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Dizionario di matematica e geometria iniziale R... trapaninfo.it TweetRADIANTEIl radiante (simbolo rad) è l'unità di misura degli angoli del Sistema Internazionale (più precisamente si tratta di una unità SI derivata).Misurare un angolo in radianti equivale a misurare la lunghezza di un arco di circonferenza, spazzato dall'angolo medesimo, e dividerlo per il raggio. Questa unità è usata in particolare nel Calcolo infinitesimale, in trigonometria e in goniometria. DefinizioneSi prenda una circonferenza con centro nel vertice dell'angolo e il suo arco intercettato dalle due semirette che formano l'angolo.Chiameremo Ricordandosi che la misura della lunghezza della circonferenza è c = 2 π r, si può scrivere la seguente proporzione:
da cui
Definiamo come radiante l'ampiezza dell'arco di circonferenza che, rettificato, sia uguale al raggio della circonferenza stessa. In parole povere un radiante è l'angolo che si ha in corrispondenza di un arco di lunghezza pari al raggio della circonferenza. Dunque, ponendo
Esprimiamo ora un angolo giro in radianti:
Con la seguente proporzione si ottengono le formule per passare da radianti a gradi sessagesimali e viceversa:
Infine, dalla proporzione
Osservando la formula sopra si evince che il radiante è un numero puro, ossia è adimensionale, dato che esprime il rapporto fra due lunghezze. Infatti: MotivazioneA prima vista un radiante è un angolo strano.Esso però consente di avere formule trigonometriche molto più semplici di quelle che si avrebbero adottando come unità di misura per gli angoli i gradi sessagesimali o altre unità. Sostanzialmente i vantaggi dei radianti derivano dal fatto che con tale unità si ottiene la semplice espressione
e da questa si ottengono molte altre eleganti identità del calcolo infinitesimale che hanno importanti conseguenze pratiche. Tra queste
Se si misurassero gli angoli in gradi o in altre unità di misura, le formule come le precedenti dovrebbero essere infarcite di costanti di conversione e da loro potenze. Tabelle di conversioneUn angolo giro misura quindi 2 π rad, un angolo piatto π rad ed un angolo retto π/2 rad.
1 rad = 57.29577 95131 gradi = 3437.74677 07849 minuti = 206264.80625 secondi 1 grado = 0.01745 32925 19943 rad; 1 minuto = 0.00029 08882 08666 rad 1 secondo = 0.00000 48481 36811 rad RADICALEIn matematica, la radice n-esima o radicale di un numero reale a, scritto come ,
è un numero reale b tale che bn = a.Vedi radice quadrata per il caso dove n = 2. Scrittura Che corrisponde a:
Esempio:
TriviaSi tenga presente che:se la radice ha indice pari, il radicando deve essere maggiore o uguale di zero. se la radice ha indice dispari il radicando può essere qualsiasi. Esempi, sono calcolabili i seguenti radicali:
Non hanno significato in campo reale:
Operazioni fondamentaliLe operazioni con i radicali sono dati dalle seguenti formule:
dove a e b sono numeri positivi. Per ogni numero complesso a diverso da zero, ci sono n diversi numeri complessi b tali che bn = a, quindi il simbolo Se a = 1, parliamo di radici n-esime dell'unità. Lavorando con gli esponentiNelle elaborazioni di espressioni e formule algebriche, è spesso utile manipolare i radicali usando le relazioni scritte sopra,senza tentare di calcolare il valore di ogni singolo elemento. Ad esempio, se a e b sono due numeri positivi distinti:
L'ultima relazione può servire per razionalizzare il denominatore di un'espressione. RADICEIn matematica, una radice (o uno zero) di una funzione f è un elemento x nel dominio di f tale che la sua immagine f(x) è uguale a zero.Questa definizione è molto importante in algebra quando f è un polinomio. Si dice quindi che un numero x è la radice n-esima di un altro numero a se x è una radice del polinomio xn − a, cioè se xn = a. Parliamo quindi per n = 2,3,... di radice quadrata, cubica, etc. I numeri complessi sono stati introdotti essenzialmente per garantire l'esistenza di radici per tutti i polinomi. Tra i casi non polinomiali più studiati, l'ipotesi di Riemann è una famosa congettura riguardante gli zeri della funzione zeta di Riemann. Radice di una funzioneSia
