Dizionario di matematica e geometria iniziale R

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Dizionario di matematica e geometria iniziale R

     













Dizionario di matematica e geometria iniziale R

R

RADIANTE

Il radiante (simbolo rad) è l'unità di misura degli angoli del Sistema Internazionale (più precisamente si tratta di una unità SI derivata). Misurare un angolo in radianti equivale a misurare la lunghezza di un arco di circonferenza, spazzato dall'angolo medesimo, e dividerlo per il raggio. Questa unità è usata in particolare nel Calcolo infinitesimale, in trigonometria e in goniometria.

Definizione

Si prenda una circonferenza con centro nel vertice dell'angolo e il suo arco intercettato dalle due semirette che formano l'angolo. Chiameremo Trapani la lunghezza di tale arco, Trapani quella del raggio, Trapani quella della circonferenza e α l'ampiezza dell'angolo descritto dall'arco.
Ricordandosi che la misura della lunghezza della circonferenza è c = 2 π r, si può scrivere la seguente proporzione:

Trapani

Trapani risulta funzione di Trapani, Trapani, ovvero

Trapani

da cui

Trapani

Definiamo come radiante l'ampiezza dell'arco di circonferenza che, rettificato, sia uguale al raggio della circonferenza stessa. In parole povere un radiante è l'angolo che si ha in corrispondenza di un arco di lunghezza pari al raggio della circonferenza.
Dunque, ponendo Trapani, dalla si ottiene:

Trapani

Esprimiamo ora un angolo giro in radianti:

Trapani

Con la seguente proporzione si ottengono le formule per passare da radianti a gradi sessagesimali e viceversa:

Trapani

Infine, dalla proporzione Trapani si ottiene:

Trapani

Osservando la formula sopra si evince che il radiante è un numero puro, ossia è adimensionale, dato che esprime il rapporto fra due lunghezze.

Infatti: Trapani

Motivazione

A prima vista un radiante è un angolo strano. Esso però consente di avere formule trigonometriche molto più semplici di quelle che si avrebbero adottando come unità di misura per gli angoli i gradi sessagesimali o altre unità. Sostanzialmente i vantaggi dei radianti derivano dal fatto che con tale unità si ottiene la semplice espressione

Trapani

e da questa si ottengono molte altre eleganti identità del calcolo infinitesimale che hanno importanti conseguenze pratiche. Tra queste

Trapani

Se si misurassero gli angoli in gradi o in altre unità di misura, le formule come le precedenti dovrebbero essere infarcite di costanti di conversione e da loro potenze.

Tabelle di conversione

Un angolo giro misura quindi 2 π rad, un angolo piatto π rad ed un angolo retto π/2 rad.

gradi
radianti

0
0

15
1/12 π

30
1/6 π

45
1/4 π

60
1/3 π

90
1/2 π

120
2/3 π

135
3/4 π

150
5/6 π

gradi
radianti

180
π

210
7/6 π

225
5/4 π

240
4/3 π

270
3/2 π

300
5/3 π

315
7/4 π

330
11/6 π

360



1 rad = 57.29577 95131 gradi = 3437.74677 07849 minuti = 206264.80625 secondi
1 grado = 0.01745 32925 19943 rad;
1 minuto = 0.00029 08882 08666 rad
1 secondo = 0.00000 48481 36811 rad

RADICALE

In matematica, la radice n-esima o radicale di un numero reale a, scritto come Trapani, è un numero reale b tale che bn = a. Vedi radice quadrata per il caso dove n = 2.

Scrittura

Trapani

Che corrisponde a:

Trapani

Esempio:
Trapani

Trivia

Si tenga presente che:
se la radice ha indice pari, il radicando deve essere maggiore o uguale di zero.
se la radice ha indice dispari il radicando può essere qualsiasi.

Esempi, sono calcolabili i seguenti radicali:

Trapani
Non hanno significato in campo reale:

Trapani

Operazioni fondamentali

Le operazioni con i radicali sono dati dalle seguenti formule:
Trapani
dove a e b sono numeri positivi.
Per ogni numero complesso a diverso da zero, ci sono n diversi numeri complessi b tali che bn = a, quindi il simbolo Trapani non può essere usato univocamente. Se a = 1, parliamo di radici n-esime dell'unità.

Lavorando con gli esponenti

Nelle elaborazioni di espressioni e formule algebriche, è spesso utile manipolare i radicali usando le relazioni scritte sopra, senza tentare di calcolare il valore di ogni singolo elemento. Ad esempio, se a e b sono due numeri positivi distinti:

Trapani

L'ultima relazione può servire per razionalizzare il denominatore di un'espressione.

