Dizionario di matematica e geometria iniziale M

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Dizionario di matematica e geometria iniziale M

   

Dizionario di matematica e geometria iniziale M

MATEMATICA

La parola matematica deriva dal greco ìÜèçìá (máthema), traducibile con i termini "scienza", "conoscenza" o "apprendimento"; ìáèçìáôéêüò (mathematikós) significa "desideroso di apprendere".
Con questo termine generalmente si designa la disciplina che studia problemi concernenti quantità, estensioni e figure spaziali, movimenti di corpi, e tutte le strutture che permettono di trattare questi aspetti in modo generale.

Evoluzione e finalità della matematica

La matematica ha una lunga tradizione presso tutti i popoli; è stata la prima disciplina a dotarsi di metodi di elevato rigore e portata, e quindi a raggiungere lo status di scienza; ha progressivamente ampliato gli argomenti della sua indagine e progressivamente ha esteso i settori ai quali può fornire aiuti computazionali e di modellizzazione.
Nel corso della sua lunga storia e nei diversi ambienti culturali si sono avuti periodi di grandi progressi e periodi di stagnazione degli studi. Questo in parte è dovuto all'importanza dei singoli personaggi capaci di dare apporti profondamente innovativi e illuminanti e di stimolare all'indagine matematica grazie alle loro doti didattiche. Si sono avuti anche periodi di arretramento delle conoscenze e dei metodi: questi però si sono riscontrati solo in relazione a eventi distruttivi o a periodi di decadenza complessiva della vita intellettuale e civile. Nella storia della matematica degli ultimi 500 anni, in relazione al miglioramento dei mezzi di comunicazione è comunque prevalsa la crescita progressiva del patrimonio di risultati e di metodi.
Questo è dovuto alla natura stessa delle attività matematiche. Esse sono costantemente tese alla esposizione precisa dei problemi e delle soluzioni e questo impone di comunicare avendo come fine ultimo la possibilità di chiarire tutti i dettagli delle costruzioni logiche e dei risultati (alcuni chiarimenti richiedono un impegno non trascurabile, talora molti decenni). Questo ha corrisposto alla definizione di un linguaggio per molti aspetti esemplare come strumento per la trasmissione e la sistemazione delle conoscenze. Sono quindi rari i casi di errori o di smagliature che non siano stati riconosciuti e corretti, o almeno segnalati ad alta voce come necessari di correzione, in tempi brevi.

Matematica teorica e applicata

Le attività matematiche sono naturalmente interessate alle possibili generalizzazioni e astrazioni, in relazione alle economie di pensiero e ai miglioramenti degli strumenti (in particolare degli strumenti di calcolo) che esse sono portate a realizzare. Le generalizzazioni e le astrazioni quindi spesso conducono a visioni più approfondite dei problemi e stabiliscono rilevanti sinergie tra progetti di indagine inizialmente rivolti ad obiettivi non collegati.
Nel corso dello sviluppo della matematica si possono rilevare periodi ed ambienti nei quali prevalgono alternativamente atteggiamenti generali e valori riconducibili a due differenti generi di motivazioni e di approcci: le motivazioni applicative, con la loro spinta a individuare procedimenti efficaci, e le esigenze di sistemazione concettuale con la loro sollecitazione verso generalizzazioni, astrazioni e panoramiche strutturali.
Si tratta di due generi di atteggiamenti tra i quali si costituisce una certa polarizzazione; questa talora può diventare contrapposizione, anche astiosa, ma in molte circostanze i due atteggiamenti stabiliscono rapporti di reciproco arricchimento e sviluppano sinergie. Nel lungo sviluppo della matematica si sono avuti periodi di prevalenza di uno o dell'altro dei due atteggiamenti e dei rispettivi sistemi di valori.
Del resto la stessa nascita della matematica può ragionevolmente ricondursi a due ordini di interessi: da un lato le esigenze applicative che fanno ricercare valutazioni praticabili; dall'altro la ricerca di verità tutt'altro che evidenti, forse tenute nascoste, che risponde ad esigenze immateriali, la cui natura può essere filosofica, religiosa o estetica.
Negli ultimi 30 o 40 anni tra i due atteggiamenti si riscontra un certo equilibrio non privo di tensioni riemergenti, ma con molteplici episodi di mutuo supporto. A questo stato di cose contribuisce non poco la crescita del mondo del computer, rispetto al quale il mondo della matematica presenta sia canali di collegamento (che è ormai assurdo cercare di interrompere) che differenze, ad esempio differenze dovute a diverse velocità di mutazione e a diversi stili comunicativi, che proiettano le due discipline agli antipodi.

