E

ECCESSO

In matematica, le condizioni non sono sempre le stesse: quando un numero è inesprimibile, o la sua espressione è troppo “pesante” per l'uso che se ne vuole fare, si è condotti a prendere un valore approssimato, tenendo conto del contesto del problema. La sola avvertenza generale che possiamo dare è che l'eccesso o il difetto debbono essere inrelazione con il grado di precisione che si può chiedere in base ai dati, e che questo deve essere precisato come ordine di grandezza.

ELEMENTO

In matematica, un elemento di un insieme è uno degli oggetti che formano quell'insieme. Per esempio, l'insieme è un insieme di due elementi, o un Paio, purché a, b designino due oggetti distinti. L'insieme C delle cifre arabe con le quali scriviamo abitualmente i numeri


è un insieme di dieci elementi
L'insieme dei numeri naturali ha un “numero infinito” di elementi, cioè un numero cardinale infinito.

Invece di dire che l'oggetto designato con a è elemnto dell'insieme designato con I, si dice più semplicemente che “a è un elemento di I”, e si scrive



Si dice pure che “a appartiene a I”. L'appartenenza e la non apparteneneza indicano le relazioni fra un oggetto qualsiasi e un insieme dato: quando questi sono specificati, si hanno affermazioni che possono risultare vere o false:

Se il termine a destra di o di non è un insieme, la scrittura non ha senso, e quindi non si può dire se è vera o falsa:



sono scritture prive di senso.

Un elemento di un insieme può essere a sua volta un insieme. Se P(I) è un insieme delle parti dell'insieme I (cioè dei sottoinsiemi di I), dire che A è un elemento di P(I) è come dire che A è un insieme incluso in I. Si ha l'equivalenza



ELEVARE

In algebra, la parola elevare compare soprattutto nell'espressione “elevare al quadrato” e in quelle simili. Si può elevare un numero designato con a a qualsiasi potenza, per esempio, . Per a = 10, la seconda potenza è un numero molto grande, di 101 cifre. Si può anche elevare un numero a una potenza minore di 1: per esempio è circa 2,24, e in questo caso l'elevamento a potenza ha “rimpicciolito” il numero di partenza (naturalmente, qui si tratta di qualcosa di più complicato dell'elevamento a potenza con esponente intero).

In geometria, si eleva (o si “innalza”) una perpendicolare a una retta quando, da un punto di questa, si manda una retta che sia perpendicolare a quella data.


ENUNCIATO

Espressione di un teorema o di un problema. Per sua natura, di un enunciato si può dire se è “vero” o “falso”: quindi un enunciato può avere due valori di verità. Due enunciati si possono collegare mediante una congiunzione: partendo da A e B si costruisce un nuovo enunciato . In logica interessano le congiunzioni tali che anche il nuovo enunciato abbia un preciso valore di verità, dipendente dai valori di A e B: si dice allora un connettivo.

EQUAZIONE

In matematica, un'equazione è una uguaglianza tra due espressioni contenenti una o più variabili incognite. Si parla di equazione identica o identità nel caso in cui l'uguaglianza è verificata per qualunque valore ammissibile per le variabili. Si ha invece un'equazione in senso proprio quando l'uguaglianza è vera solo per determinati valori attribuiti alle incognite.
Un insieme di valori che rende vera un'equazione è chiamato soluzione. Risolvere un'equazione significa esplicitare l'insieme di tutte le soluzioni dell'equazione. Un'equazione che non ammette soluzioni è detta impossibile; se le soluzioni sono invece infinite si dice indeterminata.
Durante la risoluzione, è molto importante tenere presente il dominio delle variabili incognite: per esempio un'equazione come non ammette soluzioni se ha come dominio l'insieme dei numeri razionali, mentre ammette due soluzioni nei numeri reali, ossia le soluzioni in sono due e pari a. Analogamente, l'equazione non possiede soluzioni reali ma è risolvibile se varia tra i numeri complessi.
Tipicamente in un'equazione compaiono, oltre alle incognite, dei valori costanti, indicati con le lettere mentre alle variabili incognite sono convenzionalmente attribuite le ultime lettere dell'alfabeto.
Le soluzioni di un'equazione vengono indicate esplicitando le incognite delle espressioni che contengano le costanti ed eventuali parametri arbitrari.
Un'equazione si dice espressa in forma canonica se al secondo membro compare soltanto il termine noto (spostando al primo membro i termini con le variabili dell'equazione e relativi coefficienti). Le formule per la soluzione delle equazioni sono date a partire da equazioni in forma canonica. Nel calcolo occorre ricondurre l'equazione alla forma canonica prima di calcolare la soluzione.

