Dizionario di matematica e geometria iniziale C

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Dizionario di matematica e geometria iniziale C

     













Dizionario di matematica e geometria iniziale C

CARTESIANO, PIANO

In matematica si può introdurre il piano cartesiano come sistema di riferimento nel piano della geometria euclidea costituito da due rette ortogonali su ciascuna delle quali si fissa un orientamento (rette orientate) e per le quali si fissa anche una unità di misura che consente di identificare qualsiasi punto del piano mediante numeri reali. Il punto nel quale le due rette si incontrano viene detto origine. Tra le due rette si distingue una prima chiamata asse delle ascisse o asse delle x e una seconda detta asse delle ordinate o asse delle y; inoltre, pensando il piano immerso orizzontalmente nello spazio fisico, si chiede che una persona in piedi sull'origine con l'asse delle x di fronte veda l'asse delle y alla sua sinistra.
Il sistema costituito dalla coppia dei due assi (e implicitamente dall'origine) si dice sistema di riferimento cartesiano ortogonale del piano. Esso consente di individuare ogni punto del piano con una coppia di numeri reali chiamati rispettivamente ascissa e ordinata del punto; le coordinate di un punto generico del piano o di un punto che si pensa variabile spesso si denotano con x e y. Talora il sistema dei due assi si denota con Oxy. Un generico punto si può quindi esprimere scrivendo (x, y) oppure (x; y).

CENTRO

In geometria il centro di una figura è genericamente un punto particolare ben distinto dai suoi estremi. La definizione esatta dipende dal tipo di figura ed eventualmente dal tipo di centro considerati.

Centro di cerchi, sfere e ipersfere

In un piano, il centro di un cerchio è per definizione il punto equidistante da tutti i punti della sua circonferenza. Allo stesso modo, il centro di una sfera nello spazio è il punto equidistante da tutti i punti della sua superficie. La definizione si generalizza facilmente al caso di iperspazi con più di tre dimensioni, dove tutti i punti di un'ipersfera sono equidistanti dal suo centro. Nel caso monodimensionale del segmento, la denominazione comune del centro così inteso è punto medio.

Centro di poligoni e poliedri regolari


Trapani

Il centro di un poligono regolare coincide con quello della sua circonferenza inscritta e circoscritta. Non altrettanto vale per un triangolo generico.
In un piano, il centro di un poligono regolare è il punto equidistante dai suoi vertici. Analoga definizione si da del centro di un poliedro regolare nello spazio. Anche in questi casi il centro è unico e interno alla figura. Inoltre, il centro di un poligono regolare è equidistante dai punti medi dei suoi lati. Il centro di un poliedro regolare è equidistante dai punti medi dei suoi spigoli e dai centri delle sue facce. Il centro di un poligono regolare coincide con il centro della circonferenza inscritta e di quella circoscritta. Nel caso di un poliedro regolare, il centro combacia con i centri della sfera inscritta e di quella circoscritta.

Centri di un triangolo

La definizione di centro fornita per i poligoni regolari non può essere estesa al caso di poligoni in generale. Ad esempio, dato un generico quadrilatero, non esiste normalmente un punto equidistante da tutti i suoi vertici. Tale punto esiste invece sempre per un triangolo, ed è noto con il nome di circocentro. A questo punto è opportuno notare che il circocentro di un triangolo generico è equidistante, sì, dai suoi vertici, ma non dai punti medi dei suoi lati (come lo è invece il centro di un poligono regolare). Il punto di un triangolo equidistante dai punti medi dei suoi lati è il baricentro del triangolo, ed è uno dei numerosi punti notevoli del triangolo ad essere stati identificati e studiati in geometria. Altri centri particolarmente interessanti perché ricorrenti nella letteratura matematica sono l'incentro e l'ortocentro.

Centro di un'ellisse

Il centro di una ellisse è il punto d'incontro dei suoi due assi. Il centro di un'ellisse è anche il punto più vicino, equidistante dai due fuochi. Infine vale anche per le ellissi l'osservazione già fatta per i cerchi: centro sempre unico, sempre dentro la figura.

CERCHIO

Nella geometria euclidea è il luogo dei punti del piano aventi una distanza minore o uguale ad una misura r, detta raggio del cerchio, da un punto detto centro del cerchio.
Data una corda sulla circonferenza, ognuna delle due parti in cui questa divide il cerchio si chiama segmento circolare. Se la corda in questione è il diametro, i due segmenti sono congruenti e si chiamano semicerchi.
Un segmento circolare può anche essere la parte di cerchio compresa tra due corde parallele.