Argomenti principali della matematica

Cerchiamo ora di segnalare a grandi linee i temi oggetto della indagine matematica, illustrando una sorta di itinerario guidato per un progressivo accostamento delle problematiche, delle argomentazioni e delle sistemazioni teoriche.

Aritmetica

I primi problemi che inducono ad accostarsi alla matematica sono quelli che si possono affrontare con l'aritmetica elementare: si tratta di calcoli eseguibili con le quattro operazioni che possono riguardare contabilità finanziarie, valutazioni di grandezze geometriche o meccaniche, calcoli relativi agli oggetti ed alle tecniche che si incontrano nella vita quotidiana.
I più semplici di questi calcoli possono effettuarsi servendosi solo di numeri interi naturali, ma presto i problemi di calcolo richiedono di saper trattare i numeri interi relativi e i numeri razionali.

Algebra

I problemi computazionali più semplici sono risolti mediante formule che forniscono risultati conseguenti. Ad esempio: l'area di un rettangolo con lati lunghi 3 e 5 è il loro prodotto Trapani. Complicando gli enunciati diventa necessario servirsi di equazioni. Ad esempio: per il Teorema di Pitagora, se un triangolo rettangolo ha i lati più corti (cateti) di lunghezza 3 e 4, quello più lungo (ipotenusa) ha come lunghezza il numero positivo x che risolve l'equazione Trapani. Le equazioni più semplici sono le equazioni lineari, sia perché rappresentano le questioni geometriche più semplici, sia perché sono risolvibili con procedimenti standard.
Nelle formule e nelle equazioni conviene far entrare parametri i cui valori si lasciano indeterminati: in tal modo si viene a disporre di strumenti di portata più generale, che permettono di conseguire evidenti economie di pensiero. Ad esempio: in un triangolo rettangolo con cateti di lunghezza a e b, la lunghezza dell'ipotenusa è il numero positivo x tale che Trapani.
Per meglio valutare le formule e per risolvere molti tipi di equazioni si rende necessario sviluppare un calcolo letterale che permetta di rimaneggiarle. Le regole di questo calcolo letterale costituiscono la cosiddetta algebra elementare.

Geometria

Lo studio della geometria piana e spaziale riguarda inizialmente i seguenti oggetti primitivi: il punto, la retta, il piano. Combinando questi elementi nel piano o nello spazio si ottengono quindi altri oggetti quali segmenti, angoli, poligoni e poliedri.
Punto, retta, piano e spazio hanno dimensione rispettivamente 0,1,2 e 3. Tramite il calcolo vettoriale si definiscono e studiano spazi a dimensione più alta (anche infinita!). Gli analoghi "curvi" di questi spazi "piatti" sono le curve e le superfici, di dimensione rispettivamente 1 e 2. Uno spazio curvo in dimensione arbitraria si chiama varietà. Dentro a questo spazio si possono spesso definire punti e rette (dette geodetiche), ma la geometria che ne consegue può non soddisfare gli assiomi di Euclide: una tale geometria è generalmente detta non euclidea. Un esempio è dato dalla superficie terrestre, che contiene triangoli aventi tutti e tre gli angoli retti!

Analisi

Lo studio dell'analisi riguarda principalmente il calcolo infinitesimale, introduce la fondamentale nozione di limite, e quindi di derivata e integrale. Con questi strumenti vengono analizzati i comportamenti delle funzioni, che spesso non hanno una descrizione esplicita ma sono soluzioni di una equazione differenziale, derivante ad esempio da un problema fisico.

