D

DATO

I dati sono delle informazioni che considerate nella loro globalità costituiscono “il dato” del problema. Esistono: dati espliciti, che formano esplicitamente l'ipotesi o le ipotesi e sono spesso proposti mediante le espressioni sia, o si consideri, si , ecc.,; dati impliciti, che formano implicitamente l'ipotesi. Esistono anche dati immediatamente deducibili. Sono quelli che possono anzi si devono dedurre immediatamente dai dati espliciti e impliciti.

DECIMALE


Un numero è scritto in forma decimale quando è espresso in base 10: a partire da un'unità scelta come fondamentale, si può parlare di altre "unità di conteggio" che si ottengono per moltiplicazione o divisione reiterate per 10.
Partendo da 1, si hanno le unità di conteggio costituite da "pacchetti" di decine, centinaia, migliaia, ecc. Sempre partendo da 1, si hanno le unità di conteggio che sono "pezzetti" di 1, cioè decimi, centesimi, millesimi, ecc. È la virgola che separa i "pacchetti" dai "pezzetti" o, meglio, i multipli di 1 dai suoi sottomultipli.
Le cifre che vengono dopo la virgola si chiamano cifre decimali; se sono tutte zero non contano, e servono solo a rendere la scrittura omogenea: 6,25 m vuole dire 6 metri e 25 centimetri, mentre 35,00 m sono 35 metri "tondi".
Un decimale può essere scritto o letto in un'altra unità del sistema, semplicemente spostando la virgola o il punto.
Per es. 237, 45 cm = 2.374, 5 mm oppure 237, 45 cm = 2,3745 m.

Un numero scritto in forma decimale finita è un particolare numero razionale, che si può scrivere come una frazione il cui denominatore è una potenza di 10: essa si chiama di solito frazione decimale.
La scrittura di un numero in forma decimale presuppone l'esistenza di dieci cifre, quelle che si conoscono dall'infanzia, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.
Un numero razionale si può scrivere in forma decimale o con un numero finito di cifre o, altrimenti, evocando le sue infinite cifre col far seguire da puntini le cifre che si ripetono indefinitamente. Tutte le cifre di un numero razionale sono quindi immediatamente prevedibili.

Per es. è un numero razionale che si scrive con tre cifre decimali;
è un numero razionale che si scrive con infinite cifre decimali, che si riducono periodicamente di sei in sei e 142857 si dice periodo di questo numero.

Se si cerca di scrivere un numero irrazionale in forma decimale, si produce una sequenza di cifre che non finisce mai; le cifre non si ripetono regolarmente e quindi non sono prevedibili. In questo modo si riesce solamente ad approssimare il numero irrazionale con un numero scritto in forma decimale.

Per es. ecc.

DEFINIZIONE


La definizione è un'operazione logica consistente nell'individuazione e nell'illustrazione delle proprietà essenziali di una data cosa, materiale o immateriale, o in una equivalenza tra un termine e il significato del termine stesso. Tali definizioni, pur non essendo equivalenti, non si escludono a vicenda.
Definire significa spiegare il significato di vocaboli mediante altri vocaboli di significato noto; secondo alcune visioni non sarebbe possibile definire tutti i concetti.
I concetti che non possono essere definiti si chiamano primitivi.

DEFINIZIONE, INSIEME DI


In matematica, si pone il problema dell'insieme di definizione o insieme di esistenza di una funzione, in genere di una variabile reale e a valori reali, a partire da una espressione che si può considerare della forma . Il problema richiede di determinare l'insieme dei valori della x per i quali le operazioni espresse nella E abbiano un significato, cioè consentano effettivamente di calcolare corrispondenti valori y; in altri termini, si può definire l'insieme di definizione come "il più grande" insieme di variabilità della x che consente di dare significato alla E(x) e quindi può essere preso come dominio della funzione f(x) fornita dalla suddetta espressione. Osserviamo esplicitamente che il termine insieme di definizione a rigore non va confuso con quello di dominio della funzione, in quanto riguarda uno stadio di conoscenze nel quale tale dominio, e la funzione stessa, non sono sufficientemente determinati.