Trapani

L'intersezione fra un angolo al centro, cioè un angolo avente come vertice il centro del cerchio, ed il cerchio stesso (visivamente, un "spicchio" di cerchio) si chiama settore circolare. Se l'angolo al centro è retto, il settore circolare che individua si chiama quadrante; se è piatto, è il semicerchio.
Due cerchi aventi lo stesso centro si dicono concentrici. L'area compresa fra le due circonferenze si chiama corona circolare.
La formula dell'area del cerchio può essere ottenuta a partire da quelle della lunghezza della circonferenza e dell'area del triangolo.
Si immagini un esagono regolare (figura geometrica con sei lati) diviso in triangoli uguali, aventi i vertici nel centro dell'esagono. L'area dell'esagono può essere calcolata moltiplicando la somma delle basi dei triangoli per la loro altezza e dividendo per due. Questa è un'approssimazione dell'area del cerchio.
Si immagini adesso lo stesso con un ottagono: l'approssimazione sarà migliore. All'aumentare del numero dei lati del poligono, l'area sarà sempre più vicina a quella del cerchio. Al tendere dei lati all'infinito, la figura tende ad essere un cerchio, con un perimetro di 2πr ed un'altezza dei triangoli di r: l'area è quindi πr2.
La quadratura del cerchio si riferisce all'impossibile compito di costruire con riga e compasso, a partire da un cerchio, un quadrato della stessa area.
Alcuni solidi tridimensionali che possono avere, se tagliati da un piano, sezioni circolari sono la sfera, il cilindro ed il cono.
Il cerchio viene detto inscritto se viene costruito all'interno di una figura piana, e circoscritto se la racchiude.

CILINDRO

Un cilindro è un solido geometrico, cioè una porzione limitata di spazio, racchiusa fra una superficie cilindrica la cui direttrice è una curva chiusa e due piani paralleli che intersecano questa superficie. Il cilindro è composto da due basi che sono due figure isometriche, i cui controrni sono ugualmente isometrici, e una superficie laterale, formata da pezzi di generatrici, cioè segmenti di retta, tutti della stessa lunghezza e della stessa direzione. Quando le generatrici sono perpendicolari ai piani di base il cilindro viene detto retto, altrimenti obliquo.

Trapani

Nell'uso comune, con la parola cilindro si intende l'insieme limitato dei punti delimitati da un cilindro circolare retto e da due piani ortogonali al suo asse; alle sue due estremità piane esso presenta due superfici circolari.

Trapani

Se questo cilindro ha raggio r e altezza h, il suo volume è dato da

Trapani Trapani

e la sua area superficiale

Trapani
Trapani Il cilindro

CIRCOCENTRO

Per un triangolo il circocentro è il punto di incontro degli assi dei lati. Tale punto è il centro del cerchio circoscritto al triangolo.

CIRCONFERENZA

Nella geometria euclidea, una circonferenza è il luogo dei punti del piano ad una distanza fissa, detta raggio, da un punto fisso, detto centro.
Sono curve chiuse semplici, che dividono il piano in una parte interna ed una esterna. La parte di piano contenuta in una circonferenza, insieme alla circonferenza stessa, prende il nome di cerchio
In un sistema di assi cartesiani x-y, la circonferenza di centro (x0, y0) e raggio r è il luogo dei punti tali che:

Trapani

Se il centro della circonferenza è l'origine (0, 0), la formula diventa:

x2 + y2 = r2.

La circonferenza con centro nell'origine e raggio unitario è chiamata circonferenza goniometrica.
Tutte le circonferenze sono simili; di conseguenza, la circonferenza è proporzionale al raggio:
Lunghezza della circonferenza = 2πr

Una retta che incontra una circonferenza in due punti si chiama secante, mentre una che tocca la circonferenza in un solo punto, chiamato punto di tangenza, si chiama tangente. Il raggio che congiunge il centro della circonferenza con il punto di tangenza è sempre perpendicolare alla tangente. Presi due punti sulla circonferenza, questi dividono la circonferenza in due archi. Se i due archi sono della stessa lunghezza si chiamano semicirconferenze. Il segmento che congiunge due punti sulla circonferenza si chiama corda. La corda di lunghezza massima, che passa per il centro, si chiama diametro, ed equivale al doppio del raggio.
Per due punti passano infinite circonferenze, ed il luogo dei loro centri è l'asse del segmento che congiunge i due punti.
Per tre punti non allineati passa una ed una sola circonferenza, il cui centro coincide con l'intersezione degli assi dei segmenti che congiungono i punti