MASSIMO COMUN DIVISORE

In matematica, il massimo comun divisore (M.C.D.) di due numeri interi, che non siano entrambi uguali a zero, è il numero naturale più grande per il quale possono entrambi essere divisi.
Il massimo comun divisore tra i due numeri a e b viene indicato con MCD(ab), o più semplicemente (ab).
Ad esempio, MCD(12, 18) = 6, MCD(−4, 14) = 2 e MCD(5, 0) = 5.
Due numeri si dicono coprimi o primi tra loro se il loro massimo comun divisore è uguale a 1. Per esempio, i numeri 9 e 28 sono primi tra loro (ma non sono primi).
Il massimo comun divisore è utile per ridurre una frazione ai minimi termini. Per esempio nella seguente frazione:

Trapani

è stato semplificato il fattore 14, il massimo comun divisore tra 42 e 56.
Trapani Definizione di Massimo Comun Divisore
Trapani

Calcolo del MCD

Il massimo comun divisore può essere calcolato, in linea di principio, determinando la scomposizioni in fattori primi dei due numeri dati e moltiplicando i fattori comuni, considerati una sola volta con il loro minimo esponente. Per esempio, per calcolare il MCD(18,84) si scompongono dapprima i due numeri in fattori primi, ottenendo 18 = 2·32 e 84 = 22·3·7, e poi si considerano i fattori comuni ai due numeri, 2 e 3: entrambi compaiono con esponente minimo uguale a 1, e quindi si ottiene che MCD(18,84)=6.
Questo metodo è utilizzabile, nella pratica, solo per numeri molto piccoli: la scomposizione in fattori primi di un numero richiede in generale troppo tempo.
Un metodo molto più efficiente è fornito dall'algoritmo di Euclide: si divide 84 per 18 ottenendo un quoziente di 4 e un resto di 12. Poi si divide 18 per 12 ottenendo un quoziente di 1 e un resto di 6. Infine si divide 12 per 6 ottenendo un resto di 0, il che significa che 6 è il massimo comun divisore.

Proprietà

  • Ogni divisore comune di a e b è un divisore di MCD(ab).
  • MCD(ab), dove a e b non sono contemporaneamente uguali a zero, può essere definito in modo alternativo ed equivalente come il più piccolo intero positivo d che può essere scritto nella forma d = a·p + b·q dove p e q sono interi. Questa espressione viene chiamata identità di Bézout.
  • Se a divide il prodotto b·c, e MCD(ab) = d, allora a/d divide c.
  • Se m è un intero non nullo, allora MCD(m·am·b) = m·MCD(ab) e MCD(a + m·bb) = MCD(ab). Se m è un divisore comune diverso da zero di a e b, allora MCD(a/mb/m) = MCD(ab)/m.
  • Il MCD è una funzione moltiplicativa nel senso seguente: se a1 e a2 sono primi tra loro, allora MCD(a1·a2b) = MCD(a1b)·MCD(a2b).
  • Il MCD di tre numeri può essere calcolato come MCD(abc) = MCD(MCD(ab), c) = MCD(a, MCD(bc)). Quindi il MCD è una operazione associativa.
  • MCD(ab) è legato al minimo comune multiplo mcd(ab): si ha
MCD(ab)·mcm(ab) = a·b.
Questa formula viene usata spesso per calcolare il minimo comune multiplo: si calcola prima il MCD con l'algoritmo di Euclide e poi si divide il prodotto dei due numeri dati per il loro MCD.
  • Vale la seguente proprietà distributiva:
MCD(a, mcm(bc)) = mcm(MCD(ab), MCD(ac))
mcm(a, MCD(bc)) = MCD(mcm(ab), mcm(ac)).
  • È utile definire MCD(0, 0) = 0 e mcm(0, 0) = 0 perché in questo modo i numeri naturali diventano un reticolo completo distributivo con MCD e mcm come operazioni. Questa estensione è compatibile anche con la generalizzazione per gli anelli commutativi data più sotto.
  • In un sistema di coordinate cartesiane il MCD(ab) può essere interpretato come il numero di punti con coordinate intere sulla retta che passa per i punti (0, 0) e (ab), escludendo il punto (0, 0).

