contesto matematico (questo è, in realtà, quello che succede ogni qualvolta un concetto comune viene nuovamente specificato nell'ambito della matematica). Conseguentemente una uguaglianza matematica si caratterizza per la sua assolutezza, nel senso che, a differenza di quanto può accadere in altri ambiti, essa non ammette tolleranza, ossia è perfettamente esatta. In altri termini una uguaglianza si può definire matematica soltanto quando i due termini dell'uguaglianza stessa, cioè quello che, graficamente, si trova prima e dopo il segno di uguale, sono identici.
Questa definizione, per quanto semplice, ha delle conseguenze notevoli che sono di enorme aiuto per la risoluzione delle equazioni; infatti tutte le regole mnemoniche fondamentali che si adottano nella risoluzione delle equazioni di qualsiasi tipo, sono basate sul concetto di uguaglianza.
Ad esempio la nota regola in base alla quale per trasportare un termine da un membro all'altro dell'equazione è necessario cambiarne il segno, è un effetto del concetto di uguaglianza: difatti, nella generica equazione

ax + b = c

se si vuole trasportare b dal primo al secondo membro, basta agire in modo da conservare l'uguaglianza, e cioè basta effettuare su ciascun membro esattamente la stessa operazione. Dal momento che per far, per così dire, scomparire b dal primo membro è necessario sommarvi il suo opposto − b, e dovendosi operare in maniera identica su entrambi i membri per conservare l'uguaglianza, ne segue:

ax + b − b = c − b

ovvero
ax = c − b

che non è altro che il risultato che si ha applicando la regola mnemonica di cui sopra.
È facile mostrare che, sfruttando il principio di conservazione dell'uguaglianza tra due membri di un'equazione, si può spiegare ciascuna delle regole comunemente utilizzate per la loro risoluzione, esplicitandone i passaggi che, grazie alla applicazione della regola, sono di solito omessi allo scopo di velocizzare le operazioni di calcolo.

UGUALE

L'uguale è un comune segno tipografico di tipo matematico, probabilmente uno dei più antichi; la sua immagine è costituita da due lineette orizzontali parallele, simili a due meno posti l'uno sull'altro. Il termine uguale viene dal latino æqualis, e, che significa per l'appunto uguale, oppure pianeggiante; questo vocabolo deriva a sua volta da un'altra parola latina, æquus, i, nel significato di piano, liscio: è proprio a causa di questa etimologia che, spesso, il simbolo = si legge anche eguale.
L'uguale è un simbolo molto adoperato in matematica, e serve ad indicare che due o più entità numeriche o geometriche sono tra loro completamente identiche, indifferenti; lo si vede comparire spesso nelle equazioni, che possono essere di vario grado:



UNIONE

L'unione è un'operazione effettuata tra due insiemi, e viene indicata con ; se E e F sono due insiemi dati, (si legge “E unione F”) è un insieme i cui elementi appartengono all'uno o all'altro dei due insiemi dati.

UNITÀ

In senso corrente, un'unità è una scelta di una quantità che vale “uno”, destinata a valutare tutte le quantità della stessa natura.
Se si tratta di una quantità discreta, un'unità elementare si impone da sé, indivisibile, corrispondente a un vero 1, le altre unità si ottengono allora mediante multipli di questa unità elementare; se la quantità è continua, non c'è un'unità elementare, la scelta di un'unità è teroicamente arbitraria, am si trova molto presto sottomessa a esigenze sia teoriche che pratiche.
Quando le unità della stessa natura sono organizzate in sistemi, esse procedono per moltiplicazione o divisione, sempre per lo stesso numero, di un'unità di base.

UNITARIO


Un vettore è unitario se la sua lunghezza è l'unità di lunghezza, in altri termini se ha per norma 1.

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