una funzione fra due insiemi, tale che Y contiene un elemento "zero".Ad esempio, Y può essere l'insieme dei numeri reali, interi, o un qualsiasi altro gruppo. Un elemento x in X è una radice di f se f(x) = 0, in altre parole, se l'immagine di x tramite f è zero. Radice n-esimaDati due numeri x e a in un campo (ad esempio quello dei numeri reali o complessi), si dice che x è radice n-esima di a se x è una radice della funzionef(x) = xn − a In altre parole, x è radice n-esima di a se vale xn = a. Lo stesso numero a può avere più radici (ad esempio +1 e -1 sono entrambe radici quadrate di a = 1) o non averne nessuna (ad esempio a = -1 non ha radici quadrate fra i numeri reali). EsempiDenotiamo con R l'insieme dei numeri reali. Si consideri la funzione polinomiale
data da:
Il numero 3 è radice di
f, perché Più in generale, le radici di una funzione Tra queste, la funzione esponenziale non ha radici, mentre la funzione seno ne ha infinite. Radici di polinomi realiFormule risolutiveUn polinomio reale è una particolare funzione .Lo studio delle radici di un dato p è stato sempre centrale nello sviluppo della matematica. Trovare le radici di p equivale a risolvere l'equazione p(x) = 0, il cui grado è pari al grado di p. Esistono delle formule esplicite per la risoluzione delle equazioni di primo, secondo, terzo e quarto grado, mentre un teorema di Evariste Galois asserisce che non esistono formule analoghe per equazioni di grado maggiore al quarto. Numero di radiciUsando il teorema di Ruffini si dimostra facilmente per induzione che un polinomio p(x) di grado n ha al più n radici, nel modo seguente:
dove Proprietà generaliUn polinomio di grado dispari ha sempre una radice reale, mentre esistono polinomi di grado pari (arbitrariamente alto) che non ne hanno.In particolare:
Polinomi e radici complesseUn polinomio reale può non avere radici:ad esempio Per questo motivo sono stati introdotti i numeri complessi, che soddisfano molte proprietà mancanti ai numeri reali. Visto nel campo dei numeri complessi, lo stesso polinomio Il teorema fondamentale dell'algebra asserisce infatti che un qualsiasi polinomio p a coefficienti reali o più generalmente complessi ha una radice. Usando il teorema di Ruffini come sopra, si dimostra come conseguenza che p si può sempre scrivere come
dove Molteplicità di una radiceSi definisce la molteplicità di una radice a di un polinomio p(x) come il numero naturale n tale chep(x) = (x − a)nq(x) dove q(a) è diverso da zero. In altre parole, per il teorema di Ruffini, n è il numero di volte in cui possiamo dividere p per (x - a). Se il polinomio p si "spezza" come
allora la molteplicità di a è il numero di volte che compare fra i
vari La molteplicità è però definita in generale, anche nel caso in cui il polinomio non si spezza, perché siamo nel campo dei numeri reali, o semplicemente perché non riusciamo a farlo: ad esempio si vede subito che il polinomio
ha la radice zero con molteplicità 2, infatti
e 0 non è radice di q. RADICE QUADRATALe radici quadrate traggono la loro origine dal problema di trovare il lato di un quadrato di area nota;se quest'area è di 36, 25, 49 o 9 unità quadrate, è facile rispondere e, se si conoscono le tabelline di moltiplicazione, si trova senza calcolatrice che il lato è di 6, 5, 7 o 3 unità di lunghezza, poiché:
Ci sono, dunque, radici quadrate facili, ovvero quelle dei numeri quadrati; si dirà, allora, che la radice quadrata di 36 è 6, quella di 25 è 5, quella di 49 è 7, quella di 9 è 3, e si scriverà:
Le cose si complicano quando si pone la questione per i numeri diversi da quelli appena visti (che sono immediatamente riconoscibili come quadrati).