RADICE

In matematica, una radice (o uno zero) di una funzione f è un elemento x nel dominio di f tale che la sua immagine f(x) è uguale a zero.
Questa definizione è molto importante in algebra quando f è un polinomio. Si dice quindi che un numero x è la radice n-esima di un altro numero a se x è una radice del polinomio xn − a, cioè se xn = a. Parliamo quindi per n = 2,3,... di radice quadrata, cubica, etc.
I numeri complessi sono stati introdotti essenzialmente per garantire l'esistenza di radici per tutti i polinomi.
Tra i casi non polinomiali più studiati, l'ipotesi di Riemann è una famosa congettura riguardante gli zeri della funzione zeta di Riemann.
Trapani Radice cubica

Radice di una funzione

Sia Trapani una funzione fra due insiemi, tale che Y contiene un elemento "zero". Ad esempio, Y può essere l'insieme dei numeri reali, interi, o un qualsiasi altro gruppo. Un elemento x in X è una radice di f se

f(x) = 0,

in altre parole, se l'immagine di x tramite f è zero.

Radice n-esima

Dati due numeri x e a in un campo (ad esempio quello dei numeri reali o complessi), si dice che x è radice n-esima di a se x è una radice della funzione

f(x) = xn − a

In altre parole, x è radice n-esima di a se vale xn = a. Lo stesso numero a può avere più radici (ad esempio +1 e -1 sono entrambe radici quadrate di a = 1) o non averne nessuna (ad esempio a = -1 non ha radici quadrate fra i numeri reali).

Esempi

Denotiamo con R l'insieme dei numeri reali. Si consideri la funzione polinomiale Trapani data da:
Trapani
Il numero 3 è radice di f, perchéTrapani. Più in generale, le radici di una funzione Trapani sono i punti in cui il grafico di f interseca l'asse x. Tra queste, la funzione esponenziale non ha radici, mentre la funzione seno ne ha infinite.

Radici di polinomi reali

Formule risolutive

Un polinomio reale è una particolare funzione Trapani. Lo studio delle radici di un dato p è stato sempre centrale nello sviluppo della matematica. Trovare le radici di p equivale a risolvere l'equazione p(x) = 0, il cui grado è pari al grado di p. Esistono delle formule esplicite per la risoluzione delle equazioni di primo, secondo, terzo e quarto grado, mentre un teorema di Evariste Galois asserisce che non esistono formule analoghe per equazioni di grado maggiore al quarto.

Numero di radici

Usando il teorema di Ruffini si dimostra facilmente per induzione che un polinomio p(x) di grado n ha al più n radici, nel modo seguente:
  • se n = 1 otteniamo una equazione di primo grado, che ha sempre una sola soluzione;
  • per n > 1: se a è una radice di p, allora il teorema di Ruffini asserisce che p(x) = (x - a)q(x), dove q è un altro polinomio di grado n-1. Per l'ipotesi induttiva q ha al più n-1 radici distinte. D'altra parte, se p(x) = 0 allora (x - a) = 0 oppure q(x) = 0: quindi una radice di p è a oppure è radice di q. Quindi p ha al più n radici.
Sempre usando il teorema di Ruffini, si vede che p ha n radici se e solo se possiamo scrivere

Trapani

dove Trapani sono numeri reali distinti (le radici di p).

Proprietà generali

Un polinomio di grado dispari ha sempre una radice reale, mentre esistono polinomi di grado pari (arbitrariamente alto) che non ne hanno. In particolare:
  • un polinomio di primo grado ha sempre una radice;
  • un polinomio di secondo grado ha due radici se il discriminante è strettamente positivo, una se è nullo, nessuna se è negativo;
  • un polinomio di terzo grado ha 1, 2 o 3 radici.

Polinomi e radici complesse

Un polinomio reale può non avere radici: ad esempio Trapani non ne ha, perché Trapani per ogni x. Per questo motivo sono stati introdotti i numeri complessi, che soddisfano molte proprietà mancanti ai numeri reali. Visto nel campo dei numeri complessi, lo stesso polinomio Trapani ha due radici, +i e -i.
Il teorema fondamentale dell'algebra asserisce infatti che un qualsiasi polinomio p a coefficienti reali o più generalmente complessi ha una radice. Usando il teorema di Ruffini come sopra, si dimostra come conseguenza che p si può sempre scrivere come

Trapani
dove Trapani sono numeri complessi non necessariamente distinti.

Molteplicità di una radice

Si definisce la molteplicità di una radice a di un polinomio p(x) come il numero naturale n tale che

p(x) = (x − a)nq(x)

dove q(a) è diverso da zero. In altre parole, per il teorema di Ruffini, n è il numero di volte in cui possiamo dividere p per (x - a).

Se il polinomio p si "spezza" come

Trapani

allora la molteplicità di a è il numero di volte che compare fra i vari Trapani. La molteplicità è però definita in generale, anche nel caso in cui il polinomio non si spezza, perché siamo nel campo dei numeri reali, o semplicemente perché non riusciamo a farlo: ad esempio si vede subito che il polinomio

Trapani

ha la radice zero con molteplicità 2, infatti
Trapani
e 0 non è radice di q.