Equazione lineare

Sono dette equazioni lineari o equazioni di primo grado le equazioni algebriche di primo grado; quelle ad una incognita sono riconducibili (tramite le usuali regole dell'algebra elementare) alla forma:
ax + b = 0
con dove a e b sono numeri reali o complessi e .
Portando b a secondo membro e dividendo per a si ottiene:

Un'equazione di primo grado ad una incognita ammette dunque una e una sola soluzione, pari a .

Esempio. Si trovi il valore della variabile tale che valga l'espressione:

La soluzione è semplice:
 

Se a = 0, non si può più parlare di equazione di primo grado, ma:

In geometria analitica, un'equazione lineare a due incognite (scritta in genere nella forma y = mx + q oppure ax + by + c = 0) rappresenta una retta nel piano cartesiano. Nello spazio a tre dimensioni, un'equazione in tre incognite della forma ax + by + cz + d = 0 rappresenta un piano. In generale, nello spazio euclideo n-dimensionale, l'insieme delle soluzioni di un'equazione lineare in n incognite rappresenta uno spazio ad n  1 dimensioni.
Definizione di equazione di primo grado

Equazione quadratica

Si definiscono equazioni quadratiche le equazioni polinomiali di secondo grado in una incognita, cioè quelle riconducibili alla forma:



con .

Le equazioni di secondo grado possono ammettere due, una o nessuna soluzione reale, mentre le soluzioni complesse sono in ogni caso 2 (eventualmente coincidenti). Sono particolarmente semplici nella risoluzione le equazioni incomplete, ossia quelle in cui il secondo e/o il terzo coefficiente sono nulli.

Equazioni quadratiche incomplete

Equazione spuria
Si dice equazione quadratica spuria un'equazione quadratica che manca del termine noto, ossia avente la forma:



Un'equazione di questo tipo si risolve facilmente tramite scomposizione:



Per la legge di annullamento del prodotto quest'equazione è equivalente alle due:


E in definitiva le sue soluzioni sono
Equazione pura
Si dice equazione quadratica pura un'equazione polinomiale di secondo grado che manca del termine di primo grado, cioè che è della forma:



Portando c a secondo membro e dividendo per a si ottiene:



Se , l'equazione non ammette soluzioni reali (ma due soluzioni immaginarie); viceversa, se , l'equazione è risolta da:

Osserviamo che nel caso banale in cui anche c = 0, allora l'equazione ammette come unica soluzione x = 0.

Equazioni complete

Un'equazione polinomiale di secondo grado viene detta equazione quadratica completa quando tutti i suoi coefficienti sono diversi da 0. Essa viene risolta con il cosiddetto metodo del completamento del quadrato, perché si modifica l'equazione fino ad ottenere al suo primo membro il quadrato di un binomio nella forma . Anzitutto portiamo c al secondo membro:


Moltiplichiamo per 4a entrambi i membri, ottenendo:


Notiamo che : dunque per fare in modo che al primo membro si abbia un quadrato di binomio, aggiungiamo ad ambo i membri:


ovvero:


Il secondo membro di quest'equazione è detto discriminante e in genere viene indicato con la lettera greca (Delta). Se evidentemente non ci sono soluzioni reali. In caso contrario possiamo scrivere:



che con semplici passaggi possiamo riscrivere come:


Quest'ultima è nota come formula risolutiva delle equazioni quadratiche.

Calcolo delle soluzioni
Alla luce della dimostrazione precedente, è chiaro che, nella risoluzione di un'equazione quadratica, è anzitutto necessario calcolare il discriminante. Si distinguono tre casi:



Pertanto la soluzione è unica o, come spesso si dice, le due radici sono coincidenti (o ancora vi è una radice doppia);.
Forma ridotta della formula risolutiva
Nel caso in cui il coefficiente del termine di primo grado sia un numero pari oppure un'espressione algebrica in cui si possa mettere in evidenza il fattore 2, è possibile semplificare la formula risolutiva con la posizione. In questo caso, infatti:



Dimostriamo che si tratta di una soluzione all'equazione di secondo grado sostituendo la soluzione nell'equazione inziale e ottenendo un'identità.