Ricerca aritmetica di una radice quadrataQuando si cerca un numero che, moltiplicato per se stesso, sia uguale a 2, si dice che deve essere compreso fra 1 e 2, poiché "1 per 1 fa 1" e "2 per 2 fa 4".Provando con 1,5 si trova
che nettamente maggiore di 2. Occorre, allora, fare altri tentativi, economizzando se possibile, cioè lavorando con metodo. Osservando che il numero che si cerca, se esiste, deve trovarsi fra 1 e 1,5, più vicino a 1,5 che a 1, e calcolando
si trova subito una gabbia conveniente. Il numero cercato, che si può scrivere con r, non può che trovarsi fra 1,4 e 1,5, ossia essere tale che:
Non si deve fare altro che ricominciare; prendendo in considerazione il numero medio dell'intervallo, che questa volta scriviamo in centesimi, ossia
si prova con Chiaramente, si è andati oltre il numero cercato, che sembra più prossimo a 1,40 che a 1,45; le prove con
Dunque: 1,41 < r < 1,42 Messa da parte la soddisfazione di trovare, con lo stesso metodo, numeri i cui quadrati si avvicinano sempre più a 2, per esempio
che differisce di meno di un millesimo per difetto, o
che differisce di meno di tre millesimi per eccesso ecc., non si può fare a meno di essere presi da un certo sconforto. L'impresa è, in effetti, destinata al fallimento già in partenza, poiché moltiplicando un "numero con la virgola", cioè un numero scritto in forma decimale, per se stesso, si trova ancora un numero in forma decimale, che non sarà mai 2; a meno che non si prosegua la scrittura all'infinito, nel qual caso non si avrebbe più un decimale finito. Giunti a questo punto, si potrebbe pensare che questo numero non esista, e che sia necessario, in ogni caso, abbandonare la ricerca aritmetica e procede in un altro modo. Ricerca geometrica di una radice quadrataIl problema consiste, questa volta, nel domandarsi se esiste un quadrato avente area pari a 2 unità quadrate.Esistono numeri, scoperti attraverso la geometria, i cui quadrati sono numeri interi. Supponiamo che il numero naturale n misuri l'area di un quadrato, il numero che misura il suo lato, e che dunque al quadrato è uguale a
n, è detto "la sua radice quadrata" e si scrive
L'espressione Il calcolo di quando non riesce, si ha a che fare con nuovi numeri, che non sono razionali, e che per questo si chiamano irrazionali. Quando una radice quadrata è irrazionale, non si può dire esattamente quanto essa valga, se non a partire dal suo quadrato, n, ossia:
RAGGIOSecondo la definizione classica della geometria,il raggio di un cerchio o di una sfera è un segmento di retta avente un estremo sulla circonferenza o superficie sferica, e l'altro estremo nel centro della figura.
Per estensione si definisce raggio di un cerchio o di una sfera anche la lunghezza di un tale segmento. Il raggio è la metà del diametro. Più generalmente - in geometria, ingegneria, teoria dei grafi, e in molti altri settori - il raggio di qualcosa (per esempio di un cilindro, di un grafo, o di un componente meccanico) è la distanza dei sui punti più esterni dal centro o asse. La definizione di raggio data per i cerchi e per le sfere si lascia estendere naturalmente al caso di iperspazi con più di tre dimensioni. Generalmente, un segmento che congiunge un punto di un'ipersfera al suo centro è un raggio dell'ipersfera. In una spirale il raggio è una funzione dell'angolo. Tutte le circonferenze sono assimilabili a spirali con raggio costante. RAPPORTOIn algebra e in fisica il rapporto fra due grandezze corrisponde al risultato della loro divisione esatta, vale a dire senza resto.L'espressione a:b è detta rapporto fra (oppure di) a e b e può essere scritta come a/b o
Le grandezze prese in considerazione sono generalmente di tipo numerico, e non devono necessariamente essere omogenee (come nel caso della somma o della differenza). Per esempio, nella meccanica classica la velocità è espressa dal rapporto fra spazio e tempo. Nel caso di grandezze non numeriche quali vettori o funzioni si preferisce parlare in modo più generale di quoziente. L'uguaglianza di due rapporti è detta proporzione. L'espressione a:b = c:d si legge «a sta a b come c sta a d». Il termine rapporto è utilizzato talora anche per indicare una relazione generica fra grandezze non combinate in una divisione. Così il teorema di Pitagora stabilisce un rapporto fra cateti e ipotenusa. RAZIONALE, NUMEROIn matematica, un numero razionale è un numero reale ottenibile come rapporto tra due numeri interi, il secondo dei quali diverso da 0.Ogni numero razionale quindi può essere espresso mediante una frazione. Storicamente, i numeri razionali sono stati introdotti prima dei numeri reali, per permettere l'operazione di divisione fra numeri interi. I numeri razionali formano un campo, indicato con Q oppure
OperazioniLa somma ed il prodotto di due numeri razionali vengono calcolati nel modo seguente.