Per determinare l'insieme di definizione, si ricordano le seguenti regole:

Per esempio:


DENOMINATORE


Secondo la definizione classica, propria dell'aritmetica, una frazione è un modo per esprimere una quantità basandosi sulla divisione di un oggetto in un certo numero di parti della stessa dimensione. Ad esempio, se si taglia una torta in quattro fette uguali, ciascuna di esse è detta un quarto di torta (rappresentata con 1/4); due quarti è mezza torta, e otto quarti formano due torte.
In termini più generali, si indica con il nome di frazione ogni generico membro dell'insieme dei numeri razionali.
Matematicamente, una frazione è un quoziente di numeri, come 3/4, o più generalmente un elemento di un campo quoziente.
Nell'esempio delle fette di torta di cui sopra, nella rappresentazione numerica come 1/4 il numero in basso, detto denominatore, indica il numero totale di parti uguali che compone la torta intera, e il numero in alto, il numeratore, è il numero di parti che è stato preso. I due termini hanno un'origine dal latino. Numeratore ha la stessa radice di enumerare, vale a dire "contare"; quindi indica quante parti frazionali per così dire "minimali" abbiamo nella frazione. Denominatore deriva ovviamente da denominare, cioè dare un nome; il nome è quello del tipo di parti che sono state fatte (metà, terzi, quarti, ...).
La parte superiore della frazione è detta numeratore; la parte inferiore è detta denominatore e deve essere diverso da zero sia in campo reale che complesso, a meno di estendere l'insieme dei numeri reali/complessi a R*(si legge "R star") e a C*("C star"). Con questi 2 simboli si intendono il campo reale e complesso che includono il simbolo , che non è un numero. La linea che separa numeratore e denominatore è detta linea di frazione.

DIAGONALE


In un poligono, una diagonale è un segmento che congiunge due vertici non consecutivi. Tutti i poligoni ad eccezione dei triangoli hanno diagonali. Le diagonali sono tutte interne ad un poligono se e solo se questo è convesso.
Il numero di diagonali dipende unicamente dal numero n di vertici: infatti, per ogni vertice passano n - 3 diagonali (il numero dei vertici escluso lo stesso ed i due consecutivi), e per ogni diagonale ci sono due vertici, quindi:



Quindi un triangolo, come già visto, non ha diagonali, un quadrilatero ne ha 2, un pentagono 5, un esagono 9, e così via.

DIAMETRO


Il diametro è la distanza massima possibile fra due punti di una circonferenza o di una sfera. Corrisponde esattamente al doppio del raggio e passa sempre per il centro della circonferenza o della sfera.
Indicando con d il diametro si ha che:

la circonferenza è pari a

la superficie della sfera è pari a

DIFETTO

Approssimazione per difetto

Valore minore del valore reale del numero. Per esempio, 1,33 è un valore approssimato per difetto di , a meno di un centesimo, poiché


Le approssimazioni per arrotondamento possono essere per difetto come per eccesso, mentre quelle per troncatura sono sempre per difetto.

DIFFERENZA

In algebra la differenza è il risultato della sottrazione: differenza = minuendosottraendo.
In un corpo ordinato, la differenza è non negativa se e solo se il minuendo è maggiore o uguale al sottraendo. Tuttavia è comune parlare di differenza fra due quantità intendendo il valore assoluto di tale differenza, ovvero il risultato della sottrazione della quantità minore da quella maggiore.
In un anello la differenza è uguale all'elemento neutro se e solo se il minuendo è uguale al sottraendo.

DIMOSTRAZIONE


Con il termine dimostrazione si definisce generalmente lo sviluppo logico di un discorso.
Una dimostrazione consiste nel verificare - nel senso di mostrarne la ragionevole verità - un predicato, una frase; infatti, attraverso vari passaggi - e utilizzando per esempio postulati - si rende innegabile un'affermazione.

DIRETTORE, DIRETTRICE

Coefficiente direttore: quando si deve costruire una retta di equazione data, nella forma , m è il coefficiente direttore (esso infatti individua la direzione della retta), che viene detto anche coefficiente angolare, in quanto è evidentemente legato agli angoli che la retta in questione forma con glia assi di riferimento.