RADICE QUADRATA

Le radici quadrate traggono la loro origine dal problema di trovare il lato di un quadrato di area nota; se quest'area è di 36, 25, 49 o 9 unità quadrate, è facile rispondere e, se si conoscono le tabelline di moltiplicazione, si trova senza calcolatrice che il lato è di 6, 5, 7 o 3 unità di lunghezza, poiché:


Trapani

Trapani

Ci sono, dunque, radici quadrate facili, ovvero quelle dei numeri quadrati; si dirà, allora, che la radice quadrata di 36 è 6, quella di 25 è 5, quella di 49 è 7, quella di 9 è 3, e si scriverà:

Trapani

Le cose si complicano quando si pone la questione per i numeri diversi da quelli appena visti (che sono immediatamente riconoscibili come quadrati).
Trapani Definizione ed estrazione di radice quadrata
Trapani Radice quadrata di un numero razionale

Ricerca aritmetica di una radice quadrata

Quando si cerca un numero che, moltiplicato per se stesso, sia uguale a 2, si dice che deve essere compreso fra 1 e 2, poiché "1 per 1 fa 1" e "2 per 2 fa 4". Provando con 1,5 si trova

Trapani

che nettamente maggiore di 2. Occorre, allora, fare altri tentativi, economizzando se possibile, cioè lavorando con metodo. Osservando che il numero che si cerca, se esiste, deve trovarsi fra 1 e 1,5, più vicino a 1,5 che a 1, e calcolando

Trapani

si trova subito una gabbia conveniente. Il numero cercato, che si può scrivere con r, non può che trovarsi fra 1,4 e 1,5, ossia essere tale che:

Trapani

Non si deve fare altro che ricominciare; prendendo in considerazione il numero medio dell'intervallo, che questa volta scriviamo in centesimi, ossia

Trapani

si prova con Trapani
Chiaramente, si è andati oltre il numero cercato, che sembra più prossimo a 1,40 che a 1,45; le prove con Trapani confermano che r sta fra 1,41 e 1,42, poiché:

Trapani

Dunque:

1,41 < r < 1,42

Messa da parte la soddisfazione di trovare, con lo stesso metodo, numeri i cui quadrati si avvicinano sempre più a 2, per esempio

Trapani,

che differisce di meno di un millesimo per difetto, o

Trapani,

che differisce di meno di tre millesimi per eccesso ecc., non si può fare a meno di essere presi da un certo sconforto. L'impresa è, in effetti, destinata al fallimento già in partenza, poiché moltiplicando un "numero con la virgola", cioè un numero scritto in forma decimale, per se stesso, si trova ancora un numero in forma decimale, che non sarà mai 2; a meno che non si prosegua la scrittura all'infinito, nel qual caso non si avrebbe più un decimale finito. Giunti a questo punto, si potrebbe pensare che questo numero non esista, e che sia necessario, in ogni caso, abbandonare la ricerca aritmetica e procede in un altro modo.

Ricerca geometrica di una radice quadrata

Il problema consiste, questa volta, nel domandarsi se esiste un quadrato avente area pari a 2 unità quadrate.
Esistono numeri, scoperti attraverso la geometria, i cui quadrati sono numeri interi. Supponiamo che il numero naturale n misuri l'area di un quadrato, il numero che misura il suo lato, e che dunque al quadrato è uguale a n, è detto "la sua radice quadrata" e si scrive Trapani.
L'espressione Trapani viene detta radicale quadratico o semplicemente radicale.
Il calcolo di Trapani talvolta ha esito positivo, talvolta no; quando non riesce, si ha a che fare con nuovi numeri, che non sono razionali, e che per questo si chiamano irrazionali.
Quando una radice quadrata è irrazionale, non si può dire esattamente quanto essa valga, se non a partire dal suo quadrato, n, ossia:

Trapani

RAGGIO

Secondo la definizione classica della geometria, il raggio di un cerchio o di una sfera è un segmento di retta avente un estremo sulla circonferenza o superficie sferica, e l'altro estremo nel centro della figura.

Trapani

Per estensione si definisce raggio di un cerchio o di una sfera anche la lunghezza di un tale segmento. Il raggio è la metà del diametro.
Più generalmente - in geometria, ingegneria, teoria dei grafi, e in molti altri settori - il raggio di qualcosa (per esempio di un cilindro, di un grafo, o di un componente meccanico) è la distanza dei sui punti più esterni dal centro o asse.
La definizione di raggio data per i cerchi e per le sfere si lascia estendere naturalmente al caso di iperspazi con più di tre dimensioni. Generalmente, un segmento che congiunge un punto di un'ipersfera al suo centro è un raggio dell'ipersfera.
In una spirale il raggio è una funzione dell'angolo. Tutte le circonferenze sono assimilabili a spirali con raggio costante.