Ne segue che l'inverso per la somma e la moltiplicazione vengono calcolati così:
Descrizioni diverse dello stesso numeroUn numero razionale può essere descritto come frazione in modi diversi: le frazioni
rappresentano lo stesso numero razionale se e solo se ad = bc. In effetti si ottiene
moltiplicando entrambi i membri per bd. Ogni numero razionale è rappresentato da un'unica frazione
ridotta ai minimi termini, cioè tale che il massimo comune divisore tra a e b sia un'unità, e b sia positivo. Due frazioni che individuano lo stesso numero razionale sono dette equivalenti. Evidentemente, per ogni intero k diverso da zero le frazioni
sono equivalenti: quindi ogni numero razionale può essere espresso da infinite frazioni. Ad esempio 3/6 = 2/4 = 1/2. Scrittura decimaleCome tutti i numeri reali, i numeri razionali possono essere rappresentati tramite il sistema numerico decimale.Lo sviluppo decimale dei numeri razionali ha la particolarità di essere periodico: un numero reale è razionale se e solo se nella sua scrittura esiste una sequenza finita di cifre (detta periodo) che si ripete all'infinito, da un certo punto in poi dopo la virgola. Ad esempio: 1/3 = 0,3 = 0,333... (si ripete il periodo "3" all'infinito) 50/41 = 1,21951 = 1,21951 21951 21951... 3/4 = 0,750 = 0,750 00... = 0,75 1 = 1,0 = 1,000 00... Un numero razionale può essere descritto quindi sottolineando il periodo, come in questi esempi. Numeri irrazionaliUn numero reale che non è razionale è detto irrazionale.Un numero irrazionale quindi non è rappresentabile in forma decimale periodica. Ad esempio, il numero 0,12 122 1222 12222... (dove la sequenza di "2" è sempre più lunga) è irrazionale. Altri numeri irrazionali importanti in matematica sono √2 e pi greco. Struttura algebricaMunito di somma e prodotto, l'insieme
ha la struttura algebrica di un campo. Gli elementi neutri per la somma ed il prodotto sono rispettivamente 0 ed 1. Molti oggetti matematici, come i polinomi o gli spazi vettoriali, nella loro definizione fanno riferimento ad un campo. L'aggettivo "razionale" attribuito ad uno di questi oggetti è spesso usato per specificare che il campo scelto è quello dei numeri razionali. Per esempio si dice polinomio razionale ogni polinomio i cui coefficienti sono solo numeri razionali. Costruzione formaleDa un punto di vista formale, i numeri razionali vengono definiti a partire dai numeri interi nel modo seguente.I numeri razionali sono una classe di equivalenza di coppie ordinate di numeri interi (a,b), con b diverso da zero. La relazione di equivalenza è la seguente
La somma ed il prodotto di questi elementi è quindi definita nel modo seguente:
Si verifica che entrambe le operazioni sono compatibili con la relazione di equivalenza. L'insieme quoziente di questa relazione è quindi Q. Possiamo definire anche un ordine totale su Q nel modo seguente:
Proprietà
REALE, NUMEROIn matematica, i numeri reali possono essere introdotti informalmente come tutti i numeri che possono essere utilizzati per misurare grandezze fisichecome lunghezza, peso, temperatura, etc. Sono numeri positivi, negativi o nulli, aventi uno sviluppo decimale finito o infinito. In altre parole, sono i numeri razionali (che possono essere scritti come frazioni) completati dai numeri la cui rappresentazione decimale è infinita e non periodica, come la radice quadrata di 2 e π. Questi ultimi sono chiamati numeri irrazionali.