Vettore direttore: per una retta, è uno degli infiniti vettori che hanno la direzione della retta. In geometria analitica, data l'equazione di una retta, si può facilmente determinare un vettore direttore:

Direttrice: è una retta che gioca un ruolo particolare per certe curve.
Per un cono o un cilindro, si dice direttrice una linea che incontra tutte le rette generatrici.

DIREZIONE

Si dice direzione l'insieme delle rette parallele a una retta data.

DISEQUAZIONE

In matematica, una disequazione è una relazione di disuguaglianza tra due espressioni che contengono delle incognite. In altri termini, dette due funzioni definite in un insieme A, una disequazione nelle variabili è un'espressione della forma:



oppure



Risolvere una disequazione significa trovare quell'insieme di valori che, attribuiti alle incognite, la rendono una disuguaglianza effettivamente verificata. Solitamente, le soluzioni di una disequazione sono costituite da uno o più intervalli di valori.

Principi di equivalenza

Due disequazioni si dicono equivalenti se i rispettivi insiemi delle soluzioni coincidono. Vi sono due principi che consentono di manipolare le disequazioni per trovare l'insieme delle soluzioni; essi sono una conseguenza diretta delle proprietà delle disuguaglianze:
Aggiungendo o sottraendo ai due membri di una disequazione una stessa espressione, si ottiene una disequazione equivalente. Ciò implica che si può eliminare da entrambi i membri uno stesso termine oppure spostarlo da un membro all'altro cambiandolo di segno (che equivale ad aggiungere il suo opposto).
Moltiplicando o dividendo i due membri di una disequazione per una stessa espressione che sia sempre positiva si ottiene una disequazione equivalente; moltiplicando o dividendo per un'espressione negativa, la disequazione è equivalente a quella data a patto di cambiarne il senso o verso. Ciò implica che si può cambiare il segno a tutti i termini di entrambi i membri, purché si cambi anche il verso della disequazione (in effetti, ciò equivale a moltiplicare per ).

DISPARI


In matematica, qualsiasi numero intero è o pari o dispari. Se è un multiplo di due, è un numero pari, altrimenti, è un numero dispari. Esempi di numero pari sono: -4, 0, 8, e 70. Esempi di numero dispari sono -5, 1, e 71. Il numero zero è pari poiché equivale a due moltiplicato per zero.
L'insieme dei numeri pari può essere scritto come:

Pari = 2Z = {..., -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, ...}.

L'insieme dei numeri dispari può essere scritto come:

Dispari = 2Z + 1 = {..., -5, -3, -1, 1, 3, 5, ...}.

La caratterizzazione di un intero relativa all'essere pari o dispari si dice parità. Essa equivale alla appartenenza ad una delle due classe di resti modulo 2, per gli interi pari, per i dispari.
Un numero espresso con il sistema di numerazione decimale è pari o dispari a seconda che la sua ultima cifra sia pari o dispari. Ovvero, se l'ultima cifra è 1, 3, 5, 7, o 9, è dispari, altrimenti è pari. La stessa idea è valida se si usa una qualsiasi base pari. In particolare, un numero espresso nel sistema di numerazione binario è dispari se l'ultima cifra è 1 e pari se l'ultima cifra è 0; un intero espresso nella base 4 è pari se la sua ultima cifra è 0 o 2, è dispari in caso contrario, cioè se la sua ultima cifra è 1 o 3. In sistemi di numerazione a base dispari, il numero è pari o dispari a seconda della parità delle somma delle sue cifre, ovvero a seconda della sua radice fondamentale.
I numeri pari formano un anello ideale nell'anello degli interi, i numeri dispari invece no. Un intero è pari se è congruente a 0 modulo l'ideale, in altre parole se è congruente a 0 modulo 2, e dispari se è congruente a 1 modulo 2.
Tutti i numeri primi sono dispari con una eccezione: il numero primo 2. Tutti i numeri perfetti conosciuti sono pari; non si sa se esistano dei numeri perfetti dispari.