Posizioni relative di due circonferenze

Sono date due circonferenze C, C' di raggio r, r': diciamo d la distanza dei loro centri. C, C' possono essere, l'una rispetto all'altra:

Trapani

  • Esterne: i corrispondenti cerchi non hanno punti comuni. Questo caso si ha se
d >r + r'

  • Tangenti esternamente: i cerchi aperti non hanno punti comuni, le circonferenze ne hanno uno solo. Questo caso si ha se
d = r + r'

  • Secanti: le circonferenze hanno due punti comuni. Si ha
r - r' < d < r + r'

  • Tangenti internamente: un cerchio è contenuto nell'altro, e le circonferenze hanno un centro comune. Si ha
d = r - r'

  • Una interna all'altra: un cerchio è contenuto nell'altro, e le circonferenze non hanno punti comuni. Si ha
d < r - r'

Nell'ultimo caso rientra quello di due circonferenze con lo stesso centro: esse si dicono concentriche.
Si dice corona circolare la regione che ha per frontiera le due circonferenze: essa è formata dai punti che appartengono al cerchio maggiore e non appartengono al cerchio minore.

Trapani

CIRCOSCRIVERE, CIRCOSCRITTO

Si parla soprattutto di circoscrivere una circonferenza (o un cerchio) a un poligono: tale circonferenza è quella che passa per tutti i vertici del poligono, e il poligono si dice allora inscritto in essa.
Un poligono circoscritto a una circonferenza è un poligono i cui lati sono tutti tangenti a quest'ultima.

COEFFICIENTE

Numero che moltiplica una quantità o una espressione. Essendo un moltiplicatore, un coefficiente si potrebbe confondere con un fattore: in effetti, c'è un'importante differenza di senso, perché quando si parla di coefficiente questo si scrive per primo, e ha il ruolo di ciò che "serve per contare", che dice "il numero di volte" in cui viene presa una certa quantità, mentre un fattore è un termine di un prodotto.

COINCIDENTE

Si dice che due oggetti matematici sono coincidenti quando sono in realtà uno solo.

COMMENSURABILE

Commensurabile si riferisce a due grandezze che hanno una misura comune, per le quali esiste un'unità di misura che permette di esprimerle entrambe mediante un numero intero. Dunque dire che due grandezze sono commensurabili equivale a dire che esse hanno un rapporto razionale, o che, presa una come unità di misura, l'altra si esprime come una frazione di questa. Si hanno due formulazioni equivalenti, per esempio

Trapani

COMMUTATIVO

La commutatività è la qualità di ciò che è commutativo, vale a dire i cui termini sono scambiabili.
Prendiamo due oggetti, diciamo due numeri a e b, e un'operazione, per esempio l'addizione, o la moltiplicazione; sappiamo che

Trapani

Si dice che i numeri di ogni coppia sono permutabili.

Un'operazione indicata con Trapani si dice commutativa se due elementi qualsiasi sono permutabili, cioè se, comunque vengano presi a e b, si ha

Trapani

Si dirà così che l'addizione e la moltiplicazione sono commutative; invece la sottrazione, la divisione, l'elevamento a potenza non lo sono.

COMPATIBILE

Che si può accordare, coesistere con un altro oggetto. Due affermazioni p e q sono incompatibili quando sono contraddittorie, cioè, in termini logici, quando p e q è falsa.
Per es. se, risolvendo un sistema di equazioni, si trovasse x = 3 e anche x = 5, si dovrebbe avere 3 = 5, il che non può essere. Quando le equazioni di un sistema possono essere verificate simultaneamente, e cioè sono compatibili, il sistema si dice compatibile. In caso contrario, si dice incompatibile.

COMPLEMENTARE

In geometria due angoli si dicono complementari se la somma delle loro ampiezze è 90 gradi. Se i due angoli complementari sono adiacenti (cioè se hanno in comune un vertice e un lato, ma nessun punto interno) i loro lati non comuni formano un angolo retto.
In geometria euclidea, i due angoli acuti di un triangolo rettangolo sono complementari, poiché la somma delle ampiezze degli angoli interni di ogni triangolo ammonta a 180° e di questi 90° riguardano l'angolo retto.