RAPPORTO

In algebra e in fisica il rapporto fra due grandezze corrisponde al risultato della loro divisione esatta, vale a dire senza resto. L'espressione a:b è detta rapporto fra (oppure di) a e b e può essere scritta come a/b o Trapani. Le grandezze prese in considerazione sono generalmente di tipo numerico, e non devono necessariamente essere omogenee (come nel caso della somma o della differenza). Per esempio, nella meccanica classica la velocità è espressa dal rapporto fra spazio e tempo.
Nel caso di grandezze non numeriche quali vettori o funzioni si preferisce parlare in modo più generale di quoziente.
L'uguaglianza di due rapporti è detta proporzione. L'espressione a:b = c:d si legge «a sta a b come c sta a d».
Il termine rapporto è utilizzato talora anche per indicare una relazione generica fra grandezze non combinate in una divisione. Così il teorema di Pitagora stabilisce un rapporto fra cateti e ipotenusa.

RAZIONALE, NUMERO

In matematica, un numero razionale è un numero reale ottenibile come rapporto tra due numeri interi, il secondo dei quali diverso da 0. Ogni numero razionale quindi può essere espresso mediante una frazione. Storicamente, i numeri razionali sono stati introdotti prima dei numeri reali, per permettere l'operazione di divisione fra numeri interi. I numeri razionali formano un campo, indicato con Q oppureTrapani.
Trapani Definizione di numeri razionali

Operazioni

La somma ed il prodotto di due numeri razionali vengono calcolati nel modo seguente.

Trapani

Ne segue che l'inverso per la somma e la moltiplicazione vengono calcolati così:

Trapani
Trapani Operazioni con i numeri razionali: Somma e sottrazione
Trapani Operazioni con i numeri razionali: Divisione

Descrizioni diverse dello stesso numero

Un numero razionale può essere descritto come frazione in modi diversi: le frazioni Trapani rappresentano lo stesso numero razionale se e solo se ad = bc. In effetti si ottiene

Trapani

moltiplicando entrambi i membri per bd.
Ogni numero razionale è rappresentato da un'unica frazione Trapani ridotta ai minimi termini, cioè tale che il massimo comune divisore tra a e b sia un'unità, e b sia positivo.
Due frazioni che individuano lo stesso numero razionale sono dette equivalenti.
Evidentemente, per ogni intero k diverso da zero le frazioni Trapani sono equivalenti: quindi ogni numero razionale può essere espresso da infinite frazioni. Ad esempio 3/6 = 2/4 = 1/2.

Scrittura decimale

Come tutti i numeri reali, i numeri razionali possono essere rappresentati tramite il sistema numerico decimale. Lo sviluppo decimale dei numeri razionali ha la particolarità di essere periodico: un numero reale è razionale se e solo se nella sua scrittura esiste una sequenza finita di cifre (detta periodo) che si ripete all'infinito, da un certo punto in poi dopo la virgola.

Ad esempio:
1/3 = 0,3 = 0,333... (si ripete il periodo "3" all'infinito)
50/41 = 1,21951 = 1,21951 21951 21951...
3/4 = 0,750 = 0,750 00... = 0,75
1 = 1,0 = 1,000 00...
Un numero razionale può essere descritto quindi sottolineando il periodo, come in questi esempi.

Numeri irrazionali

Un numero reale che non è razionale è detto irrazionale. Un numero irrazionale quindi non è rappresentabile in forma decimale periodica. Ad esempio, il numero
0,12 122 1222 12222... (dove la sequenza di "2" è sempre più lunga)
è irrazionale. Altri numeri irrazionali importanti in matematica sono √2 e pi greco.

Struttura algebrica

Munito di somma e prodotto, l'insieme Trapani ha la struttura algebrica di un campo. Gli elementi neutri per la somma ed il prodotto sono rispettivamente 0 ed 1.
Molti oggetti matematici, come i polinomi o gli spazi vettoriali, nella loro definizione fanno riferimento ad un campo. L'aggettivo "razionale" attribuito ad uno di questi oggetti è spesso usato per specificare che il campo scelto è quello dei numeri razionali. Per esempio si dice polinomio razionale ogni polinomio i cui coefficienti sono solo numeri razionali.

Costruzione formale

Da un punto di vista formale, i numeri razionali vengono definiti a partire dai numeri interi nel modo seguente. I numeri razionali sono una classe di equivalenza di coppie ordinate di numeri interi (a,b), con b diverso da zero. La relazione di equivalenza è la seguente

Trapani

La somma ed il prodotto di questi elementi è quindi definita nel modo seguente:

Trapani

Si verifica che entrambe le operazioni sono compatibili con la relazione di equivalenza. L'insieme quoziente di questa relazione è quindi Q.
Possiamo definire anche un ordine totale su Q nel modo seguente:

Trapani

Proprietà

  • L'insieme Q è numerabile.
  • I numeri razionali Q sono un campo.
  • La chiusura algebrica di Q è formata dai numeri algebrici.
  • L'insieme Q è denso nell'insieme R dei numeri reali, ma ha misura di Lebesgue nulla, perché numerabile.