2ab2 − 4a2c − 2ab2 + 4a2c = 0.
L'identità è verificata.

Regola dei segni
La regola dei segni o regola di Cartesio consente di determinare il segno delle radici di un'equazione completa con discriminante positivo. Consideriamo, nell'ordine, i segni di a, b, c. Possiamo assumere che sia a > 0, a meno di moltiplicare entrambi i termini per -1. Ci sono 4 possibili combinazioni:

a
b
c
+
+
+
+
+
-
+
-
+
+
-
-
  1. Primo caso:. Ricordando che , segue che il loro prodotto è positivo e la loro somma negativa, per cui entrambe le soluzioni sono negative.

  1. Secondo caso: . Allora il prodotto delle radici è negativo (che implica che sono discordi) e la somma è negativa (che implica che la soluzione negativa è in valore assoluto maggiore di quella positiva).

  1. Terzo caso: . Allora il prodotto delle radici è negativo (che implica di nuovo che sono discordi) ma la somma è positiva (dunque la soluzione positiva è maggiore in valore assoluto).

  1. Quarto caso: . Allora il prodotto delle radici è positivo come pure la loro somma, implicando che entrambe le radici sono positive.
Chiamando permanenza ogni successione di due segni uguali e variazione ogni successione di segni contrari, possiamo riassumere i risultati precedenti affermando che ad ogni permanenza corrisponde una soluzione negativa e ad ogni variazione una soluzione positiva; quando le radici sono discordi, in valore assoluto è maggiore quella positiva se la variazione precede la permanenza; quella negativa se la permanenza precede la variazione.

EQUIANGOLO, EQUIANGOLARE


Due poligoni sono equiangoliquando sono riferiti vertice a vertice e gli angoli omologhi sono isometrici.
Due triangoli equiangoli sono simili.
Un poligono è equiangolare quandoi suoi angoli hanno tutti la medesima ampiezza.
Un triangolo equiangolare è anche equilatero.

EQUIDISTANTE


In matematica vuol dire “a uguale distanza da ...”.

Insieme dei punti di un piano equidistanti

  1. Da un punto dato O: è la circonferenza di centro O, di raggio uguale alla distanza data.
  2. Da due punti dati A, B: è l'asse del segmento AB.
  3. Da uan retta data r: è formato da due rette parallele a r.
  4. Da due rette date:



EQUILATERO


Triangolo equilatero

Un triangolo equilatero è un triangolo con tutti i lati congruenti ovvero il poligono regolare con tre lati. Gli angoli sono tutti uguali e pari a 60°.
I triangoli equilateri sono particolari triangoli isosceli. Tutti i triangoli isosceli sono simili tra di loro: per caratterizzare metricamente un triangolo equilatero, ovvero per caratterizzare la classe dei triangoli equilateri nel piano ottenibili gli uni dagli altri mediante traslazioni e rotazioni, serve e basta un parametro estensivo; tipicamente si usa la lunghezza dei suoi lati.

Formule

Indicando con L il lato del triangolo si ha:

EQUIPOLLENZA

Una classe di equipollenza è un insieme di infiniti segmenti orientati equipollenti ad un assegnato segmento orientato. Due segmenti orientati si dicono equipollenti (o equivalenti) se hanno stessa lunghezza (o modulo), stessa direzione e stesso verso.

EQUIPOTENZA, EQUIPOTENTE


Due insiemi si dicono equipotenti quando si possono far corrispondere i loro elementi uno a uno, cioè quando esiste fra di essi una biiezione.
Essi hanno allora lo stesso numero cardinale.


ESAGONO

In geometria, un esagono è un poligono con sei spigoli e sei vertici. Gli angoli interni di un esagono regolare (in cui tutti i lati e tutti gli angoli sono uguali) sono tutti di 120°. L'area di un esagono regolare con i lati di lunghezza a è data da:


Il perimetro di un esagono di lato a è, naturalmente, uguale a 6a; il diametro della circonferenza circoscritta è 2a, mentre quello della circonferenza iscritta è .
Un esagono regolare ha come lunghezza del lato il raggio della circonferenza circoscritta; gli angoli al centro corrispondenti agli archi individuati da due vertici consecutivi misurano 60°.