DISTANZA


La distanza tra due punti, nella versione più intuitiva, valida solo nella geometria euclidea, è la misura (lunghezza) di una linea retta che li congiunge. Nel caso di due luoghi sulla Terra, prende il significato di distanza "in linea d'aria" o di lunghezza del percorso (stradale, ferroviario, ecc.) che li congiunge. La distanza viene talvolta espressa in termini di tempo impiegato per coprirla (di solito specificando il mezzo di trasporto). Nell'accezione quotidiana, la distanza non è una misura simmetrica. Se pensiamo a un percorso stradale ad esempio, la strada potrebbe essere a senso unico e quindi il percorso da A a B risulta diverso da quello per andare da B ad A. Anche nel caso in cui la distanza viene espressa in termini di tempo di percorrenza, la simmetria si perde perché in traffico può essere maggiore in un senso piuttosto che nell'altro. Contrariamente alle coordinate di una posizione, una distanza non può avere un valore negativo.
Il concetto di distanza e quello di lunghezza vengono generalizzati mediante l'uso di una metrica, che porta alla definizione della geodetica come il più breve percorso, in una data metrica, tra due punti.

Definizione di distanza

In matematica dato un insieme X si definisce distanza (o metrica) su X una qualsiasi funzione



che per ogni x, y, z in X soddisfa le seguenti proprietà:



La coppia (X,d) si dice spazio metrico.

Distanze su spazi euclidei

La distanza normalmente considerata in è quella euclidea, pari alla radice quadrata del quadrato della differenza orizzontale (tra i due punti) più il quadrato della differenza verticale:



Nota:



Se n = 1, questa distanza si riduce al modulo della differenza tra i due numeri: d(x,y) = | x - y | .
Più in generale nello spazio euclideo si può definire la distanza tra due punti nel seguente modo:



La denominazione 2-distanza corrisponde a una generalizzazione del teorema di Pitagora in uno spazio a n dimensioni. È la distanza più intuitiva.

DISUGUAGLIANZA


In matematica, una disuguaglianza è un'affermazione a proposito della grandezza relativa o dell'ordine di due oggetti. La scrittura a < b indica che a è minore di b mentre la scrittura a > b indica che a è maggiore di b. Queste relazioni sono chiamate disuguaglianze strette; diversamente, a = b significa che a è minore od uguale a b e a = b indica che a è maggiore od uguale a b.
La scrittura indica che a è "molto maggiore" di b. Il significato di questo può variare, passando da qualcosa come un fattore 100 a dieci ordini di grandezza di differenza. È usato in relazione ad equazioni in cui un valore molto grande fa in modo che il risultato dell'equazione converga in un certo risultato.

Proprietà

o a < b
o a = b
o a > b

Somma e sottrazione

Le proprietà che riguardano l'addizione e la sottrazione dicono che:
o se a > b; allora a + c > b + c e a - c > b - c
o se a < b; allora a + c < b + c e a - c < b - c

Moltiplicazione e divisione

Le proprietà che riguardano la moltiplicazione e la divisione dicono che:
per ogni terna di numeri reali a, b e c:

se c è positivo e a < b; allora a × c < b × c e a / c < b / c

se c è negativo e a > b; allora a × c < b × c e a / c < b / c

se c è negativo e a < b; allora a × c > b × c e a / c > b / c

DIVIDENDO


In dividendo (dal latino dividendum: "ciò che va diviso") è il nome dato in algebra a uno dei due operandi della divisione: più precisamente il dividendo è l'operando da dividere, generalmente notato davanti al segno di divisione; l'operando per cui si divide è invece detto divisore.

dividendo : divisore

Il dividendo è uguale perciò al prodotto della moltiplicazione di divisore e quoziente, con l'aggiunta dell' eventuale resto della divisione.

dividendo = divisore × quoziente + resto

In una frazione, al dividendo si da il nome di numeratore.

DIVISIBILE

Un numero naturale a è divisibile per un numero naturale b:


DIVISIBILITÀ


In aritmetica, si dice che un intero positivo n è divisibile per un altro intero positivo m se e solo se il resto della divisione n/m è nullo, ovvero se si può ottenere n sommando m con se stesso un certo numero di volte.