REALE, NUMERO

In matematica, i numeri reali possono essere introdotti informalmente come tutti i numeri che possono essere utilizzati per misurare grandezze fisiche come lunghezza, peso, temperatura, etc. Sono numeri positivi, negativi o nulli, aventi uno sviluppo decimale finito o infinito. In altre parole, sono i numeri razionali (che possono essere scritti come frazioni) completati dai numeri la cui rappresentazione decimale è infinita e non periodica, come la radice quadrata di 2 e π. Questi ultimi sono chiamati numeri irrazionali.
Trapani
[Rappresentazione della retta reale]
I numeri reali sono in corrispondenza biunivoca con i punti di una retta, detta retta numerica o retta reale. I numeri reali si dividono anche in numeri algebrici e numeri trascendenti.

Rappresentazione ed uso dei numeri reali

I numeri reali possono rappresentare qualsiasi grandezza fisica, come il prezzo di un prodotto, la distanza temporale fra due eventi, l'altitudine (positiva o negativa) di un sito geografico, la massa di un atomo o la distanza fra galassie. Gran parte dei numeri reali è usata quotidianamente, ad esempio in economia, informatica, matematica, fisica o ingegneria.
Di fatto, la maggior parte del tempo sono usati solo alcuni sottoinsiemi:
  • i numeri naturali
  • i numeri interi
  • i numeri razionali, che si possono esprimere in forma di frazione
  • i numeri algebrici, che comprendono tutti i numeri esprimibili con operazioni algebriche elementari e radici
  • alcuni numeri molto particolari, che non sono contenuti negli insiemi precedenti, come e e π.
Questi insiemi, benché infiniti, hanno tutti cardinalità numerabile e sono quindi un'infima parte dell'insieme dei numeri reali, che è generalmente indicato con la lettera R o Trapani.

Rappresentazione decimale

Ogni numero reale può essere espresso (almeno in teoria) con la numerazione decimale, come un numero avente un'infinità di cifre dopo la virgola. Vista l'impossibilità di scrivere infinite cifre, il numero viene spesso espresso in modo inesatto nella forma 324,823211247... dove i tre punti esprimono il fatto che ci sono altre cifre. Questo procedimento di approssimazione in realtà consiste nello scrivere un numero razionale molto vicino al numero reale in questione. Più sono le cifre decimali, più il numero razionale è vicino al numero reale che si vuole rappresentare, e maggiore quindi è la precisione dell'approssimazione.

Ad esempio, pi greco può essere approssimato come
3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679...

RECIPROCO

In senso matematico, a proposito dei numeri: "Detto di numero che, moltiplicato per il dato, dà l'unità".

Reciproco di un teorema

Un teorema reciproco è quello che ha come tesi l'ipotesi del teorema diretto, e come ipotesi la sua tesi.

RELATIVI, NUMERI

I numeri relativi sono i numeri il cui significato dipende da un segno, scritto a fianco:
  • +, per i numeri positivi: +3, +0,01, Trapani sono numeri positivi;
  • Trapani, per i numeri negativi: Trapani sono numeri negativi

I numeri relativi sono elementi:
  • dell'insieme Trapani, esattamente gli interi relativi, chiamati semplicemente interi;
  • degli insiemi Trapani, rispettivamente razionali e reali positivi e negativi.

Gli insiemi Trapani sono gli insiemi dei relativi positivi.
Gli insiemi Trapani sono gli insiemi dei relativi negativi.
Se a designa un reale, questo reale relativo può essere sia positivo sia negativo.

I numeri relativi possono essere associati ai punti di una retta provvista di un'origine, di un'unità e di un verso: essi sono le ascisse di questi punti.

Trapani

Due numeri relativi sono detti opposti se sono le ascisse di due punti che sono a uguale distanza dall'origine. Due numeri opposti hanno lo stesso valore assoluto.

L'addizione di due numeri relativi si traduce nella successione di due percorsi, dei quali il primo è effettuato a partire dall'origine, e il secondo a partire dal punto di arrivo del primo.

Trapani
Trapani Definizione di numeri interi relativi

Addizione di numeri relativi

Quando due numeri relativi sono dello stesso segno la loro somma è uguale alla somma dei loro valori assoluti, preceduta dal segno comune.
Quando due numeri relativi sono di segno opposto, la loro somma è uguale alla differenza dei valori assoluti, preceduta dal segno + o Trapani, a seconda che il più grande di questi valori sia quello del numero positivo o negativo.
La somma di due numeri opposti è nulla.
I numeri assoluti possono essere considerati, se è il caso, come numeri positivi; e viceversa.
Trapani Addizione di numeri interi relativi

Estensione del significato predicativo dei segni + e Trapani

  • Il segno Trapani può significare che un numero è negativo: Trapani3 è negativo.
  • Il segno Trapani può significare che un numero è l'opposto di un altro: Trapani( Trapani3) è l'opposto di Trapani3. Trapania è l'opposto di a, ma senza che si sappia se Trapania è positivo o negativo (questo dipende dal numero rappresentato da a).
  • Il segno Trapani davanti a una parentesi contenente un numero o un'espressione algebrica domanda (o ordina) che se ne prenda l'opposto.