MINIMO COMUNE MULTIPLO

In matematica il minimo comune multiplo (mcm) di due interi a e b è il più piccolo intero positivo che è multiplo sia di a che di b. Se non esiste un intero positivo con queste proprietà, cioè se a = 0 o b = 0, allora mcm(a, b) è definito uguale a zero.
Il minimo comune multiplo è uno strumento utile per determinare la somma o sottrazione di due frazioni: in questo caso il denominatore della frazione risultante è il minimo comune multiplo delle due date. Ad esempio, nella somma
Trapani

il denominatore è mcm(21, 6) = 42.
Se a e b non sono entrambi nulli, il minimo comune multiplo può essere calcolato usando il massimo comun divisore (MCD) di a e b e la formula seguente:

Trapani

Quindi, l'algoritmo di Euclide per il MCD fornisce anche un veloce algoritmo per il calcolo del mcm. Ritornando all'esempio precedente,

Trapani
Trapani Definizione di Minimo Comune Multiplo

Calcolo efficiente del mcm

La formula
Trapani
è adeguata per calcolare il mcm per piccoli numeri.
Poiché (ab)/c = a(b/c) = (a/c)b, è possibile calcolare il mcm usando la formula precedente in modo più efficiente, dapprima utilizzando il fatto che b/c o a/c sono più semplici da calcolare rispetto al divisione tra il prodotto ab e c: il fatto che c sia multiplo sia di a che di b consente di semplificare completamente il fattore c dalla frazione a/c oppure da b/c, prima di effettuare il prodotto ab.
Allora il mcm si può calcolare o così:
Trapani
oppure così:
Trapani
In questo modo, l'esempio precedente diventa:
Trapani
Anche se i numeri sono grandi e non sono facilmente scomponibili in fattori, il MCD può essere calcolato velocemente usando l'algoritmo di Euclide.

Come ricordarsi di semplificare prima di moltiplicare

Il metodo che segue rende impossibile dimenticarsi di semplificare prima di moltiplicare. Verrà illustrato con un esempio: come trovare il mcm(12, 8).
Si deve ridurre ai minimi termini la frazione avente come numeratore e denominatore i due numeri di cui si deve trovare il minimo comune multiplo: Trapani
Si esegue la "moltiplicazione a croce": Trapani
Il prodotto 12 × 2 = 8 × 3 è il mcm: 24.

Metodo di calcolo alternativo

Il teorema fondamentale dell'aritmetica afferma che ogni intero maggiore di 1 può essere scritto in un modo unico come prodotto di fattori primi. I numeri primi possono essere considerati come "atomi" che, combinati insieme, producono un numero composto.

Per esempio:

Trapani

Il numero composto 90 è costituito da un atomo uguale al numero primo 2, due atomi uguali al numero primo 3 e un atomo uguale al numero primo 5.
Si può usare questo teorema per trovare facilmente il mcm di un gruppo di numeri.
Per esempio: calcolare il mcm(45, 120, 75).

Trapani

Il mcm è il numero composto da tutti i fattori dei numeri dati, presi una sola volta con il massimo esponente. Quindi

Trapani
Questo è il metodo che di solito viene insegnato nella scuola italiana.

Esempi

  • Calcolo di mcm(3, 5, 7 ):
i tre numeri sono primi, quindi
mcm(3,5,7)=3·5·7=105
  • Calcolo di mcm(7, 8, 10):
i numeri non primi devono essere scomposti in fattori primi
7=7
8=2·2·2=2³
20=2·2·5=2²x5
allora il mcm risulta
mcm(7,8,20)=7·2³·5=280.
il fattore primo 2 è stato preso con esponente massimo 3.

Analogamente si ragiona se si vuole eseguire il mcm tra espressioni algebriche: si procede alla scomposizione in fattori (monomi, binomi, trinomi..., comunque espressioni algebriche non trasformabili in prodotto di espressioni algebriche di grado inferiore) primi tra loro e si ricava il mcm tra le espressioni algebriche applicando la stessa definizione data per i numeri, ricordando che mcm(4a,bc) non è detto che sia 4abc.