[Rappresentazione della retta reale] I numeri reali sono in corrispondenza biunivoca con i punti di una retta, detta retta numerica o retta reale. I numeri reali si dividono anche in numeri algebrici e numeri trascendenti. Rappresentazione ed uso dei numeri realiI numeri reali possono rappresentare qualsiasi grandezza fisica, come il prezzo di un prodotto, la distanza temporale fra due eventi,l'altitudine (positiva o negativa) di un sito geografico, la massa di un atomo o la distanza fra galassie. Gran parte dei numeri reali è usata quotidianamente, ad esempio in economia, informatica, matematica, fisica o ingegneria. Di fatto, la maggior parte del tempo sono usati solo alcuni sottoinsiemi:
che è generalmente indicato con la lettera R o Rappresentazione decimaleOgni numero reale può essere espresso (almeno in teoria) con la numerazione decimale, come un numero avente un'infinità di cifre dopo la virgola.Vista l'impossibilità di scrivere infinite cifre, il numero viene spesso espresso in modo inesatto nella forma 324,823211247... dove i tre punti esprimono il fatto che ci sono altre cifre. Questo procedimento di approssimazione in realtà consiste nello scrivere un numero razionale molto vicino al numero reale in questione. Più sono le cifre decimali, più il numero razionale è vicino al numero reale che si vuole rappresentare, e maggiore quindi è la precisione dell'approssimazione. Ad esempio, pi greco può essere approssimato come 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679... RECIPROCOIn senso matematico, a proposito dei numeri: "Detto di numero che, moltiplicato per il dato, dà l'unità".Reciproco di un teoremaUn teorema reciproco è quello che ha come tesi l'ipotesi del teorema diretto, e come ipotesi la sua tesi.RELATIVI, NUMERII numeri relativi sono i numeri il cui significato dipende da un segno, scritto a fianco:
sono gli insiemi dei relativi
positivi.Gli insiemi Se a designa un reale, questo reale relativo può essere sia positivo sia negativo. I numeri relativi possono essere associati ai punti di una retta provvista di un'origine, di un'unità e di un verso: essi sono le ascisse di questi punti.
Due numeri relativi sono detti opposti se sono le ascisse di due punti che sono a uguale distanza dall'origine. Due numeri opposti hanno lo stesso valore assoluto. L'addizione di due numeri relativi si traduce nella successione di due percorsi, dei quali il primo è effettuato a partire dall'origine, e il secondo a partire dal punto di arrivo del primo.
Addizione di numeri relativiQuando due numeri relativi sono dello stesso segno la loro somma è uguale alla somma dei loro valori assoluti, preceduta dal segno comune.Quando due numeri relativi sono di segno opposto, la loro somma è uguale alla differenza dei valori assoluti, preceduta dal segno + o
La somma di due numeri opposti è nulla. I numeri assoluti possono essere considerati, se è il caso, come numeri positivi; e viceversa.
Estensione del significato predicativo dei segni + e
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la lunghezza di tale arco,
quella del raggio, 
quella della circonferenza e α l'ampiezza dell'angolo descritto dall'arco.
risulta funzione di 
,
ovvero
,
dalla si ottiene:
si ottiene:
Radice cubica
.
sono numeri reali distinti (le radici di
p).
non ne ha, perché 
per ogni x.
sono numeri complessi non necessariamente distinti.
.
confermano che r sta fra 1,41 e 1,42, poiché:
,
,
.
.
.
.
sono numeri positivi;
,
per i numeri negativi: 
sono
numeri negativi
,
esattamente gli interi relativi, chiamati semplicemente interi;
,
rispettivamente razionali e reali positivi e negativi.
sono gli insiemi dei relativi
negativi.
Definizioni
e la direzione, individuata dal vettore
.
.
Da notare che per k = 0 si vede subito che la retta passa per il punto 
.
si ottiene una descrizione della retta in forma esplicita, riscrivendo
l'equazione cartesiana così:
,
una retta è un insieme dei punti del tipo
e
sono
due vettori fissati in
;
.
;
.
della retta r dal punto P, definita come la minima distanza fra
P ed un punto sulla retta, è data da:
,
è
data da:
ci
si riconduce al caso precedente tramite la traslazione degli assi.
.
,
polinomio al quale si può applicare un analogo tentativo.