  • Il segno + può significare che un numero è positivo: +3 è positivo.
  • Il segno + può essere omesso oppure, al contrario, aggiunto di nuovo se si desidera insistere sul fatto che un risultato è positivo: +3 = 3 ma Trapani5 + 7 = 2.
  • Il segno + davanti a una parentesi contenente un numero o un'espressione algebrica può essere omesso o chiede proprio che si prendano i termini così come sono.

Sottrazione di numeri relativi

Poiché la sottrazione si traduce nella somma degli opposti, è sufficiente, per effettuare una differenza, saper prendere l'opposto di un numero o di un'espressione algebrica.
Trapani Sottrazione di numeri interi relativi

Moltiplicazione e divisione di numeri relativi

Il prodotto o il quoziente di due numeri con lo stesso segno è positivo: "più per più" e "meno per meno" danno "più".
Il prodotto o il quoziente di due numeri di segno opposti è negativo: "più per meno" e "meno per più" danno "meno".
Trapani Prodotto di numeri relativi
Trapani Divisione di numeri relativi
Trapani Elevamento a potenza di numeri relativi

RELATIVO

Quando si studia l'andamento di una funzione, si parla di massimo e minimo relativo laddove ci si riferisca solo a un "pezzetto" del dominio di questa.

RETTA

La retta o linea retta è uno dei tre enti geometrici fondamentali della geometria euclidea. Viene definita da Euclide nei suoi "Elementi" come un concetto primitivo. Un filo di cotone o di spago ben teso tra due punti è un modello materiale che ci può aiutare a capire cosa sia la retta, un ente geometrico immateriale senza spessore e con una sola dimensione. La retta è inoltre illimitata in entrambe le direzioni, cioè è infinita. Viene generalmente contrassegnata con una lettera minuscola dell'alfabeto latino.

TrapaniDefinizioni

Una retta può giacere (cioè essere contenuta) nel piano o nello spazio tridimensionale.
Due rette distinte nel piano possono essere:
  • incidenti se si intersecano;
  • parallele se non si intersecano.
Due rette nello spazio possono essere:
  • complanari se esiste un piano che le contiene entrambe. In questo caso, sono incidenti se si intersecano e parallele altrimenti;
  • sghembe se non sono contenute in un piano comune.

Proprietà

on gli altri enti geometrici fondamentali, quali il punto, il piano e gli angoli, nel modo seguente:
  • Per un punto si possono tracciare un infinito numero di rette.
  • Per due punti passa una sola retta.
  • Per una retta passano infiniti piani.
  • Due rette incidenti in un punto generano angoli opposti uguali.

Retta nel piano cartesiano

Esistono due forme equivalenti per descrivere una retta nel piano cartesiano: la forma cartesiana e la forma parametrica

Forma Cartesiana

Nel piano cartesiano, ogni punto ha due coordinate (x, y), ed una retta può essere scritta in forma implicita come l'insieme dei punti le cui coordinate (x, y) soddisfano una equazione

ax + by + c = 0

dove i coefficienti a, b e c sono dei numeri reali fissati, con a e b non contemporaneamente nulli.
Altrimenti, in forma esplicita come

y = mx + q oppure x = my + q

dove m si chiama coefficiente angolare e rappresenta la pendenza della retta, ovvero la tangente (trigonometrica) dell'angolo che la retta forma con l'asse delle ascisse; il coefficiente q si chiama intercetta od ordinata all'origine e rappresenta il punto di passaggio della retta per l'asse delle ordinate, ovvero l'entità della traslazione della retta dall'origine. Se esso non è presente in una equazione, ovvero è nullo, vuol dire che la retta passa per l'origine. In tal caso la forma esplicita si riduce a:

y = mx oppure x = my

Si tenga presente che, a differenza della forma implicita, ciascuna delle due forme esplicite non descrive tutte le rette possibili: ad esempio le rette parallele all'asse y, come la retta x = 3, non sono descrivibili nella forma y = mx + q, in quanto non si possono ottenere per alcun valore del coefficiente angolare m; per lo stesso motivo le rette parallele all'asse x, come la retta y = − 1, non sono descrivibili nella forma x = my + q.

La retta passante per due punti dati A = (x',y') e B = (x'',y'') del piano è descritta in forma implicita dalla seguente equazione:

(x'' − x')(y − y') − (y'' − y')(x − x') = 0

Forma parametrica

Una retta r in un piano risulta individuata quando si conosce un suo punto Trapani e la direzione, individuata dal vettore Trapani. Con queste informazioni si possono immediatamente scrivere le equazioni parametriche della retta:

Trapani

In tale forma, la retta è dipendente solo dal parametroTrapani. Da notare che per k = 0 si vede subito che la retta passa per il punto Trapani.

Passaggio da forma parametrica a forma cartesiana

Le forme cartesiana e parametrica introdotte in precedenza sono solamente due rappresentazioni differenti della stessa retta. È quindi possibile passare da una forma all'altra nel seguente modo: si elimina il parametro k e si ottiene l'equazione cartesiana

Trapani

Nel caso in cui l oppure m sia nullo, si annulla il membro corrispondente. Se ad esempio l = 0 l'equazione precedente diventa:

Trapani

e quindi la retta corrispondente avrà un equazione del tipo: x = cost come ci si aspettava. Se Trapani si ottiene una descrizione della retta in forma esplicita, riscrivendo l'equazione cartesiana così:

Trapani

Il coefficiente angolare della retta è quindi m / l.