Calcolo di mcm(2np, (p+q)², 4n²(q+p)³).
Le espressioni sono già indicate come prodotti di espressioni algebriche semplici e allora il loro mcm risulta
mcm(2np, (p+q)², 4n²(q+p)³)=mcm(4,n²,p,(p+q)³)
Calcolo di mcm(x³, ab(x²-2x+1), (1-x)).
Si ha che
x³= x³
ab(x²-2x+1) = ab(x-1)² = ab(1-x
(1-x)= -(x-1).
E quindi il mcm in questo caso è
mcm(x³, ab(x²-2x+1), (1-x))=mcm(ab,x³(1-x)²) =mcm(ab,x³(x-1)²)

MEDIA


La media aritmetica a di due numeri indicati con x e y è uguale alla loro semisomma:

Trapani

La media aritmetica di n numeri si ottiene dividendo la loro somma per n.
Le medie aritmetiche ottenute a partire da situazioni reali sono delle grandezze fittizie, ma che possono servire da indicatori se si fanno dei confronti, per esempio se ne studia l'evoluzione nel tempo.

La media geometrica c di due lunghezze L e l è la lunghezza del lato del quadrato che ha area uguale a quella del rettangolo di dimensioni L e l. La media geometrica g di due numeri x e y è il numero ottenuto prendendo la radice quadrata del loro prodotto:

Trapani

La media geometrica tra due numeri o due lunghezze si dice anche media proporzionale.

MEDIANA

In un triangolo, la mediana è un segmento che congiunge un vertice al punto medio del lato opposto, dividendo il triangolo in due parti di area uguale. Le tre mediane di un triangolo si intersecano nel suo baricentro o centro di massa. Ogni mediana giace per due terzi della propria lunghezza fra il vertice e il baricentro, mentre l'altro terzo si trova fra il baricentro e il punto medio del lato opposto.
Tutte le altre rette che dividono il triangolo in due parti di area uguale non passano per il baricentro.
Trapani

MEMBRO

I membri di una equazione o di una equazione o di una disequazione sono le espressioni che si trovano da una parte e dall'altra del segno di uguaglanza o di disuguaglianza.
Ce ne sono dunque due, che si chiamano "primo" e "secondo" membro in relazione alla loro posizione, nel senso della lettura. Per esempio, in:

Trapani

Trapani è il primo membro dell'equazione o membro di sinistra, e Trapani è il secondo membro o membro di destra.

MENO

Meno è indicato con il segno Trapani che esprime:
  • L'operazione di sottrazione: se si sottrae tre da cinque, si ottiene "cinque meno tre", che si scrive Trapani, e che si chiama differenza fra 5 e 3;
  • La natura di un numero relativo negativo: "meno sette", che si scrive Trapani.

MISURA

In matematica una misura è una funzione che assegna un numero reale non negativo a taluni sottoinsiemi di un dato insieme per rendere quantitativa la nozione della loro estensione; in particolare si assegnano lunghezze a segmenti di curva, aree a superfici, volumi a figure tridimensionali e probabilità ad eventi.

Una grandezza è generalemnte espressa mdiante un numero-di, la sua misura mediante un numero; per distinguerle, la misura potrebbe essere indicata sottolineando la scrittura che designa la grandezza e indicando, laddove sia necessario, l'unità scelta.

MISURARE

In matematica elementare, misurare è contare delle unità di misura: 1, 2, 3, 4 ...per lunghezze, aree, volumi, ampiezze, masse ecc.
Uno strumento di misura è per definizione munito di una graduazione che permette di leggere il risultato di un'operazione di conteggio.

MOLTIPLICANDO

Numero da moltiplicare, primo fattore della moltiplicazione.

MOLTIPLICATORE

Numero che moltiplica, secondo fattore della moltiplicazione.