Trapani

COMPLESSO

I numeri complessi sono un insieme di numeri che contiene i numeri reali, arricchiti dalla presenza della cosiddetta unità immaginaria, indicata con la lettera i.
In matematica, i numeri complessi formano un campo e sono generalmente visualizzati come punti del piano, detto piano complesso. La proprietà più importante che caratterizza i numeri complessi è il teorema fondamentale dell'algebra, che asserisce che qualunque equazione polinomiale ha una soluzione complessa.
I numeri complessi sono un'estensione dei numeri reali nata inizialmente per consentire di trovare tutte le soluzioni delle equazioni polinomiali. Ad esempio, l'equazione
x2 = - 1
non ha soluzioni reali, perché in questo insieme non esistono numeri il cui quadrato sia negativo.
Si definisce allora il valore i, chiamato anche unità immaginaria, che gode della seguente proprietà:
i2 = - 1
I numeri complessi sono formati da due parti, una parte reale ed una parte immaginaria, e sono rappresentati dalla seguente espressione:
a + ib
dove a e b sono numeri reali, mentre i è l'unità immaginaria.
Le leggi della somma e del prodotto nei numeri complessi si applicano facendo i conti nel modo usuale, usando che i2 = − 1:
(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d)
(a + ib)(c + id) = acbd + i(bc + ad)
Come i numeri reali sono in corrispondenza biunivoca con i punti di una retta, quelli complessi sono in corrispondenza con i punti del piano, detto piano di Gauss (o di Argand-Gauss): al numero complesso a + ib si associa il punto di coordinate cartesiane (a,b).

COMPONENTE DI UN VETTORE

Si sa che un vettore è determinato da una direzione, da un verso e da una lunghezza che caratterizzano una traslazione: ai vari vettori del piano si associano quindi le varie direzioni.
È utile privilegiarne due, per esempio tra loro perpendicolari, e definire per ciascuna di esse una unità di spostamento e un verso: in questo modo si hanno due vettori unitari, che di solito si designano con Trapani. Qualsiasi vettore può essere scomposto in due vettori che sono multipli di Trapani.

Trapani

Per esempio, se Trapani è "1 cm verso est" e Trapani " 1 cm verso nord", è facile constatare che i vettori disegnati si scompongono così:


Trapani

Per andare verso ovest o sud, basta prendere i versi opposti a quelli di Trapani e di Trapani.

A partire da una base data (Trapani ,Trapani), un vettore Trapani si può esprimere in un solo modo come combinazione di Trapani e di Trapani : se a designa il numero di Trapani e di Trapani, si scrive

Trapani

In questo caso si parla di combinazione lineare dei vettori Trapani e Trapani.
I numeri a, b si chiamano componenti del vettore Trapani. Le cui componenti si possono indicare scrivendo Trapani.

Due vettori uguali hanno componenti uguali. L'uguagliaza di Trapani e Trapani si traduce con
Trapani

Due vettori opposti hanno componenti opposte. Se a,b sono le componenti di Trapani , quelle di - Trapani sono -a, -b.

Le componenti del vettore nullo sono entrambe nulle.

CONDIZIONE, VINCOLO

L'idea di condizioni è importante nell'uso delle variabili. Spesso si tratta di una richiesta restrittiva imposta a una o più variabili numeriche o geometriche. Quando si sono imposte più condizioni a delle variabili, può darsi che queste conservino un certo grado di libertà, o che restino fissate. Tuttavia le entità matematiche possono soddisfare a più condizioni solo se queste sono compatibili.

Condizione necessaria, Condizione sufficiente

Sia A una proprietà. Diciamo che una proprietà B è condizione sufficiente per A se, tutte le volte che si verifica B, si verifica anche A ("se B, allora A"). Per esempio, è sufficiente che la scrittura decimale di un numero finisca per 0 perché il numero sia divisibale per 5; è sufficiente che gli angoli di un quadrangolo siano retti perché esso sia un parallelogrammo.

Diciamo che una proprietà C è condizione necessaria per A se, tutte le volte che si verifica A, si verifica anche C ("se A, allora C"). Per esempio affinché la somma di due numeri naturali sia dispari è necessario che almeno uno sia dispari.

Una proprietà P è condizione necessaria e sufficiente per A se quando è vera A è vera pure P, e viceversa ("A se e solo se P"). Per esempio, condizione necessaria e sufficiente affinché un numero sia pari è che la sua ultima cifra (in scrittura decimale) sia pari; condizione necessaria e sufficiente affinché un triangolo sia equiangolo è che esso sia equilatero.