Sono enunciati ed espressioni equivalenti:

La divisibilità è una relazione fra interi positivi che risulta essere transitiva e antisimmetrica; si conviene poi che essa sia riflessiva, cioè che ogni intero positivo sia divisibile per se stesso. La divisibilità è dunque una relazione di ordine largo. Più precisamente si tratta di una relazione di ordine reticolare, in quanto dati due interi positivi n e p, esiste sempre unico il massimo dei divisori di entrambi n e p ed esiste sempre unico il minimo dei multipli di entrambi.
Il primo di questi interi positivi si dice massimo comun divisore o massimo comun denominatore di n e p e si denota MCD(n,p). Il secondo si chiama minimo comune multiplo di n e p e si denota mcm(n,p).

DIVISIONE


In matematica, specialmente in aritmetica elementare, la divisione è l'operazione aritmetica inversa della moltiplicazione.

Più specificatamente, se
a × b = c,

dove b è diverso da zero, allora

a = c : b

(da leggersi "c diviso b"). Ad esempio, 6:3 = 2, dato che 2 × 3 = 6.

Nell'espressione sopra, a viene chiamato il quoziente, b il divisore e c il dividendo. Specialmente nella scuola elementare, a viene detto quoto, riservando il termine quoziente alla divisione con resto (non esatta: 7/3 ha quoziente 2 e resto 1).

L'espressione c : b viene anche scritta "c/b" (letta "c su b", o "c b-simi"), specialmente nelle matematiche superiori e nei linguaggi di programmazione. Tale forma viene anche spesso usata come forma finale di una frazione.
Definizione di divisione

Computazione della divisione

Utilizzando la tavola pitagorica, si possono dividere due numeri interi con carta e penna.
Se il dividendo ha una parte frazionaria espressa come frazione decimale, si può continuare l'algoritmo dopo le unità; se è il divisore ad avere una parte frazionaria, basta spostare la virgola a destra dello stesso numero di posizioni - aggiungendo se necessario degli zeri a destra del dividendo - fino a che il divisore diventa un numero intero. Pertanto, per fare la divisione 245.7/3.78 si farà quella equivalente 24570/378. Un'altra possibilità che si ha per semplificare i conti è vedere se dividendo e divisore abbiano un fattore comune, ed eliminarlo; la divisione di cui sopra è dunque equivalente a 12285/189 (eliminando il fattore 2) e ancora a 1365/21 (eliminando un fattore 9), 455/7 (con un fattore 3), da cui si ottiene subito il risultato finale 65.

Divisione tra interi

La divisione tra interi - anche non considerando la divisione per zero che non è definita - non è un'operazione chiusa; vale a dire, esistono coppie di numeri a e b tali che non esiste alcun intero c per cui a : b = c.
Un esempio è dato da 39 : 15. Ci sono quattro possibili approcci:
1. Dire che 39 non può essere diviso per 15.
2. Dare la risposta come una frazione decimale, se possibile, oppure in forma mista come intero più frazione: 39 : 15 = 2,6, oppure . Questo è l'approccio generalmente usato in matematica, soprattutto nella seconda forma, anche perché ad esempio 40 : 15 = 2,66666... non può venire espresso come frazione decimale finita.
3. Dare la risposta sotto forma di quoziente e resto: 39 : 15 = 2 con resto 9. Questo è l'approccio che si usa quando vengono insegnate le divisioni nella scuola elementare.
4. Dare solamente il quoziente come risposta, eliminando il resto: 39 : 15 = 2. Questa è a volte chiamata divisione intera, e naturalmente perde la proprietà di essere l'operazione inversa della moltiplicazione.

Divisione di numeri razionali

A differenza del caso precedente, i numeri razionali sono chiusi rispetto alla divisione, se il divisore non è 0. Si può definire il risultato della divisione tra due numeri razionali p/q e r/s come il valore



Tutti e quattro i valori sono interi, e solo p può valere 0. Questa definizione assicura che la divisione è l'operazione inversa della moltiplicazione: si ricava infatti subito che



Divisione di numeri reali

Il risultato della divisione di due numeri reali è un altro numero reale, se il divisore non è 0. Dati a e b, si definisce a/b = c se e solo se a = cb e .