ESPONENTE

Esponente è il numero che si scrive in alto a destra di un altro, e che esprime la potenza alla quale questo va elevato.
Nella scrittura , il primo 5, scritto in grande, è un coefficiente, il secondo, in piccolo, è un esponente.

ESPRESSIONE

In matematica, un' espressione combina numeri, operatori, e/o variabili. Le espressioni possono essere valutate a valori, e si può dire che rappresentano quei valori. La determinazione del valore di un'espressione dipende dalla definizione degli operatori matematici e del sistema di valori che forma il suo contesto.
Le espressioni possono avere "variabili libere" che non sono definite nell'espressione, ma si ricavano dal contesto. Due espressioni si dicono equivalenti se, valutate, determinano lo stesso valore.
Un'espressione numerica è l'indicazione “compatta” di una sequenza di operazioni eseguite su numeri. In un'espressione letterale compaiono anche delle lettere.

ESTERNO

Angoli esterni



Angoli esterni di un poligono, nell'esempio indicato nella figura, sono



L'ampiezza di un angolo esterno di un triangolo è la somma delle ampiezze deglia angoli del triangolo non adiacenti.



Fissiamo l'attenzione su un angolo del triangolo e sull'angolo esterno adiacente: la loro somma è di 180°: perciò l'enunciato è confermato.

ESTREMO

In matematica, “estremo” ha diversi significati:

  1. Estremo di un segmento: uno dei due punti che lo limitano. “Gli etremi di un segmento sono punti”.
  2. Estremo di un intervallo: uno dei due numeri che lo limitano. L'intervallo chiuso e l'intervallo aperto hanno per stremi .
  3. Gli estremi del dominio di definizione di una funzione sono quelli degli intervalli nei quali la funzione è definita.


EUCLIDE, TEOREMI DI

Primo Teorema di Euclide


"In un triangolo rettangolo il cateto è medio proporzionale tra la sua proiezione sull'ipotenusa e l'ipotenusa stessa".

Lo stesso teorema si può esprimere geometricamente come segue:
"In un triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni la sua proiezione sull'ipotenusa e l'ipotenusa stessa"



Il quadrato Q è equivalente, ossia ha la stessa area, del rettangolo R
In formula si ha AB2 = BC ∙ BH

Dimostrazione




Prima dimostriamo che il triangolo ABC è uguale al triangolo EBT. Facendo riferimento alla figura, i due triangoli hanno AB=BE, l'angolo ABC uguale all'angolo TBE (perché complementari dello stesso angolo ABT). Per il criterio di congruenza dei triangoli rettangoli i due triangoli sono uguali.
Se ne deduce che BC = BT.
Il quadrato Q e il parallelogrammo P hanno la stessa base AB e la stessa altezza AD, che è la distanza tra le rette parallele AB e EL, quindi Q e P sono equivalenti.
Il parallelogrammo P e il rettangolo R hanno le basi BT e BM uguali e l'altezza BH in comune, perché distanza tra le rette parallele TM e LK.
Per la proprietà transitiva dell'equivalenza si ha che Q è equivalente a R.
Primo teorema di Euclide


Secondo Teorema di Euclide

"In un triangolo rettangolo l'altezza relativa all'ipotenusa è media proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa".
Il secondo teorema può anche essere espresso come:
"in un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull'altezza relativa all'ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa".



Nel disegno Q1 è equivalente a R

In formula AH2 = BH ∙ HC



Descrizione della figura

Il triangolo ABC è rettangolo in A.
Q1 è il quadrato costruito sull'altezza AH relativa all'ipotenusa.
Q2 è il quadrato costruito sulla proiezione BH del cateto AB.
Q3 è il quadrato costruito sul cateto AB.
Il rettangolo BHKM ha come lati la proiezione BH del cateto AB sull'ipotenusa e BM = BC.
Il rettangolo R ha come lati le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa.
LM = BM - BL = BC - BH = HC

Dimostrazione

Per il primo teorema di Euclide applicato al triangolo rettangolo ABC
Q3 è equivalente a Q2 + R
Per il teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo ABH
Q3 è equivalente a Q2+Q1
Per la proprietà transitiva dell'equivalenza si ottiene
Q2+Q1 è equivalente a Q2+R
Se ne conclude che
Q1 è equivalente a R
Secondo teorema di Euclide

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