CONGRUENTE, CONGRUENZA

In geometria due figure si dicono congruenti (dal latino congruens: concordante, appropriato), quando è possibile trasformare l'una nell'altra per mezzo di una isometria. Isometrie sono la traslazione, la rotazione, la riflessione e tutte le composizioni di queste trasformazioni.
La congruenza di due figure piane si può interpretare visivamente in questo modo: tagliando una figura con le forbici è possibile sovrapporla all'altra in modo che entrambe combacino perfettamente.
La congruenza è una relazione di equivalenza.

CONO

Un cono, in geometria e nell'uso comune, è un solido ottenuto ruotando un triangolo rettangolo intorno ad uno dei suoi cateti, quello che sarà l'asse del cono. Il cerchio ottenuto dalla rotazione dell'altro cateto è detto base. L'estremo dell'asse che non si trova sulla base è detto apice o vertice.
Uno cono il cui vertice è tagliato da un piano parallelo alla sua base è detto tronco di cono. Il termine cono viene talvolta esteso a figure più generali, come un cono ellittico, che ha per base un'ellissi, o un cono obliquo, che non ha l'asse perpendicolare alla base.
Trapani

Formule

Il volume V di un cono di altezza h e di base di raggio r è 1/3 del volume del cilindro che ha le stesse dimensioni: Trapani. Se il cono avesse densità uniforme il suo centro di massa si troverebbe sull'asse, a 1/4 della distanza dalla base al vertice.
La superficie totale A del cono è data dalla formula Trapani, dove Trapani è l'apotema del cono. Il primo termine della formula, Trapani, è l'area della base. Il secondo termine, Trapani, è l'area della superficie laterale.
Superficie totale = Area di Base + Superficie laterale.
Trapani Il cono

CONSECUTIVO

Che segue nel tempo e nello spazio. Quando abbiamo una successione di oggetti e si parla di termini consecutivi ci si riferisce a due che si susseguono immediatamente nella successione.
L'esempio più semplice, a partire dal quale si possono realizzare tutti gli altri, è l'insieme Trapani dei numeri naturali, la successione "naturale" dei numeri: 19 e 20 sono due naturali consecutivi, 999, 1000, 1001 tre naturali consecutivi.

In geometria, si parla di vertici o di lati consecutivi di un poligono o di una poligonale: M, N, P sono vertici consecutivi della poligonale L, come pure R,Q, P; AB e BC sono lati consecutivi di ABCDEF, e anche AF, FE, ED lo sono. Si può parlare di segmenti consecutivi su una retta (quando hanno un estremo comune, e nient'altro) e di angoli consecutivi (quando hanno lo stesso vertice e un lato in comune). Non si può parlare di punti consecutivi su una retta.

Trapani

CONVERTIRE, CONVERSIONE

In matematica convertire significa eseguire un cambiamento di forma nell'espressione di una quantità: convertire metri in centimetri, ore in minuti, ecc. vuole dire scrivere, fra due espressioni diverse della stessa quantità, il segno =. Per esempio

Trapaniminuti
Trapani
il segno = si può leggere anche "equivale a", nel senso originario di "ha lo stesso valore di".
Si effettua una conversione quando è necessario esprimere una quantità in una nuova unità, maggiore o minore; una conversione matematica cambia la forma in cui la quantità è espressa, ma non la quantità stessa.

CONVESSO

Una parte convessa del piano è una regione tale che il segmento congiungente due punti qualsiasi vi è contenuto per intero.

Trapani


In particolare un poligono convesso è una figura piana convessa racchiusa da un spezzata chiusa. Un poligono convesso si definisce anche come:

  • Un poligono non attraversato da alcuno dei suoi lati;
  • Un poligono che si trova per intero in uno solo dei semipiani delimitati dalle rette che contengono i suoi lati.

Trapani

COORDINATE

Si parla di coordinate di un punto per precisarne la posizione: sul piano o sulla superficie di una sfera occorrono due numeri. Le coordinate usate su una superficie di una sferica sono la longitudine e la latitudine; nel piano, vi sono vari modi.
Il più usato è quello delle coordinate cartesiane, che individua la posizione di un punto mediante la sua ascissa e la sua ordinata, ma c'è anche il sistema delle coordinate polari.