Divisione di numeri complessi

Anche per i numeri complessi, così come per i numeri reali, la divisione è un'operazione chiusa eccetto il caso in cui il divisore sia zero, nel qual caso l'operazione non è definita.

Se si esprimono i numeri complessi con le comuni coordinate, il risultato della divisione di (p + iq) per (r + is), dove p, q, r e s sono numeri interi e r e s non possono essere entrambi nulli, è dato da



Se i numeri complessi sono espressi mediante le coordinate polari, l'espressione è più semplice da esprimere e ricordare: il risultato della divisione tra , con p, q, r e s numeri interi e r diverso da zero, è dato da



Divisione di polinomi

La divisione tra due polinomi (a coefficienti interi) può anch'essa venire definita come l'operazione inversa della moltiplicazione: come nel caso dei numeri interi, generalmente si otterrà un polinomio quoziente e un resto. Per maggiori informazioni su come viene condotta l'operazione, si veda la regola di Ruffini.

Divisione e analisi matematica

La funzione quoziente di due funzioni f e g è la funzione h il cui valore in un punto x è dato da



La derivata del quoziente di due funzioni è data dalla regola del quoziente:



Non esiste una regola generale per integrare il quoziente di due funzioni.

DIVISORE


Nella matematica, un divisore di un intero n, detto anche fattore di n, è un intero che divide n senza resto. Ad esempio, 7 è un divisore di 42 in quanto 42/7 = 6. Si dice anche che 42 è divisibile per 7 o che 42 è un multiplo di 7, e si scrive 7 | 42. I divisori possono essere sia positivi che negativi. I divisori positivi di 42 sono {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42}.

Casi particolari: 1 e -1 dividono qualunque intero, ed ogni intero non nullo è un divisore di 0. La divisione per 0 non è definita. I numeri divisibili per 2 si chiamano pari, mentre quelli che non lo sono si chiamano dispari.
Il nome viene dall'operazione aritmetica della divisione: se a/b = c allora a è il dividendo, b è il divisore e c è il quoziente.

Regole per piccoli divisori

Esistono alcune regole utili per capire semplicemente alcuni piccoli divisori di un numero guardando le sue cifre decimali:

Proprietà

Alcune proprietà fondamentali:
se a | b e a | c, allora a | (b + c)
se a | b e b | c, allora a | c
se a | b e b | a, allora a = b or a = -b

Ulteriori informazioni

Un divisore positivo di n diverso da n stesso è chiamato divisore proprio.
Un intero n > 1 il cui unico divisore proprio è 1 viene chiamato numero primo.
Qualunque divisore positivo di n è un prodotto di fattori primi di n elevati ad una qualche potenza (non superiore a quella presente nella fattorizzazione di n stesso). Questa è una conseguenza del teorema fondamentale dell'aritmetica.
Un numero uguale alla somma dei suoi divisori propri è detto numero perfetto. I numeri minori della somma sono detti difettivi, quelli maggiori abbondanti.
Il numero totale di divisori positivi di n è la funzione moltiplicativa d(n) (ad esempio, d(42) = 8 = 2×2×2 = d(2)×d(3)×d(7)). La somma dei divisori positivi di n è un'altra funzione moltiplicativa (ad esempio, (42) = 96 = 3×4×8 = (2)× (3)× (7)).
Se la fattorizzazione prima di n è data da:



Allora il numero di divisori positivi di n è:



ed ogni divisore è nella forma:



Dove:



La relazione | di divisibilità rende l'insieme degli interi non negativi un insieme parzialmente ordinato, precisamente un reticolo completamente distributivo. Il più grande elemento di questo reticolo è 0 ed il più piccolo è 1. L'operazione è rappresentata dal massimo comun divisore mentre la dal minimo comune multiplo. Questo reticolo è isomorfo al duale del reticolo dei sottogruppi del gruppo ciclico di ordine infinito .

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