Retta nello spazio euclideo tridimensionale

Nello spazio euclideo tridimensionale, una retta può essere descritta come luogo di intersezione di due piani non paralleli:

Trapani

Retta in uno spazio euclideo n-dimensionale

Nello spazio euclideo n-dimensionaleTrapani, una retta è un insieme dei punti del tipo

Trapani

dove Trapanie Trapanisono due vettori fissati in Trapanicon Trapani diverso da zero. Il vettore Trapani descrive la direzione della retta, mentre Trapani è un qualsiasi punto nella retta. Scelte differenti dei vettori Trapani e Trapani possono descrivere la stessa retta.
Questa definizione di retta nello spazio di dimensione n è una estensione della rappresentazione in forma esplicita nel piano descritta sopra. Descrivere invece una retta in forma implicita come insieme di vettori che soddisfano delle equazioni lineari è invece più complicato, perché per il teorema di Rouché-Capelli sono necessarie n − 1 equazioni.

Condizioni di parallelismo e perpendicolarità

È possibile studiare, e se necessario imporre, le condizioni di parallelismo e perpendicolarità sia con rette scritte in forma cartesiana che in forma parametrica.

Condizioni con rette scritte in forma cartesiana

Trapani
[Rette perpendicolari nel piano cartesiano.]

Consideriamo due rette nel piano, descritte in forma implicita:
ax + by + c = 0
a'x + b'y + c' = 0

Queste due rette sono:
  • parallele Trapani;
  • perpendicolari Trapani.
Scritte in forma implicita rispetto alla stessa variabile:
y = mx + n
y = m'x + n'
sono
  • parallele Trapani;
  • perpendicolari Trapani.

Condizioni con rette scritte in forma parametrica

Consideriamo due rette nel piano, descritte in forma parametrica:

Trapani

Queste due rette sono:
  • parallele Trapani
  • perpendicolari Trapani

Questioni relative alla retta nel piano

Distanza di un punto da una retta

Consideriamo, nel piano, la retta r di equazione ax + by + c ed il punto Trapani. La distanza Trapani della retta r dal punto P, definita come la minima distanza fra P ed un punto sulla retta, è data da:
Trapani
Dimostrazione
La distanza fra P e r è la lunghezza del segmentoTrapani, dove H è il punto di intersezione di r con la retta perpendicolare a r passante per P.
Supponiamo inizialmente che P(0,0) sia l'origine. Tenendo conto della condizione di perpendicolarità, si ottengono le coordinate del punto H risolvendo il sistema:

Trapani

Quindi
Trapani

e la lunghezza del segmento Trapaniè data da:

Trapani

Se Trapanici si riconduce al caso precedente tramite la traslazione degli assi.

Trapani

Nel riferimento (P,X,Y) la retta r è rappresentata dall'equazione: Trapani. Ripercorrendo la dimostrazione precedente si giunge facilmente alla formula che si voleva dimostrare.

RETTANGOLO

In geometria il sostantivo rettangolo denota il quadrilatero con tutti gli angoli interni congruenti (e quindi retti).
Da questa definizione segue che in un rettangolo ciascuna delle due coppie di lati opposti è costituita da lati congruenti; in altre parole i rettangoli sono particolari parallelogrammi. I rettangoli sono anche particolari quadrilateri ciclici: si possono definire come i quadrilateri ciclici aventi come diagonali due diametri del cerchio circoscritto.
Il quadrato è un tipo particolare di rettangolo, caratterizzato dall'avere tutti i quattro lati congruenti. Equivalentemente si dice che l'insieme dei quadrati è l'intersezione dell'insieme dei rettangoli con l'insieme dei rombi.
Trapani
Nel parlare colloquiale per sottolineare che un rettangolo non ha tutti i lati congruenti come un quadrato, si dice che un rettangolo è una figura oblunga. Quando si presenta un rettangolo nel piano cartesiano e questo ha due lati sensibilmente più lunghi degli altri due e disposti orizzontalmente, si parla di rettangolo largo; se invece i lati più lunghi sono disposti verticalmente si parla di rettangolo alto o addirittura di rettangolo sottile. La lunghezza dei due lati opposti più lunghi viene chiamata lunghezza del rettangolo, mentre la lunghezza dei due lati più corti viene chiamata larghezza. Si dice quindi che l'area di un rettangolo è data dal prodotto della sua lunghezza per la sua larghezza ovvero dal prodotto della sua base per la sua altezza. Ad esempio l'area del rettangolo 5 per 4 presentato nella prima figura è 20, in quanto 5 × 4 = 20.
Se invece la base e l'altezza di un rettangolo si indicano rispettivamente con b ed h per la sua area A e per il suo perimetro L si ha
Trapani