Trapani

Per arrivare da un punto O (il polo) a un punto M grazie a informazioni "coordinate" si può:
  • Conoscere l'inclinazione Trapani di OM su un asse fisso, e poi la distanza Trapani di M da O: Trapani e Trapani sono le coordinate polari di M;
  • Sostituire il cammino diretto da O (l'origine) a M con un cammino composto: un tratto OH lungo l'asse x, e un tratto HM parallelo all'asse y; le misure di questi tratti rispetto a unità prefissate, considerate con un segno che renda conto del verso del cammino, sono dette rispettivamente x e y e sono le coordinate cartesiane di M.

COPPIA

In matematica il termine coppia o il termine equivalente più esplicito coppia ordinata si intende una collezione di due oggetti tra i quali si possa distinguere un primo componente (o membro) da un secondo componente. La coppia che ha come primo componente un oggetto identificato da a e come secondo un oggetto identificato da b viene denotata con la scrittura Trapani o anche con la (a, b).
Due coppie ordinate Trapani sono uguali se e solo se a1 = a2 e b1 = b2.
L'insieme di tutte le coppie ordinate il cui primo componente appartiene ad un insieme X e il cui secondo membro si trova in un insieme Y viene chiamato prodotto cartesiano di X e Y e viene scritto X × Y. Ogni sottoinsieme di X × Y viene chiamato relazione binaria fra X e Y.

CORDA

In geometria una corda è un segmento che unisce due punti qualsiasi di una curva. La retta su cui giace la corda si chiama secante.

Corde che sottendono archi di circonferenza

Su una stessa circonferenza, due corde ugualmente distanti dal centro hanno la stessa lunghezza, e viceversa.
Trapani
Nel caso particolare delle corde di una circonferenza valgono le seguenti proprietà:
  • Se Trapani, allora Trapani; se Trapani, allora Trapani
  • Su una circonferenza , a due corde della stessa lunghezza corrispondono due archi della stessa lunghezza
  • Di conseguenza, se due corde AB e CD hanno la stessa lunghezza, i corrispondenti angoli al centro Trapani, hanno la stessa ampiezza e viceversa.

COROLLARIO

In matematica con il termine di origine floreale corollario si intende un enunciato che viene dimostrato nell'ambito di una teoria formale (come un teorema, un lemma o una qualsiasi proposizione derivabile dagli assiomi della teoria stessa mediante un procedimento dimostrativo) e che in una esposizione sistematica della teoria viene presentato come fatto che segue da vicino un teorema, cioè un enunciato di maggiore evidenza cui si riserva il ruolo di teorema.
Ogni corollario è quindi associato ad un proprio teorema antecedente. Molti corollari si ottengono dal relativo teorema antecedente come casi particolari, cioè semplificando, riducendo o specializzando le sue ipotesi. Altri invece sono più rivolti alle applicazioni (all'interno della matematica o nell'ambito di un modello matematico-fisico, matematico-biologico, matematico-economico, ...) e quindi si collocano ad un livello di astrazione inferiore di quello del teorema; per taluni di questi corollari si devono precisare delle costruzioni o dei collegamenti rivolti alle applicazioni.
Molti dei corollari che particolarizzano l'enunciato che in una più completa esposizione della teoria è il loro teorema antecedente sono stati ottenuti prima di quello. In effetti è accaduto spesso che si ottenesse prima un risultato particolare C1 e poi un risultato più generale T con un enunciato non molto più complesso di quello di C1 e ottenibile senza modificare e complicare profondamente la dimostrazione di C1. In una tale circostanza risulta ragionevole esporre la teoria assegnando a T il ruolo di teorema e a C1 quello di corollario. La cosa risulta particolarmente conveniente se da T si possono derivare senza molti passaggi dimostrativi altri enunciati C2, C3, ... i quali potrebbero riguardare casi particolari in posizioni complementari rispetto a quelle concernenti C1, oppure aspetti applicativi che richiedono costruzioni e collegamenti diversi da quelli concernenti C1.

CORONA

Una corona circolare è la figura piana compresa fra due circonferenze concentriche.

Trapani

La larghezza di una coronacircolare è la differenza dei raggi delle due circonferenze. L'area della corona è la differenza fra le aree dei due cerchi; detti r, r' i raggi di questi, e A l'area della corona, si ha:

A = Trapani

Casi particolari

Sono date tre circonferenze concentriche Trapani, di raggi 3, 4, 5: la corona esterna ha la stessa area del cerchio centrale. Infatti:

area della corona esterna: Trapani ;
area del cerchio centrale Trapani

Si vede immediatamente che Trapani
Questa proprietà, che in effetti non balza agli occhi, vale tutte le volte che i raggi dei cerchi formano una terna pitagorica.