MOLTIPLICAZIONE

La moltiplicazione è una delle quattro operazioni fondamentali dell'aritmetica. Nella sua forma più semplice, è un modo rapido di sommare dei numeri uguali. Il risultato di una moltiplicazione è chiamato prodotto, mentre i due numeri moltiplicati sono detti fattori se considerati insieme, e rispettivamente moltiplicando e moltiplicatore se presi individualmente.
Trapani Definizione di moltiplicazione

Notazione

Si può denotare la moltiplicazione in diversi modi, tutti equivalenti. Tutte le forme seguenti significano "cinque volte due":

Trapani

L'asterisco si usa spesso al calcolatore, perché è un simbolo che si trova su ogni tastiera: viene però usato raramente se si scrive matematica a mano. Questo uso è nato a partire dal linguaggio di programmazione FORTRAN.

Spesso la moltiplicazione viene implicata dalla giustapposizione dei termini che vengono semplicemente scritti uno a fianco all'altro, piuttosto che esplicitata con un simbolo.
Questo è il modo favorito in algebra, dove si trovano espressioni come

5x e xy

Questa notazione non viene mai usata se si hanno solamente numeri: 42 sarà sempre "quarantadue" e mai quattro × due, né si può usare nel caso le variabili abbiano nomi più lunghi di una lettera.
Se non si può o non si vuole scrivere tutti i termini del prodotto, si può usare un'ellissi per indicare quelli mancanti, come fatto anche per l'addizione. Pertanto, il prodotto di tutti i numeri naturali da 1 a 100 può essere scrittoTrapani. L'ellissi può anche essere rialzata rispetto alla base della riga scritta, come inTrapani.
In alternativa, per indicare il prodotto si può usare il simbolo di produttoria, che deriva dalla lettera greca maiuscola Pi. La definizione di produttoria è data da

Trapani

Il pedice è il simbolo per una variabile dummy, i. Qui, i rappresenta l'indice della produttoria; m è il limite inferiore della produttoria, e n il limite superiore della produttoria. Ad esempio:

Trapani

Si può anche considerare il prodotto di un numero infinito di termini: questi sono detti prodotti infiniti. Come notazione, si rimpiazza la n sopra con il simbolo di infinito (∞). Il prodotto di una tale serie è definito come il limite del prodotto dei primi n termini, al crescere di n oltre ogni limite. In formule,

Trapani

Si può anche rimpiazzare similmente m con l'infinito negativo, e avere

Trapani

per un intero a scelta m, ammesso che entrambi i limiti esistano.

Definizione

La definizione del prodotto di due numeri interi n e m non è altro che:

Trapani

o per dirla in maniera più naturale, "aggiungi m a sé stesso per n volte", come si può vedere espandendo la sommatoria:

m × n = m + m + m + ... + m

dove l'ellissi indica che ci sono n copie di m da sommare. Quindi per esempio
5 × 2 = 5 + 5 = 10
2 × 5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10
4 × 3 = 4 + 4 + 4 = 12
m × 6 = m + m + m + m + m + m
A partire da questa definizione, è facile dimostrare alcune interessanti proprietà della moltiplicazione. Come i primi due esempi qui sopra suggeriscono, l'ordine con cui due numeri sono moltiplicati non ha importanza: questa è la proprietà commutativa della moltiplicazione. Per ogni coppia di numeri x e y,

x · y = y · x.


La moltiplicazione possiede anche la proprietà associativa, che afferma che per ogni terna di numeri x, y e z,

(x · y)z = x(y · z)

dove le parentesi indicano l'ordine con cui vengono fatte le operazioni: prima quelle interne alla parentesi stessa.

Vi è un'ulteriore proprietà, la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione, che dice che si può "distribuire" la moltiplicazione ai vari addendi di una somma:

x(y + z) = xy + xz.

Occorre poi ricordare che ogni numero moltiplicato per 1 è pari a sé stesso:

1 · x = x
x · 1 = x.

Il numero 1 è detto elemento identità (o elemento neutro) per la moltiplicazione.