RIDURRE

Ridurre allo stesso denominatore

Per effettuare la somma o la differenza di due frazioni, è necessario che esse siano espresse nelle stesse unità. Questa situazione può essere sempre realizzata; operare in tal modo sulle frazioni si dice "ridurre allo stesso denominatore".
Per esempio, per aggiungere 1 mezzo a 1 quinto, bisogna trasformare i due numeri, convertirli entrambi in decimi (è l'unità comune migliore); un mezzo equivale a 5 decimi, e un quinto equivale a 2 decimi, da cui:

Trapani

Ridurre un'espressione numerica o letterale

In questo caso ridurre significa "contare insieme" i termini simili al fine di evitarne la ripetizione, e certi esercizi sono destinati solo a questo.

Per esempio, viene richiesto di ridurre l'espressione:
Trapani

che contiene tre tipi di unità, due che sono letterali, le a e le b, e una che è numerica. Contando insieme le a, ne troviamo 8; ricominciando con le b, ne troviamo 6; contando 5 insieme a -2 e -7, si trova -4. Pertanto l'espressione ridotta risulta:

Trapani

ROMBO

In geometria, un rombo è un quadrilatero con tutti i lati congruenti, e, di conseguenza, paralleli a due a due (è quindi un parallelogramma).
Le due diagonali sono perpendicolari fra loro e si intersecano nel loro punto medio. Ciascuna diagonale divide il rombo in due triangoli isosceli congruenti.

Trapani
Un caso particolare di rombo, avente tutti gli angoli uguali, è il quadrato.
Il perimetro di un rombo misura:
lato × 4

L'area di un rombo misura:

Trapani

ROTAZIONE

In matematica, una rotazione è un particolare movimento rigido di tutto lo spazio, studiato tramite le matrici e l'algebra lineare.
Più precisamente, una rotazione è una particolare trasformazione lineare dello spazio euclideo, che preserva la distanza (cioè è una isometria), che fissa l'origine, e preserva l'orientazione dello spazio.
Tali trasformazioni esistono in uno spazio euclideo avente dimensione n qualsiasi, anche se generalmente si parla di rotazione solo nei casi n = 2 o 3. Una rotazione è modellizzata tramite una particolare matrice quadrata con n righe, detta matrice ortogonale.

Teoria e pratica di una rotazione

Una rotazione piana è una corrispondenza tra i punti del piano; per definire una rotazione occorre fissare:
  • un punto come centro di rotazione;
  • un'ampiezza angolare come ampiezza della rotazione;
  • un verso come verso di rotazione.

RUFFINI, REGOLA DI

Regola che permette di calcolare il quoziente e il resto della divisione di un polinomio in x per il binomio x - a. Vediamo come funziona la regola su un caso pratico, applicandola a un problema di fattorizzazione.

Sia data l'equazione E:

Trapani

che si ottiene uguagliando a 0 il polinomio

Trapani

Sappiamo che possiamo trovare delle soluzioni dell'equazione se troviamo fattori di primo grado del polinomio P(y). Immaginiamo che questo si possa fattorizzare nel prodotto di un polinomio di primo grado e di uno di quarto:

Trapani

Eseguito il prodotto, uguagliamo i termini di ugual grado: dai termini senza y si trova

12 = -ab

In questo caso, ci limitiamo alla ricerca dei valori interi di a: se un tale valore esiste, esso è un divisore di 12, con il segno + o il segno -. Quindi i numeri "candidati" per il valore di a sono +1, -1, +2, -2, ..., +12, -12. D'altra parte, se esiste un tale valore di a, esso annulla P(y) e quindi è una radice di E (e viceversa). Vediamo se qualcuno dei valori +1, ..., -12 è la soluzione dell'equazione E: sostituiamo +2 e otteniamo

Trapani

svolgendo i calcoli si constata che l'uguaglianza è vera, dunque +2 è soluzione di E. Dividiamo il polinomio P per y - 2, utilizzando uno schema in cui scriviamo in una riga i coefficienti di P e, più in basso e un po' a sinistra, 2 (in quanto dobbiamo dividere per y - 2):

Trapani

In una riga più in basso riportiamo il primo coefficiente, 1: moltiplichiamolo per il 2 scritto a lato, scriviamo il risultato sotto il -3 e sommiamo:

Trapani

Moltiplichiamo il risultato -1 per 2, scriviamo il prodotto sotto -5 e sommiamo; prosegunedo così per tutti i coefficienti si trova:

Trapani

L'ultimo numero a destra è il resto della divisione; 1, -1, -7, 1, 6 sono i coefficienti del polinomio quoziente. E è quindi equivalente a

Trapani

Resta da scomporre Trapani, polinomio al quale si può applicare un analogo tentativo. Dopo successivi calcoli, P(y) si può scrivere come prodotto di cinque fattori di primo grado:

Trapani

A questo punto si trovano facilmente le radici di E.

1, 2, -1, -2, 3.
   

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