Trapani

CORRISPONDENTE

In matematica si parla di angoli corrispondenti per indicare particolari coppie di angoli formati da una retta che incontra due parallele.

COSENO

Dato un triangolo rettangolo, il coseno di un angolo è definito come il rapporto tra il cateto adiacente all'angolo e l'ipotenusa. Quindi, per il triangolo riportato in figura si avrà:
Trapani
Trapani
Dato un cerchio di raggio unitario, il coseno dell'angolo x corrisponde alla coordinata x del punto di intersezione tra il raggio vettore e la circonferenza (segmento O-C in figura). Si deduce dalla figura che la funzione coseno è una funzione periodica, e più precisamente, una funzione circolare, ovvero il suo valore si ripete periodicamente ad ogni incremento di un modulo di X pari ad un angolo giro, ovvero 2Trapani.
La derivata del coseno è Trapani
Tra coseno e seno esiste la relazione fondamentale: Trapani
Il reciproco del coseno è detto secante:
Trapani
La funzione inversa del coseno è l'arcocoseno.
La seguente tabella elenca i principali valori notevoli della funzione coseno:

X in radianti
0
Trapani
Trapani
Trapani
Trapani
Trapani
Trapani
Trapani
X in gradi
0
30°
45°
60°
90°
180°
270°
360°
cos(x)
1
Trapani
Trapani
Trapani
0
-1
0
1

Trapani
Rappresentazione grafica della funzione coseno

Trapani Definizione di coseno

Teorema del coseno o di Carnot

Il teorema del coseno è una generalizzazione del teorema di Pitagora al caso di triangoli non rettangoli. La sua dimostrazione è dovuta a Lazare Carnot e, per questo, è noto anche come teorema di Carnot.

Trapani

Chiamando A, B e C i tre vertici di un triangolo e γ l'angolo in corrispondenza di C, si tracci l'altezza AH relativa al lato BC. Si ottengono così due triangoli rettangoli ai quali è possibile applicare il teorema di Pitagora.
Trapani

ma, per le leggi della trigonometria,

Trapani

Vale inoltre
Trapani

Sostituendo nella prima uguaglianza si ottiene:

Trapani

Dato che Trapani, questa relazione può essere semplificata in:

Trapani

Trapani Teorema del coseno

Costruire una figura della quale si conosce l'equazione

Quando si familiarizza con la geometria analitica, si suppone che si possa trovare di che tipo è una figura a partire dalla sua equazione; per costruirla, non resta che cercare i suoi elementi essenziali, che differiscono a seconda del tipo. Per esempio, si impara, una volta riconosciuta l'equazione di una circonferenza, a trovare le coordinate del centro e la lunghezza del raggio, e questo permette di costruirla; se si riconosce l'equazione di una retta, la si può costruire conoscendo due suoi punti, o uno solo e la sua direzione. Capita la forma di una curva, resta fa trovare la sua posizione nel piano cartesiano.

Natura delle curve conosciute attraverso le loro equazioni cartesiane

Nell'ambito ristretto dei programmi scolastici, si possono intanto distinguere due classi di curve del piano, quelle algebriche, fra le quali vi sono le rette, e quelle trascendenti.

Una curva algebrica si ottiene a partire da una relazione algebrica fra le coordinate x, y di un punto; questa si traduce in un'uguaglianza di polinomi, e le possibilità sono sempre infinite.

Una curva trascendente è data da una relazione non algebrica fra le coordinate. Per esempio, immaginiamo di imporre a "y" di essere uguale a "2 alla potenza x", uguaglianza che si scrive Trapani: la curva ottenuta è trascendente.

Curve algebriche

Un inizio di classificazione delle curve algebriche si fa a partire dal grado del polinomio che uguagliato a zero, dà l'equazione della curva. Per essempio:
  1. Trapani
  2. Trapani, che si può scrivere Trapani, è di secondo grado;
  3. Trapani , che si può scrivere Trapani, è di secondo grado;
  4. Trapani , che si può scrivere Trapani , è di secondo grado;
  5. Trapani , che si può scrivere Trapani, è di primo grado;
  6. Trapani , che si può scrivere Trapani , è di primo grado.

Il grado di questo polinomio si dice ordine della curva algebrica.
Tutte le equazioni di primo grado sono equazioni di rette.
Le equazioni di secondo grado sono, salvo casi particolari (una curva composta da due rette) equazioni di coniche, cioè equazioni di ellissi, iperboli e parabole (le circonferenze sono ellissi particolari).
Le cose si complicano con le equazioni di terzo grado che danno origine alle cubiche.