Per quanto riguarda lo zero abbiamo:

m · 0 = m + m + m +...+ m

dove ci sono zero m sommate insieme, la somma è zero, e così

m · 0 = 0

per un qualunque m (finito). Un altro modo per vedere la cosa è usare la proprietà distributiva:

m · n = m · (n + 0) = (m · n) + (m · 0)

da cui si ottiene il risultato voluto.

Per moltiplicare numeri negativi, si può procedere in modo simile. Iniziamo a considerare meno 1. Per ogni intero positivo m vale che

(−1)m = (−1) + (−1) +...+ (−1) = −m

il che ci porta a notare che ciascun numero negativo è meno uno moltiplicato per un numero positivo. Da qui abbiamo che la moltiplicazione di interi qualunque si riduce alla moltiplicazione di interi positivi e di (−1): ci resta solo da definire esplicitamente (−1)(−1):

(−1)(−1) = −(−1) = 1

La definizione di moltiplicazione si può infine estendere ai numeri razionali, ai numeri reali, e ai numeri complessi.

Per i numeri razionali abbiamo che

Trapani

Per i numeri reali, una definizione adatta di moltiplicazione si può ottenere prendendo il modello di numero reale come taglio; a questo punto si moltiplicano i minoranti tra loro e i maggioranti tra loro e si dimostra che si ha ancora un taglio.
Per i numeri complessi, infine, abbiamo che

Trapani

Meno immediato, almeno a prima vista, è il concetto che il risultato di moltiplicare nessun numero sia 1, e non zero. La cosa si ottiene subito, vedendo che un qualunque numero può vedersi come se fosse moltiplicato per il prodotto vuoto.

Una definizione ricorsiva della moltiplicazione può essere data dalle regole:

x · 0 = 0
x · y = x + x·(y − 1)

dove x è un numero reale, e y un numero naturale. Una volta data una definizione per i naturale, è facile estenderla agli interi, ai reali e infine ai numeri complessi.
Trapani Proprietà della moltiplicazione

MONOMIO

In matematica un monomio è un'espressione algebrica costituita da un prodotto tra un numero (che, a seconda dell'insieme considerato, può essere reale, complesso, o altro) e zero o più variabili e/o costanti, solitamente indicate con lettere dell'alfabeto, che forniscono una rappresentazione per un generico elemento numerico dell'insieme. Ad esempio:
Trapani

Nell'ultimo esempio, l'esponente n è un numero naturale non specificato.
Il coefficiente del monomio è il prodotto dei termini non variabili: quando questo è "1" viene solitamente sottointeso. Quindi i coefficienti dei monomi descritti sopra sono rispettivamente

Trapani

Un monomio che non contiene variabili è spesso detto costante. Ogni numero non nullo è quindi interpretabile come un monomio costante. Il grado di un monomio è il numero di variabili presenti, contate con molteplicità. I monomi costanti sono quindi esattamente quelli con grado zero. Gli esempi descritti sopra hanno rispettivamente grado

1, 3, 0, 2, n.

Una somma algebrica di monomi viene chiamata polinomio.
Trapani Definizione di monomio

Operazioni fra monomi

La somma di due monomi non è generalmente un monomio, tranne che nel caso in cui i due monomi abbiano la stessa parte letterale:

2x2y + 5x2y = 7x2y

Il prodotto di due monomi è sempre un monomio:

Trapani

L'elevamento a potenza di un monomio è quindi ancora un monomio:

(2xy2)3 = 23x3(y2)3 = 8x3y6

In alcuni casi molto particolari, anche il quoziente di due monomi è un monomio:

2x2y / xy = 2x

MULTIPLO

Un numero intero a è multiplo di un altro numero intero b se esiste un terzo numero intero c tale che moltiplicato per b da come risultato a, più brevemente
a è multiplo di b se e solo se esiste c tale che Trapani

Se a è multiplo di b, ciò significa che a è divisibile per b, o anche che b è divisore di a.

Ad esempio 6 è multiplo di 2 perché esiste un terzo numero, il 3, per cui vale la relazione

6 = 2×3.
Trapani Definizione di multiplo
   

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