CRESCENTE, DECRESCENTE

In matematica si definisce crescente una funzione quando i valori che essa prende si susseguono nello stesso ordine dei valori della variabile; decrescente se succede il contrario.

CUBO

In geometria il cubo o esaedro regolare è un solido platonico che presenta 6 facce quadrate, 8 vertici e 12 spigoli; in ogni vertice si incontrano tre spigoli i quali sono ortogonali due a due; in ogni vertice si intersecano anche tre facce le quali sono a due a due ortogonali; questo si accorda con il fatto che il poliedro duale del cubo è l'ottaedro, che presenta 8 facce triangolari, 6 vertici e 12 spigoli.
Il cubo è un parallelepipedo rettangolo regolare, ed è un caso particolare di prisma quadrato e di trapezoedro.
Ogni cubo è caratterizzato dalla lunghezza a dei suoi spigoli. Tutti i cubi con gli spigoli della stessa lunghezza sono congruenti.

Parametri metrici

I parametri metrici del cubo con spigoli di lunghezza a sono i seguenti
Lunghezza delle diagonali delle facce
Trapani
Lunghezza delle diagonali del cubo (segmenti che congiungono vertici opposti)
Trapani
Distanza tra il centro e una faccia
Trapani
Area della superficie totale
Trapani
Volume
Trapani
Trapani Il cubo

CURVA

In matematica, una curva è un oggetto unidimensionale e continuo. Una curva può giacere su un piano, nello spazio euclideo, o in uno spazio topologico più generale.
Una curva può essere pensata intuitivamente come la traiettoria descritta da un oggetto (puntiforme) che si muove con continuità in qualche spazio, non dovrebbe sorprendere quindi il fatto che per "catturare" nel linguaggio matematico quest'idea si faccia ricorso alle nozioni di funzione continua e funzione differenziabile.

Definizione topologica

Una curva (topologica) è una funzione continua Trapani , dove I è un intervallo della retta reale e X è un qualsiasi spazio topologico. Se X è il piano allora f è una curva piana.
L'immagine di una curva viene anche chiamato supporto della curva. Spesso con un piccolo abuso di linguaggio si indica con la parola "curva" il supporto e non la funzione. Ad esempio, la circonferenza è il supporto della curva
f:[0, 1] → R2
f(t) = exp(2πit) = (cos(2πt), sen(2πt)).

Differenziabilità

Una curva topologica, per quanto sembri rispondere all'esigenza di rappresentare oggetti "filiformi" e "senza spessore", che localmente sembrano una retta incurvata, può essere molto bizzarra se non fissiamo delle condizioni aggiuntive.
Una condizione aggiuntiva che garantisce l'aspetto "filiforme" del supporto è la differenziabilità: se X è il piano o un altro spazio euclideo, possiamo chiedere che f sia differenziabile in ogni punto. In questo modo, per ogni t in I è definita una tangente alla curva in f(t): la tangente è il vettore delle derivate di f.
La lunghezza di una tangente è la velocità della curva nel punto. La velocità può cambiare tramite riparametrizzazione della curva: data una curva, c'è sempre un'unica parametrizzazione tale che la velocità sia costantemente uno.

Lunghezza della curva

Se (X,d) è uno spazio metrico (ad esempio, il piano o uno spazio euclideo) si può usare la metrica stessa per definire la lunghezza di una curva. Sia data una curva Trapanie una partizione dell'intervallo Trapani cioè un insieme finito di punti Trapani tale che:
Trapani
Allora si può definire la poligonale, cioè una curva che è l'unione dei segmenti aventi vertici l'immagine degli elementi della partizione tramite Trapani. In pratica la poligonale è una curva spezzata i cui vertici appartengono alla curva originale. Più i vertici della poligonale sono numerosi e più la sua lunghezza approssimerà quella della curva.
Possiamo definire la lunghezza della curva f come estremo superiore della lunghezza della poligonale al variare della partizione ρ:
Trapani
Se tale valore non è infinito, la curva si dice rettificabile. La lunghezza di una curva non dipende dalla sua parametrizzazione.
Una curva derivabile è rettificabile: per ogni punto t dell'intervallo è definita una velocità, e si può dimostrare che la lunghezza definita come sopra è uguale all'integrale di questa velocità su I:
Trapani
usando la nozione di integrale di linea si può scrivere anche:
Trapani
   

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